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2016年浙江省五校联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)



2016 年浙江省五校联考高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. ) 1.定义集合 A={x|f(x)= },B={y|y=log2(2x+2)},则 A∩?RB=( )

A. B.[0,1] C.[0,1) D.[0,2) (1,+∞) 2.△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则“a2+b2<c2”是“△ABC 为钝角三角 形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.对任意的 θ∈(0, 范围是( ) C. D.[﹣4,5] ) ) ,不等式 + ≥|2x﹣1|恒成立,则实数 x 的取值

A.[﹣3,4] B.[0,2]

4.已知棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列命题不正确的是(

A.平面 ACB1∥平面 A1C1D,且两平面的距离为 B.点 P 在线段 AB 上运动,则四面体 PA1B1C1 的体积不变 C.与所有 12 条棱都相切的球的体积为 π

D. M 是正方体的内切球的球面上任意一点, N 是△AB1C 外接圆的圆周上任意一点, 则|MN| 的最小值是

5.设函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在[0,2π]内恰

有 4 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. (0,1) B.[1,2] C. (0,1] D. (1,2) 6.已知 F1,F2 是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆与双

曲线在第一象限的交点为 P,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H,若|PH|=a,则双曲线的离 心率为( )

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A.

B. +

C.

D. =1,sinβ=3sin(2α+β) ,则 tan(α+β)=( )

7.已知 3tan A. B.﹣

C.﹣

D.﹣3

8.如图,棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,点 A 在平面 α 内,平面 ABCD 与平面 α 所成的二面角为 30°,则顶点 C1 到平面 α 的距离的最大值是( )

A.2(2+



B.2(

+

) C.2(

+1 )

D.2(

+1)

二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分,共 36 分) 9.已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ;几何体的体 积是 .

10.若 x= 是

是函数 f(x)=sin2x+acos2x 的一条对称轴,则函数 f(x)的最小正周期 ;函数 f(x)的最大值是 . ,则 a1a2a3…a15= . ;设 bn=(﹣1)

11.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=
n

an,数列{bn}前 n 项的和为 Sn,则 S2016=

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12.已知整数 x,y 满足不等式

,则 2x+y 的最大值是

;x2+y2

的最小值是

. ,则 的取值范围

13.已知向量 , 满足:| |=2,向量 与 ﹣ 夹角为

是 . 14.若 f(x+1)=2 ,其中 x∈N*,且 f(1)=10,则 f(x)的表达式是 . 2 2 15.从抛物线 y2=2x 上的点 A(x0,y0) x 2 x 1 y =1 y ( 0> )向圆( ﹣ ) + 引两条切线分别与 轴交 B,C 两点,则△ABC 的面积的最小值是 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如图,四边形 ABCD,∠DAB=60°,CD⊥AD,CB⊥AB. (Ⅰ)若 2|CB|=|CD|=2,求△ABC 的面积; (Ⅱ)若|CB|+|CD|=3,求|AC|的最小值.

17.如图(1)E,F 分别是 AC,AB 的中点,∠ACB=90°,∠CAB=30°,沿着 EF 将△AEF 折起,记二面角 A﹣EF﹣C 的度数为 θ. (Ⅰ)当 θ=90°时,即得到图(2)求二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值; (Ⅱ)如图(3)中,若 AB⊥CF,求 cosθ 的值.

18.设函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=c|x|+bx+a,对任意的 x∈[﹣1,1]都有|f(x)|≤ . (1)求|f(2)|的最大值; (2)求证:对任意的 x∈[﹣1,1],都有|g(x)|≤1. 19.已知椭圆 C: x2+y2= 相切.
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+

=1(a>b>0)的离心率为 ,焦点与短轴的两顶点的连线与圆

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点(1,0)的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在点 N,使得 ? 为定值?如果有,求出点 N 的坐标及定值;如果没有,请说明理由. 20.已知正项数列{an}满足:Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*) ,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项的和. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证: <( ) +( ) +( ) +…+( ) <3.

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2016 年浙江省五校联考高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. ) 1.定义集合 A={x|f(x)= A. (1,+∞) B.[0,1] },B={y|y=log2(2x+2)},则 A∩?RB=( )

C.[0,1) D.[0,2) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出 A 与 B 补集的交 集即可. 【解答】解:由 A 中 f(x)= ,得到 2x﹣1≥0,即 2x≥1=20,

解得:x≥0,即 A=[0,+∞) , x x 由 2 +2>2,得到 y=log2(2 +2)>1,即 B=(1,+∞) , ∵全集为 R,∴?RB=(﹣∞,1], 则 A∩?RB=[0,1]. 故选:B. 2.△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则“a2+b2<c2”是“△ABC 为钝角三角 形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】在△ABC 中,由“a2+b2<c2”,利用余弦定理可得:C 为钝角,因此“△ABC 为钝角 三角形”,反之不成立. 【解答】解:在△ABC 中,“a2+b2<c2”?cosC= <0? C 为钝角? “△ABC 为

钝角三角形”, 反之不一定成立,可能是 A 或 B 为钝角. ∴△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则“a2+b2<c2”是“△ABC 为钝角三角 形”的充分不必要条件. 故选:A.

3.对任意的 θ∈(0, 范围是( )

) ,不等式

+

≥|2x﹣1|恒成立,则实数 x 的取值

A.[﹣3,4] B.[0,2] 【考点】基本不等式.

C.

D.[﹣4,5]

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【分析】对任意的 θ∈(0,

) ,sin2θ+cos2θ=1,可得

+

=(sin2θ+cos2θ)

=5+

+

,利用基本不等式的性质可得其最小值

M.由不等式

+

≥|2x﹣1|恒成立,可得 M≥|2x﹣1|,解出即可得出. ) ,sin2θ+cos2θ=1,

【解答】解:∵对任意的 θ∈(0,



+

=(sin2θ+cos2θ)

=5+

+



5+2×2=9,当且仅当 ∵不等式 +

时取等号. ≥|2x﹣1|恒成立,

∴9≥|2x﹣1|, ∴﹣9≤2x﹣1≤9, 解得﹣4≤x≤5, 则实数 x 的取值范围是[﹣4,5]. 故选:D. 4.已知棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列命题不正确的是( )

A.平面 ACB1∥平面 A1C1D,且两平面的距离为 B.点 P 在线段 AB 上运动,则四面体 PA1B1C1 的体积不变 C.与所有 12 条棱都相切的球的体积为 π

D. M 是正方体的内切球的球面上任意一点, N 是△AB1C 外接圆的圆周上任意一点, 则|MN| 的最小值是 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A.根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可. B.研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可. C. 所有 12 条棱都相切的球的直径 2R 等于面的对角线 B1C 的长度, 求出球半径进行计算即 可. D.根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可.
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【解答】解:A.∵AB1∥DC1,AC∥A1C1,且 AC∩AB1=A, ∴平面 ACB1∥平面 A1C1D, 长方体的体对角线 BD1= , 设 B 到平面 ACB1 的距离为 h, 则 = ×1= ﹣2h= h,即 h= = ,

则平面 ACB1 与平面 A1C1D 的距离 d=

,故 A 正确,

B.点 P 在线段 AB 上运动,则四面体 PA1B1C1 的高为 1,底面积不变,则体积不变,故 B 正确, C.与所有 12 条棱都相切的球的直径 2R 等于面的对角线 B1C= 则球的体积 V= = ×π×( )3= π,故 C 正确, ,则 2R= ,R= ,

D.设与正方体的内切球的球心为 O,正方体的外接球为 O′, 则三角形 ACB1 的外接圆是正方体的外接球为 O′的一个小圆, ∵点 M 在与正方体的内切球的球面上运动,点 N 在三角形 ACB1 的外接圆上运动, ∴线段 MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径, ∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, ∴线段 MN 长度的最小值是 故选:D. ﹣ .故 D 错误,

5.设函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在[0,2π]内恰

有 4 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. (0,1) B.[1,2] C. (0,1] D. (1,2) 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】画出函数 f(x)的图象,问题转化为 f(x)和 y=m 在[0,2π]内恰有 4 个不同的 交点,结合图象读出即可. 【解答】解:画出函数 f(x)在[0,2π]的图象,如图示:



若函数 g(x)=f(x)﹣m 在[0,2π]内恰有 4 个不同的零点,
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即 f(x)和 y=m 在[0,2π]内恰有 4 个不同的交点, 结合图象,0<m<1, 故选:A.

6.已知 F1,F2 是双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆与双

曲线在第一象限的交点为 P,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H,若|PH|=a,则双曲线的离 心率为( ) A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角,运用勾股定理,化简可得 |PF1|?|PF2|=2c2﹣2a2,再由三角形的等积法,结合离心率公式,计算即可得到所求值. 【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,① 由直径所对的圆周角为直角,可得 PF1⊥PF2, 可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,② ②﹣①2,可得 2|PF1|?|PF2|=4c2﹣4a2, 即有|PF1|?|PF2|=2c2﹣2a2, 由三角形的面积公式可得, 即有 2c2﹣2a2=2ac, 由 e= 可得,e2﹣e﹣1=0, 解得 e= 故选:C. (负的舍去) . |PF1|?|PF2|= |PH|?|F1F2|,

7.已知 3tan A. B.﹣

+ C.﹣

=1,sinβ=3sin(2α+β) ,则 tan(α+β)=( D.﹣3



【考点】两角和与差的正切函数.

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【分析】由已知式子可得 sin[(α+β)﹣α]=3sin[(α+β)+α],保持整体展开变形可得 tan (α+β)=2tanα,再由 3tan + =1 和二倍角的正切公式可得 tanα 的值,代入计算

可得. 【解答】解:∵sinβ=3sin(2α+β) , ∴sin[(α+β)﹣α]=3sin[(α+β)+α], ∴sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα+3cos(α+β)sinα, ∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα, ∴tan(α+β)= 又∵3tan + = =1,∴3tan =2tanα, =1﹣ ,

∴tanα=

= ,∴tan(α+β)=2tanα= ,

故选:A. 8.如图,棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,点 A 在平面 α 内,平面 ABCD 与平面 α 所成的二面角为 30°,则顶点 C1 到平面 α 的距离的最大值是( )

A.2(2+

) B.2( + ) C.2( +1) D.2( +1) 【考点】点、线、面间的距离计算. 【分析】如图所示,O 在 AC 上,C1O⊥α,垂足为 E,则 C1E 为所求,∠OAE=30°,由题 意,设 CO=x,则 AO=4 ﹣x,由此可得顶点 C1 到平面 α 的距离的最大值. 【解答】解:如图所示,AC 的中点为 O,C1O⊥α, 垂足为 E,则 C1E 为所求,∠AOE=30° 由题意,设 CO=x,则 AO=4 ﹣x, C1O= ∴C1E= 令 y= ,OE= OA=2 +2 +2 ﹣ x, ﹣ x, ﹣ x,

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则 y′=

﹣ =0,可得 x=



∴x=

,顶点 C1 到平面 α 的距离的最大值是 2(

+

) .

故选:B.

二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分,共 36 分) 9.已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 8π ;几何体的体积是 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图可知几何体是组合体:中间是圆柱上下是半球,由三视图求出几何元素 的长度, 利用柱体、 球体的体积公式计算出几何体的体积, 由面积公式求出几何体的表面积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是组合体:中间是圆柱上下是半球, 球和底面圆的半径是 1,圆柱的母线长是 2, ∴几何体的表面积 S=4π×12+2π×1×2=8π, 几何体的体积是 V= 故答案为: . = ,

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10. 若 x=

=sin2x+acos2x 的一条对称轴, 是函数 f (x) 则函数 f (x) 的最小正周期是 π .



函数 f(x)的最大值是

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】利用辅助角公式化 f(x)=sin2x+acos2x= 求出 θ 得到 a 值,则函数的周期及最值可求. 【解答】解:∵f(x)=sin2x+acos2x= 又 x= ∴ 则 f(x)= T= ; )=tan . . = , 是函数的一条对称轴, ,即 . . (tanθ=a) , (tanθ=a) ,由已知

由 a=tanθ=tan( 得

∴函数 f(x)的最大值是 故答案为: .

11.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=

,则 a1a2a3…a15= 3 ;设 bn=(﹣1)nan,数

列{bn}前 n 项的和为 Sn,则 S2016= ﹣2100 . 【考点】数列的求和. 【分析】利用递推式计算前 5 项即可发现{an}为周期为 4 的数列,同理{bn}也是周期为 4 的 数列,将每 4 项看做一个整体得出答案. 【解答】解:∵a1=2,an+1= ,

∴a2=

=﹣3,a3=

=﹣ ,a4=

= ,a5=

=2.

∴a4n+1=2,a4n+2=﹣3,a4n+3=﹣ ,a4n= .

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∴a4n+1?a4n+2?a4n+3?a4n=2×

=1.

∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×(﹣3)×(﹣ )=3. ∵bn=(﹣1)nan, ∴b4n+1=﹣2,b4n+2=﹣3,b4n+3= ,b4n= . ∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3+ + =﹣ ∴S2016=﹣ × =﹣2100. .

故答案为:3,﹣2100.

12.已知整数 x,y 满足不等式

,则 2x+y 的最大值是 24 ;x2+y2 的最小值

是 8 . 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 代入最优解的坐标得答案.第二问,转化为点到原点的距离的平方,求出 B 的坐标代入求 解即可.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z,由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大, 由 可得 ,A(8,8)

z 最大等于 2×8+8=24. x2+y2 的最小值是可行域的 B 到原点距离的平方, 由 可得 B(2,2) .

可得 22+22=8. 故答案为:24;8.

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13.已知向量 , 满足:| |=2,向量 与 ﹣ 夹角为 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】不妨设 =(x,0) (x≥0) , 向量 与 ﹣ 夹角为 ,可得:∠AOB=θ∈ =θ,

,则

的取值范围是

= , .

= ,

=

.由于

∈[﹣1,1].在

△OAB 中,由正弦定理可得:

=

=

,化简整理可得:

=2+



= =θ,

+2,即可得出.

【解答】解:不妨设 =(x,0) (x≥0) , = , = , = . , . ∈ ,

∵向量 与 ﹣ 夹角为 ∴∠AOB=θ∈ ∴

∈[﹣1,1].

在△OAB 中,由正弦定理可得:

=

=



∴ ∴

= =2+

, ﹣

=

sinθ=



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= = = ∴ 的取值范围是 +2∈

+2 +2 . . . ,其中 x∈N*,且 f(1)=10,则 f(x)的表达式是

故答案为:

14.若 f(x+1)=2 ( )

f(x)=4?

(x∈N*) .

【考点】数列与函数的综合. 【分析】由题意可得 f(x)>0 恒成立,可对等式两边取 2 为底的对数,整理为 log2f(x+1) ﹣2= (log2f (x) ﹣2) , 由 x∈N*, 可得数列{log2f (x) ﹣2) }为首项为 log2f (1) ﹣2=log210 ﹣2,公比为 的等比数列,运用等比数列的通项公式,整理即可得到 f(x)的解析式. 【解答】解:由题意可得 f(x)>0 恒成立, 由 f(x+1)=2 ,可得: log2f(x+1)=1+log2 , 即为 log2f(x+1)=1+ log2f(x) , 可得 log2f(x+1)﹣2= (log2f(x)﹣2) , 由 x∈N*,可得数列{log2f(x)﹣2)}是首项为 log2f(1)﹣2=log210﹣2,公比为 的等比 数列, 可得 log2f(x)﹣2=(log210﹣2)?( )x﹣1, 即为 log2f(x)=2+log2 ?( )x﹣1, 即有 f(x)=22?2 故答案为:f(x)=4?( ) =4?( ) (x∈N*) . .

15.从抛物线 y2=2x 上的点 A(x0,y0) (x0>2)向圆(x﹣1)2+y2=1 引两条切线分别与 y 轴交 B,C 两点,则△ABC 的面积的最小值是 8 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设 B(0,yB) ,C(0,yC) ,A(x0,y0) ,其中 x0>2,写出直线 AB 的方程为(y0 ﹣yB)x﹣x0y+x0yB=0,由直线 AB 与圆相切可得(x0﹣2)yB2+2y0yB﹣x0=0,同理: (x0﹣2)
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yA2+2y0yA﹣x0=0,故 yA,yB 是方程(x0﹣2)y2+2y0y﹣x0=0 的两个不同的实根,因为 S= |yC﹣yB|x0,再结合韦达定理即可求出三角形的最小值. 【解答】解:设 B(0,yB) ,C(0,yC) ,A(x0,y0) ,其中 x0>2, 所以直线 AB 的方程,化简得(y0﹣yB)x﹣x0y+x0yB=0 yB2+2y0yB﹣x0=0 直线 AB 与圆相切, 圆心到直线的距离等于半径, 两边平方化简得 (x0﹣2) 同理可得: (x0﹣2)yA2+2y0yA﹣x0=0, 故 yC,yB 是方程(x0﹣2)y2+2y0y﹣x0=0 的两个不同的实根, 所以 yC+yB= ,yCyB= ,

所以 S= |yC﹣yB|x0=

=(x0﹣2)+

+4≥8,

所以当且仅当 x0=4 时,S 取到最小值 8, 所以△ABC 的面积的最小值为 8. 故答案为:8. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如图,四边形 ABCD,∠DAB=60°,CD⊥AD,CB⊥AB. (Ⅰ)若 2|CB|=|CD|=2,求△ABC 的面积; (Ⅱ)若|CB|+|CD|=3,求|AC|的最小值.

【考点】余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由已知可求∠DCB,利用余弦定理可求 BD,进而求得 AC,AB,利用三角 形面积公式即可得解. (Ⅱ)设|BC|=x>0,|CD|=y>0,由已知及基本不等式可求 BD 的最小值,进而可求 AC 的最小值. 【解答】 (本题满分为 15 分) 解: (Ⅰ)∵∠DAB=60°,CD⊥AD,CB⊥AB, 可得 A,B,C,D 四点共圆, ∴∠DCB=120°, ∴BD2=BC2+CD2﹣2CD?CB?cos120°=1+4+2=7,即 BD= , ∴ ,





第 15 页(共 22 页)



.…

(Ⅱ)设|BC|=x>0,|CD|=y>0, 则:x+y=3, BD2=x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy ∴ ,当 时取到.… ,

17.如图(1)E,F 分别是 AC,AB 的中点,∠ACB=90°,∠CAB=30°,沿着 EF 将△AEF 折起,记二面角 A﹣EF﹣C 的度数为 θ. (Ⅰ)当 θ=90°时,即得到图(2)求二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值; (Ⅱ)如图(3)中,若 AB⊥CF,求 cosθ 的值.

【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】 (Ⅰ)推导出 AE⊥平面 CEFB,过点 E 向 BF 作垂线交 BF 延长线于 H,连接 AH, 则∠AHE 为二面角 A﹣BF﹣C 的平面角,由此能求出二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值. (Ⅱ)过点 A 向 CE 作垂线,垂足为 G,由 AB⊥CF,得 GB⊥CF,由此能求出 cosθ 的值. 【解答】解: (Ⅰ)∵平面 AEF⊥平面 CEFB,且 EF⊥EC, ∴AE⊥平面 CEFB, 过点 E 向 BF 作垂线交 BF 延长线于 H,连接 AH, 则∠AHE 为二面角 A﹣BF﹣C 的平面角 设 , , ,





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∴二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值为



(Ⅱ)过点 A 向 CE 作垂线,垂足为 G,如果 AB⊥CF, 则根据三垂线定理有 GB⊥CF, ∵△BCF 为正三角形,∴ ∵ ,∴ , ,则 ,

∴cosθ 的值为 .

18.设函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=c|x|+bx+a,对任意的 x∈[﹣1,1]都有|f(x)|≤ . (1)求|f(2)|的最大值; (2)求证:对任意的 x∈[﹣1,1],都有|g(x)|≤1. 【考点】二次函数的性质;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)由|f(x)|≤ 得|f(0)|≤ ,|f(1)|≤ ,|f(﹣1)|≤ ,代入解析式 即可得出 a,b,c 的关系,使用放缩法求出|f(2)|的最值; (2)由(1)得出|g(±1)| ,故 g(x)单调时结论成立,当 g(x)不单调时,g(x)

=a,利用不等式的性质求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)∵对任意的 x∈[﹣1,1]都有|f(x)|≤ . |f(0)|≤ ,|f(1)|≤ ,|f(﹣1)|≤ , ∴|c|≤ ,|a+b+c|≤ ,|a﹣b+c|≤ ;
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∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a﹣b+c)﹣3c|≤|3(a+b+c)|+|(a﹣b+c)|+|﹣3c| ≤ = .

∴|f(2)|的最大值为 . (2)∵﹣ ≤a+b+c≤ ,﹣ ≤a﹣b+c≤ ,﹣ ≤c≤ , ∴﹣1≤a+b≤1,﹣1≤a﹣b≤1, ∴﹣1≤a≤1, 若 c|x|+bx=0,则|g(x)|=|a|,∴|g(x)|≤1, 若 c|x|+bx≠0,则 g(x)为单调函数, |g(﹣1)|=|a﹣b+c|≤ ,|g(1)|=|a+b+c|≤ , ∴|g(x)| .

综上,|g(x)|≤1.

19.已知椭圆 C: x2+y2= 相切.

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,焦点与短轴的两顶点的连线与圆

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点(1,0)的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在点 N,使得 为定值?如果有,求出点 N 的坐标及定值;如果没有,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质.

?

【分析】 (Ⅰ)由椭圆的离心率为 ,焦点与短轴的两顶点的连线与圆 x2+y2= 相切,列出 方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆方程. (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线方 程与椭圆立,利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积,结合已知条件能求出存在点 满足 .

【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: 的连线与圆 x2+y2= 相切,

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,焦点与短轴的两顶点





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解得 c2=1,a2=4,b2=3 ∴椭圆方程为 (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

则△>0,



若存在定点 N(m,0)满足条件, =(x1﹣m) 则有 (x2﹣m)+y1y2 =

如果要上式为定值,则必须有 验证当直线 l 斜率不存在时,也符合. 故存在点 满足

20.已知正项数列{an}满足:Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*) ,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项的和. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证: <( ) +( ) +( ) +…+( ) <3.

【考点】数列与不等式的综合;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)通过 Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*)与 Sn﹣12=a13+a23+…+an﹣13(n≥2,n∈N*) 作差、计算可知 Sn+Sn﹣1= ,并与 Sn﹣1﹣Sn﹣2= 作差、整理即得结论;

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(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知

,一方面利用不等式的性质、累加可知(



+





+(

) +

+…+( +… +





,另一方面通过放缩、利用裂项 <2,进而整理即得结论.

相消法计算可知

【解答】解: (Ⅰ)∵Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*) , 2 3 3 3 * S =a a a n 2 n N ∴ n﹣1 1 + 2 +…+ n﹣1 ( ≥ , ∈ ) , 两式相减得: ∴an(Sn+Sn﹣1)= ﹣ , = ,

∵数列{an}中每一项均为正数, ∴Sn+Sn﹣1= , ,

又∵Sn﹣1﹣Sn﹣2=

两式相减得:an﹣an﹣1=1, 又∵a1=1, ∴an=n; 证明: (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,













令 k=1,2,3,…,n,累加后再加

得:





+(



+(



+…+(



>2

+2

+…+2

+

=(2n+1)

=



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又∵ +

+

+…+

<3 等价于

+

+… +

<2,



=



=







=

( < (



) ﹣ )=2( ﹣ ) ,

令 k=2,3,4,…,2n+1,累加得: + =2(1﹣ +… + )<2, <2(1﹣ )+2( ﹣ )+…+2( ﹣ )





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2016 年 8 月 11 日

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