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高中数学人教B版选修2-2+3.1.3复数的几何意义+学案1+Word版含解析

书海遨游 十几载 ,今日 考场见 真章。 从容应 对不慌 张,气 定神闲 平时样 。妙手 一挥锦 绣成, 才思敏 捷无题 挡。开 开心心 出考场 ,金榜 题名美 名扬。 祝你高 考凯旋 ! 课堂导学 三点剖析 一,复数的点表示 【例 1】 设复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)z 在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上, | 2 z-m|=5 2 (m∈R),求 z 和 m 的值. 解:设 z=a+bi(a,b∈R), ∵|z|=5,∴a2+b2=25. 而(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i 又∵(3+4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上, ∴3a-4b+4a+3b=0 得 b=7a. ∴a=± 2 7 2 ,b=± , 2 2 2 7 2 + i), 2 2 即 z=± ( (1+7i). 2 z=± 当 2 z=1+7i 时,有|1+7i-m|=5 2 , 即(1-m)2+72=50. 得 m=0,m=2. 当 2 z=-(1+7i)时,同理可得 m=0,m=-2. 温馨提示 由复数的几何意义知, 复数与复平面上的点建立起一一对应的关系, 因而在解决复数的 相关问题时,我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决. 二、复数的向量表示 【例 2】 已知平行四边形 OABC 的三个项点 O、A、C 对应的复数分别为 0,3+2i,-2+4i. 试求:(1) AO 表示的复数; (2) CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数. 解:(1) AO = ? OA , ∴AO 表示的复数为-(3+2i)即-3-2i. (2) CA = OA - OC , ∴ CA 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3) OB = OA + AB = OA + OC , ∴ OB 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 温馨提示 本题给出了几何图形及一些点对应的复数.因此,借助加法、减法的几何意义求解. 三、复数模的几何意义 【例 3】 设 z∈C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1)|z|=4; (2)2<|z|<4. 解:(1)复数 z 的模等于 4,就是说,向量 OZ 的模等于 4,所以满足条件|z|=4 的点 Z 的 集合是以原点 O 为圆心,以 4 为半径的圆. (2)不等式 2<|z|<4 可化为不等式组 ? ?| z |? 4, . ?| z |? 2. 不等式|z|<4 的解集是圆|z|=4 内部所有的点组成的集合,不等式|z|>2 的解集是 圆|z|=2 外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集,就是上述不等式组的解集,也就 是满足条件 2<|z|<4 的点 Z 的集合.容易看出,点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 2 及 4 为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界. 温馨提示 满足条件|z|=r(r 为正常数)的点 Z 的集合是以原点为圆心,r 为半径的圆. 把代数问题转化为几何问题,这是数形转化的一种形态,是常用的数学思维方法之一. 各个击破 类题演练 1 已知复数 x2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限,求实数 x 的范围. 解:∵x 为实数,∴x2-6x+5 和 x-2 都是实数. ∵复数 x2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限, ∴? ? x 2 ? 6 x ? 5 ? 0, ?1 ? 2 ? 0. ∴? ?1 ? 0 ? 5, ? x ? 2. 解得 1<x<2,即 1<x<2 为所求实数 x 的范围. 变式提升 1 已知复数 z1、z2 在复平面内对应的点关于原点对称,且 3z1+(z2-2)i=2z2-(1+z1)i,求 z1 和 z2. 解:由于 z1、z2 在复平面内的对应点关于原点对称,有 z2=-z1,代入已知等式,得 3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i. 解得 5z1=i.∴z1= 类题演练 2 1 1 i,z2=- i. 5 5 向量 OA 表示的复数为 3+2i,将向量 OA 向上平移 3 个单位长度,再向左平移 2 个单位 长度,将得到向量 O?A? ,分别写出: (1)向量 O?A? 对应的复数; (2)点 O′对应的复数; (3)向量 A?O? 对应的复数. 解:如图所示,O 为原点,点 A 的坐标为(3,2),向上平移 3 个单位长度再向左平移 2 个单 位后,点 O′的坐标为(-2,3),点 A′的坐标为(1,5),坐标平移不改变 OA 的方向和模. (1)向量 O?A? 对应的复数为 3+2i. (2)点 O′对应的复数为-2+3i. (3)向量 A?O ? 对应的复数为-3-2i. 变式提升 2 已知两个向量 a、b 对应的复数是 z1=3 和 z2=-5+5i,求向量 a 与 b 的夹角. 解:a=(3,0) ,b=(-5,5) ,所以 a· b=-15· |a|=3· |b|=5 2 . 设 a 与 b 的夹角为 θ,所以 cosθ= a?b ? 15 2 ? ?? | a | ? | b | 3? 5 2 2 因为 0≤θ≤π,所以 θ= 3? . 4 类题演练 3 已知 z=3+ai,且|z-2|<2,求实数 a 的取值范围. 解法 1:利用模的定义.从两个已知条件中消去 z. ∵z=3+ai(a∈R).由|z-2|<2,得|3+ai-2|<2,即|1+ai|<2,∴ 12 ? a 2 ? 2 ,解之- 3 <a< 3 . 解法 2:利用复数的几何意义.由条件|z-2|<2 可知.z 在复平面内对应的点 Z,在以(2,0)为圆 心.2 为半径的圆内(不包括边界),如右图,由 z=3+ai 可知 z 对应的点 Z 在直线 x=3 上,所 以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合. 由图知:- 3 <a< 3

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