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【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.4.2抛物线的简单几何性质


第二章

2.4

第 2 课时

一、选择题 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点,如果 x1+x2 =6,那么,|AB|等于( A.8 C.6 [答案] A [解析] 由题意,|AB|=x1+1+x2+1=(x1+x2)+2=6+2=8,选 A. 2.(2013· 新课标Ⅰ文,8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一 点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 [答案] C [解析] 设 P 点坐标为(x0,y0),则由抛物线的焦半径公式得|PF|=x0+ 2=4 2,x0= 1 3 2,代入抛物线的方程,得|y0|=2 6,S△POF= |y0|· |OF|=2 3,选 C. 2 3.设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,又抛物线上的点 P(k,-2)与点 F 的 距离为 4,则 k 等于( A.4 C.-2 [答案] B [解析] 由题设条件可设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 又点 P 在抛物线上, 则 k2=4p, p ∵|PF|=4∴ +2=4,即 p=4,∴k=± 4. 2 4. 动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上, 且动圆恒与直线 x+2=0 相切, 则动圆必过定点( A.(4,0) C.(0,2) [答案] B [解析] ∵圆心到直线 x+2=0 的距离等于到抛物线焦点的距离,∴定点为(2,0). x2 y2 5.(2014· 山东省博兴二中质检)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 a b 2,且右焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( A. 2 B. 3 ) B.(2,0) D.(0,-2) ) ) B.4 或-4 D.-2 或 2 ) B.2 2 D.4 ) B.10 D.4

C.2 [答案] B

D.2 3

[解析] ∵抛物线 y2=4 3x 的焦点( 3,0)为双曲线的右焦点,∴c= 3, b 又 = 2,结合 a2+b2=c2,得 e= 3,故选 B. a 6.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,若点 A、B 在抛物线准线上的 射影分别为 A1,B1,则∠A1FB1 为( A.45° C.90° [答案] C [解析] 设抛物线方为 y2=2px(p>0). 如图,∵|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, ) B.60° D.120°

∴∠AA1F=∠AFA1,∠BFB1=∠FB1B. 又 AA1∥Ox∥B1B, ∴∠A1FO=∠FA1A,∠B1FO=∠FB1B, 1 ∴∠A1FB1= ∠AFB=90° . 2 二、填空题 7.一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=ax 上,另一个顶点是坐标原点,如果这个三 角形的面积为 36 3,则 a=________. [答案] ± 2 3 [解析] 设正三角形边长为 x. 1 36 3= x2sin60° ,∴x=12. 2 当 a>0 时,将(6 3,6)代入 y2=ax 得 a=2 3, 当 a<0 时,将(-6 3,6)代入 y2=ax 得 a=-2 3, 故 a=± 2 3. → → 8.已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则AP· BP取得最小值时的 点 P 的坐标是________________.

[答案] (0,0) [解析]
2

设 P?
4

2 y2 y2 -y2 ? → → → → ? y - -2,y?,BP=?- -4,y?,AP· - -2? BP = ,y ,则AP=? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ?

?-y -4?+y2= y +5y2+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). ? 4 ? 16 2
三、解答题 9.(2013· 福建文,20)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A. 点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M, N.

(1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|· |AN|,求圆 C 的半径. [解析] (1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1. 由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= 5. 所以|MN|=2 |CO|2-d2=2 5-4=2.
2 2 y2 y0 y4 0 0 2 y0 2 (2)设 C( ,y0),则圆 C 的方程为(x- )2+(y-y0)2= +y2 0,即 x - x+y -2y0y=0. 4 4 16 2

y2 0 由 x=-1,得 y2-2y0y+1+ =0, 2 设 M(-1,y1),N(-1,y2),则

?Δ=4y -4?1+ 2 ?=2y -4>0, ? y ?y y = 2 +1.
2 0 2 0 1 2 2 0

y2 0

由|AF|2=|AM|· |AN|,得|y1y2|=4, y2 0 所以 +1=4,解得 y0=± 6,此时 Δ>0. 2 3 3 所以圆心 C 的坐标为( , 6)或( ,- 6), 2 2 从而|CO|2= 33 33 33 ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 . 4 2 2

10.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y2=x 上移动,求 AB 中点到 y 轴距离的 最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标. [分析] 如图所示,线段 AB 中点到 y 轴距离取最小值时,其横坐标取最小值,因此, 只要 A、B 两点的横坐标之和取最小即可.

[解析] 如图,设 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A、B 两点到准线的垂线分别是 AC、BD, 1 M 点到准线的垂线为 MN,N 为垂足,则|MN|= (|AC|+|BD|), 2 根据抛物线定义得|AC|=|AF|,|BD|=| BF|, 1 |AB| 3 ∴|MN|= (|AF|+|BF|)≥ = . 2 2 2 1 设 M 点的横坐标为 x,则|MN|=x+ , 4 1 3 1 5 ∴x=|MN|- ≥ - = , 4 2 4 4 等号成立的条件是弦 AB 过点 F, 由于|AB|>2p=1, 5 5 ∴AB 过焦点是可能的,此时 M 点到 y 轴的最短距离是 ,即 AB 的中点横坐标为 . 4 4 1 当 F 在 AB 上时,设 A、B 的纵坐标分别为 y1、 y2,则 y1y2=-p2=- ,从而 4 5 1 2 (y1+y1)2=y2 1+y2+2y1y2=2× - =2, 4 2 2 ∴y1+y2=± , 2 5 2 5 ∴M 点的坐标为( ,± )时,M 到 y 轴距离的最小值为 . 4 2 4 [点评] 本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中,再结合抛物 线的定义和方程求解,这样解答简捷准确.

一、选择题 x2 y2 11.(2014· 荆州中学期中)抛物线 y2=2x 的焦点为 F,其准线经过双曲线 2- 2=1(a>0, a b b>0)的左顶点,点 M 为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2,则双曲线的离心率为( )

A.

10 2

B.2 D. 5 2

C. 5 [答案] A 1 1 [解析] F( ,0),l:x=- , 2 2 1 由题意知 a= . 2

1 3 由抛物线的定义知,xM-(- )=2,∴xM= , 2 2 9 4 3 2 ∴yM =3,∵点(xM,yM)在双曲线上,∴ - 2=1, 1 b 4 3 5 c2 5 5 ∴b2= ,∴c2=a2+b2= ,∴e2= 2= ×4= , 8 8 a 8 2 ∴e= 10 . 2

12.已知 A、B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 为坐标原点,如果|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点 F,则直线 AB 的方程是( A.x-p=0 C.2x-5p=0 [答案] C [解析] 如图所示: ∵F 为垂心,F 为焦点,OA=OB,∴OF 垂直平分 AB. ∴AB 为垂直于 x 轴的直线 设 A 为(2pt2,2pt)(t>0),B 为(2pt2,-2pt), ∵F 为垂心,∴OB⊥AF,∴kOB· kAF=-1, 即 -?2pt?2 5 =-1,解得 t2= p 4 ?2pt2- ?· 2pt2 2 )

B.4x-3p=0 D.2x-3p=0

5 ∴AB 的方程为 x=2pt2= p,∴选 C. 2 二、填空题 13.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,则 点 M 的坐标为________________. [答案] (-9,-6)或(-9,6)

p ? p [解析] 由抛物线方程 y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为 F? ?-2,0?,准线方程为 x=2, p 设点 M 到准线的距离为 d,则 d=|MF|=10,即 -(-9)=10, 2 ∴p=2,故抛物线方程为 y2=-4x. 将 M(-9,y)代入抛物线方程,得 y=± 6,∴M(-9,6)或 M(-9,-6). 14.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如 果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=________. [答案] 8 [解析] 如图,kAF=- 3, ∴∠AFO=60° , ∵|BF|=4,∴|AB|=4 3, 即 P 点的纵坐标为 4 3, ∴(4 3)2=8x,∴x=6, ∴|PA|=8=|PF|. 三、解答题 15.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切. [解析] 如图,作 AA′⊥l 于 A′,BB′⊥l 于 B′,M 为 AB 的中心,作 MM′⊥l 于 M′,

则由抛物线定义可知|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|, 1 在直角梯形 BB′A′A 中,|MM′|= (|AA′|+|BB′|) 2 1 1 = (|AF|+|BF|)= |AB|, 2 2 即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径. 故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切. 16.一抛物线拱桥跨度为 52m,拱顶离水面 6.5m,一竹排上载有一宽 4m,高 6m 的大 木箱,问竹排能否安全通过? [解析] 如图所示建立平面直角坐标系,

设抛物线方程为 x2=-2py,则有 A(26,-6.5), 设 B(2,y),由 262=-2p×(-6.5)得 p=52, ∴抛物线方程为 x2=-104y. 1 当 x=2 时,4=-104y,y=- , 26 1 ∵6.5- >6,∴能安全通过. 26 17.如图,有一张长为 8,宽为 4 的矩形纸片 ABCD,按如图所示的方法进行折叠,使 每次折叠后点 B 都落在 AD 边上,此时记为 B′(注:图中 EF 为折痕,点 F 也可落在 CD 边 上).过点 B′作 B′T∥CD 交 EF 于点 T,求点 T 的轨迹方程.

[解析] 如图,以边 AB 的中点 O 为原点,AB 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系, 则 B(0,-2).连结 BT,由折叠知|BT|=|B′T|.∵B′T∥CD,CD⊥AD, ∴B′T⊥AD.根据抛物线的定义知,点 T 的轨迹是以点 B 为焦点,AD 所在直线为准线 的抛物线的一部分.设 T(x,y).∵|AB|=4.即定点 B 到定直线 AD 的距离为 4,∴抛物线的 方程为 x2=-8y.在折叠中,线段 AB′的长度|AB′|在区间[0,4]内变化,而 x=|AB′|,∴ 0≤x≤4,故点 T 的轨迹方程为 x2=-8y(0≤x≤4).

18.已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60° ,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. [分析] (1)由倾斜角可知斜率,从而得到 l 的方程,与抛物线方程联立,结合抛物线定 义可求得|AB|的值;(2)由|AB|=9 求得弦 AB 中点的横坐标即可求得 M 到准线的距离. 3 [解析] (1)因为直线 l 的倾斜角为 60° ,所以其斜率 k=tan60° = 3.又 F( ,0),所以直 2 3 线 l 的方程为 y= 3(x- ). 2

y =6x, ? ? 联立? 消去 y 得 3 ?y= 3?x-2?, ?

2

9 x2-5x+ =0. 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=5, p p 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p, 2 2 所以|AB|=5+3=8. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横 3 3 9 坐标是 3.又准线方程是 x=- ,所以 M 到准线的距离为 3+ = . 2 2 2


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