抛物线及其标准方程 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.(2014·安徽高考)抛物线 y= x 的准线方程是( A.y =-1 C.x=-1 2 2 2 60 分) ) B.y=-2 D.x=-2 【解析】选 A.y= x ?x =4y，所以抛物线的准线方程是 y=-1. 2.(2015·大连高二检测)点 M(5，3)到抛物线 y=ax 准线的距离为 6，那么抛物线的方程是 ( A.y=12x 2 2 ) B.y=12x 或 y=-36x 2 2 2 C.y=-36x D.y= x ，y=2 x 或 y=x. ) D.2 2 x 2 【解析】选 D.分两类 a>0，a<0 可得 y= 2 3.抛物线 y =ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( A. B. 2 C.|a| 【解析】选 B.因为 y =ax，所以 p= ，即焦点到准线 的距离为 .故选 B. 4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为 60cm,灯深 40 cm,则抛物线的标准方程可能是 ( A.y = C.x =2 2 ) B.y = 2 x y x 2 D.x =2 y 2 【解析】选 C.如果设抛物线的方程为 y =2px(p>0),则抛物线过点(40,30),30 =2p×40,2p= 的方程应为 y = 2 ,所以抛物线 x,所给选项中没有 y = 2 x,但方程 x =2 2 y 中的“2p”的值为 ,所以选项 C 符合题意. ， 5.(2015·重庆高二检测)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y =4 则△POF 的面积为 ( A.2 B.2 ) C.2 D.4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4 【解题指南】由|PF|=4 及抛物线的定义求出点 P 的坐标，进而求出面积. ，焦点 F( ，0)，由|PF|=4 及抛物线的定义知，P 点 -1- 【解析】选 C.抛物线 C 的准线方程为 x=- 的横坐标 xP=3 所以 ，从而 yP=±2 ， ×2 =2 . = |OF|·|yP|= × 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6.(2015·邢台高二检测)若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0，3)的距离小 2，则点 P 的轨迹方程是 ________. 【解析】由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0，3)的距离，故点 P 的轨迹是以点(0，3)为焦 点，以 y=-3 为准线的抛物线，且 p=6，所以其标准方程为 x =12y. 答案：x =12y 7.若抛物线 y =-2px(p>0)上有一点 M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为 10，则点 M 的坐标为________. 【解析】由抛物线方程 y =-2px(p>0)，得其焦点坐标为 F(- ，0)，准线方程为 x= ，设 点 M 到准线的距 离为 d，则 d=|MF|=10，即 -(-9)=10， 所以 p=2，故抛物线方程为 y =-4x. 将 M(-9，y)代入抛物线方程，得 y=±6， 所以 M(-9，6)或 M(-9，-6). 答案：(-9，-6)或(-9，6) 【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线 y =2x 上一点 M 到坐标原点 O 的距离为 线焦点的距离为________. 【解析】设 M(x，y)，则由 得 x +2x-3=0. 解得 x=1 或 x=-3(舍). 所以点 M 到抛物线焦点的距离 d=1答案： 8.已知 F 是抛物线 y= x 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是________. 2 2 2 2 2 2 2 2 ，则点 M 到抛物 = . 【解析】由 y= x 得 x =4y，所以 F(0，1).设线段 PF 的中点 M(x，y)，P(x0，y0)，则 2 2 -2- 即 2 又 P(x0，y0)在 x =4y 上， 2 2 故 4x =4(2y-1) ，得 x =2y-1. 答案：x =2y-1 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9.(2015·吉林高二检测)已知动圆 M 与直线 y=2 相切，且与定圆 C：x +(y+3) =1 外切，求动圆圆心 M 的轨 迹方程. 【解题指南】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，则由题意可得 M 到 C(0，-3)的距离与到直线 y=3 的距离 相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求. 【解析】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r， 则由题意可得 M 到 C(0，-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等， 则动圆圆心的轨迹是以 C(0，-3)为焦点，y=3 为准线的一条抛物线，其方程为 x =-12y. 10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽 8 米.一木船宽 4 米，高 2 米，载货的木 船露在水面上的部分为 0.75 米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与 y 轴重合，问题转 化为求出 x=2 时的 y 值. 【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为 y 轴建立直角坐标系(如图). 2 2 2 2 设抛物线的方程是 x =-2py(p>0)， 由题意知(4，-5)在抛物线上， 故：16=-2p×(-5)? p= ， 则抛物线的方程是 x =2 2 y(-4≤x≤4)， 设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于 B，B′时，木船开始不能通航. 设 B(2，y′)，所以 2 =2 y′? y′=- ，即水面与拱顶相距为 0.75+ =2(米)， 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时，木船开始不能通航. -3- (20 分钟 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)