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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课时提升作业11_1

抛物线及其标准方程 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2014·安徽高考)抛物线 y= x 的准线方程是( A.y =-1 C.x=-1 2 2 2 60 分) ) B.y=-2 D.x=-2 【解析】选 A.y= x ?x =4y,所以抛物线的准线方程是 y=-1. 2.(2015·大连高二检测)点 M(5,3)到抛物线 y=ax 准线的距离为 6,那么抛物线的方程是 ( A.y=12x 2 2 ) B.y=12x 或 y=-36x 2 2 2 C.y=-36x D.y= x ,y=2 x 或 y=x. ) D.2 2 x 2 【解析】选 D.分两类 a>0,a<0 可得 y= 2 3.抛物线 y =ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( A. B. 2 C.|a| 【解析】选 B.因为 y =ax,所以 p= ,即焦点到准线 的距离为 .故选 B. 4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为 60cm,灯深 40 cm,则抛物线的标准方程可能是 ( A.y = C.x =2 2 ) B.y = 2 x y x 2 D.x =2 y 2 【解析】选 C.如果设抛物线的方程为 y =2px(p>0),则抛物线过点(40,30),30 =2p×40,2p= 的方程应为 y = 2 ,所以抛物线 x,所给选项中没有 y = 2 x,但方程 x =2 2 y 中的“2p”的值为 ,所以选项 C 符合题意. , 5.(2015·重庆高二检测)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 则△POF 的面积为 ( A.2 B.2 ) C.2 D.4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 【解题指南】由|PF|=4 及抛物线的定义求出点 P 的坐标,进而求出面积. ,焦点 F( ,0),由|PF|=4 及抛物线的定义知,P 点 -1- 【解析】选 C.抛物线 C 的准线方程为 x=- 的横坐标 xP=3 所以 ,从而 yP=±2 , ×2 =2 . = |OF|·|yP|= × 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·邢台高二检测)若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是 ________. 【解析】由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦 点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x =12y. 答案:x =12y 7.若抛物线 y =-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,则点 M 的坐标为________. 【解析】由抛物线方程 y =-2px(p>0),得其焦点坐标为 F(- ,0),准线方程为 x= ,设 点 M 到准线的距 离为 d,则 d=|MF|=10,即 -(-9)=10, 所以 p=2,故抛物线方程为 y =-4x. 将 M(-9,y)代入抛物线方程,得 y=±6, 所以 M(-9,6)或 M(-9,-6). 答案:(-9,-6)或(-9,6) 【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线 y =2x 上一点 M 到坐标原点 O 的距离为 线焦点的距离为________. 【解析】设 M(x,y),则由 得 x +2x-3=0. 解得 x=1 或 x=-3(舍). 所以点 M 到抛物线焦点的距离 d=1答案: 8.已知 F 是抛物线 y= x 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方程是________. 2 2 2 2 2 2 2 2 ,则点 M 到抛物 = . 【解析】由 y= x 得 x =4y,所以 F(0,1).设线段 PF 的中点 M(x,y),P(x0,y0),则 2 2 -2- 即 2 又 P(x0,y0)在 x =4y 上, 2 2 故 4x =4(2y-1) ,得 x =2y-1. 答案:x =2y-1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015·吉林高二检测)已知动圆 M 与直线 y=2 相切,且与定圆 C:x +(y+3) =1 外切,求动圆圆心 M 的轨 迹方程. 【解题指南】设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离 相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求. 【解析】设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r, 则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等, 则动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦点,y=3 为准线的一条抛物线,其方程为 x =-12y. 10.某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶 5 米时,水面宽 8 米.一木船宽 4 米,高 2 米,载货的木 船露在水面上的部分为 0.75 米,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? 【解题指南】先建立平面直角坐标系,确定抛物线的方程,由对称性知,木船的轴线与 y 轴重合,问题转 化为求出 x=2 时的 y 值. 【解析】以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为 y 轴建立直角坐标系(如图). 2 2 2 2 设抛物线的方程是 x =-2py(p>0), 由题意知(4,-5)在抛物线上, 故:16=-2p×(-5)? p= , 则抛物线的方程是 x =2 2 y(-4≤x≤4), 设水面上涨,木船两侧面与抛物线形拱桥接触于 B,B′时,木船开始不能通航. 设 B(2,y′),所以 2 =2 y′? y′=- ,即水面与拱顶相距为 0.75+ =2(米), 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时,木船开始不能通航. -3- (20 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

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