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2015年高考真题——理科数学(天津卷) Word版含解析


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类)

第I卷
注意事项: 1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号. 2、本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8 ? ,集合 A ? ?2,3,5,6? ,集合 B ? ?1,3, 4,6,7? ,则 集合 A

? UB ?

(A) ?2,5? (B) ?3, 6? (C) ?2,5,6? (D) ?2,3,5,6,8? 【答案】A 【解析】 试题分析: ? U B ? {2,5,8} ,所以 A 考点:集合运算.

? U B ? {2,5} ,故选 A.

?x ? 2 ? 0 ? (2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
(A)3 【答案】C (B)4 (C)18 (D)40

8 6 4

B
2

A
15 10 5 2 4 6 8 5 10 15

考点:线性规划. (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A) ?10 (B)6(C)14(D)18

【答案】B 【解析】 试题分析:模拟法:输入 S ? 20, i ? 1 ;

i ? 2 ? 1, S ? 20 ? 2 ? 18,2 ? 5 不成立; i ? 2 ? 2 ? 4, S ? 18 ? 4 ? 14,4 ? 5 不成立 i ? 2 ? 4 ? 8, S ? 14 ? 8 ? 6,8 ? 5 成立
输出 6 ,故选 B. 考点:程序框图. (4)设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A

考点:充分条件与必要条件. (5)如图,在圆 O 中, M , N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD, CE 分别经过点 M , N .若

CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 ,则线段 NE 的长为
(A)

8 3

(B)3

(C)

10 3

(D)

5 2

D E O A M C
【答案】A 【解析】 试题分析: 由相交弦定理可知,AM ? MB ? CM ? MD, CN ? NE ? AN ? NB , 又因为 M , N 是 弦 AB 的 三 等 分 点 , 所 以 AM ? MB ? AN ? NB ? CN ? NE ? CM ? MD , 所 以

N

B

NE ?

CM ? MD 2 ? 4 8 ? ? ,故选 A. CN 3 3

考点:相交弦定理. (6)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的一个焦 a 2 b2

?

?

点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 ( C) ? ? ? 1 (B) ? ? 1 (D) ? ?1 28 21 21 28 3 4 4 3

【答案】D

考点:1.双曲线的标准方程及几何性质;2.抛物线的标准方程及几何性质. (7)已知定义在 R 上 的 函 数 f ? x? ? 2
x?m

?1 ( m 为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记

a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C 【解析】 试题分析:因为函数 f ? x ? ? 2
x ?m

? 1为偶函数,所以 m ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 ? 1 ,所以
x
1

log2 1? ? a ? f (log0.5 3) ? f ? log2 ? ? 2 3 ? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2, 3? ?

b ? f ?log2 5? ? 2log2 5 ? 1 ? 4, c ? f ? 2m? ? f (0) ? 20 ? 1 ? 0
所以 c ? a ? b ,故选 C. 考点:1.函数奇偶性;2.指数式、对数式的运算. (8)已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R ,若函数

y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是
(A) ?

7? ?7 ? ? ? 7? ?7 ? , ?? ? (B) ? ??, ? (C) ? 0, ? (D) ? , 2 ? 4? ?4 ? ? ? 4? ?4 ?

【答案】D 【解析】

试题分析:由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x?0 ? ?x ,

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , 0? x ? 2, ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 0? x?2 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? b ,所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方程 f ( x) ? f (2 ? x) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x) ? f (2 ? x) 的图象
的 4 个公共点,由图象可知

7 ? b? 2. 4
8 6 4 2

15

10

5 2 4 6 8

5

10

15

考点:1.求函数解析式;2.函数与方程;3.数形结合.

第 II 卷
注意事项: 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题,共计 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) i 是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,则实数 a 的值为 【答案】 ? 2 【解析】 试题分析: ?1 ? 2i ?? a ? i ? ? a ? 2 ? ?1 ? 2a ? i 是纯度数,所以 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 . .

考点:1.复数相关定义;2.复数运算. (10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为

m3 .

【答案】 ? 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为 1 ,高为 2 的圆柱,两端是底面 半径为 1 ,高为 1 的圆锥,所以该几何体的体积 V ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ?
2

8 3

1 2 8 ?1 ? ? ?1 ? ? . 3 3
.

考点:1.三视图;2.旋转体体积. (11)曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为 【答案】 【解析】 试题分析:两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1) ,所以它们所围成的封闭图形的面积
1 1 ? 1 ?1 S ? ? ? x ? x 2 ? dx ? ? x 2 ? x 3 ? ? . 0 3 ?0 6 ?2 1

1 6

考点:定积分几何意义. (12)在 ? x ? 【答案】

? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数为 4x ?

6

.

15 16

考点:二项式定理及二项展开式的通项. (13)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 ?ABC 的面积为 3 15 ,

1 b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 a 的值为 4
【答案】 8 【解析】

.

2 试题分析:因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ?

15 , 4

又 S?ABC ?

?b ? c ? 2 1 15 得 b ? 6, c ? 4 ,由 bc sin A ? bc ? 3 15,? bc ? 24 ,解方程组 ? 2 8 ?bc ? 24

余弦定理得

? 1? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? ? ? ? 64 ,所以 a ? 8 . ? 4?
考点:1.同角三角函数关系;2.三角形面积公式;3.余弦定理. ( 14)在等腰梯形 ABCD 中 , 已知 AB / / DC, AB ? 2, BC ? 1,? ABC ? 60 , 动点 E 和 F 分 别 在 线 段 BC 为 【答案】 【解析】 试 和 DC . 上 , 且 , BE ? ? BC , DF ?

1 DC , 9?

则 AE ? AF 的 最 小 值

29 18
1 D D ?C C 2

1 D ? F 9? 1 1 ? 9? 1 ? 9? CF ? DF ? DC ? DC ? DC ? DC ? AB , 9? 9? 18?
题 分 析 : 因 为

,

A ,

B

AE ? AB ? BE ? AB ? ? BC
AF ? AB ? BC ? CF ? AB ? BC ? 1 ? 9? 1 ? 9? AB ? AB ? BC , 18? 18?



2 2 1 ? 9? ? ? 1 ? 9? ? 1 ? 9? ? AE ? AF ? AB ? ? BC ? ? AB ? BC ? ? AB ? ? BC ? ? 1 ? ? ? AB ? BC 18? ? ? 18? ? 18? ?

?

?

?

1 ? 9? 19 ? 9? 2 1 17 2 1 17 29 ?4?? ? ? 2 ? 1 ? cos120? ? ? ?? ?2 ? ?? ? 18? 18? 9? 2 18 9? 2 18 18

当且仅当

2 1 2 29 ? ? 即 ? ? 时 AE ? AF 的最小值为 . 9? 2 3 18

D F

C E

A

B

考点:1.向量的几何运算;2.向量的数量积;3.基本不等式. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x ?
2 2

? ?

??

?, x?R 6?

(I)求 f ( x ) 最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 [ -

p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4
1 3 , f ( x ) min ? ? . 2 4

【答案】(I) ? ; (II) f ( x ) max ?

考点:1.两角和与差的正余弦公式;2.二倍角的正余弦公式;3.三角函数的图象与性质.

16. (本小题满分 13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组 队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子 选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)

6 ; 35

(II) 随机变量 X 的分布列为

X P
E?X ? ?
【解析】

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

5 2

试题分析:(I)由古典概型计算公式直接计算即可; (II)先写出随机变量 X 的所有可能值,求出 其相应的概率,即可求概率分布列及期望. 试题解析:(I)由已知,有

P( A) ?
所以事件 A 发生的概率为

2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 ? 4 C8 35

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4

P?X ? k? ?
所以随机变量 X 的分布列为

k 4?k C5 C3 (k ? 1,2,3,4) C84

X P

1

2

3

4

3 3 1 1 14 7 7 14 1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? 14 7 7 14 2
考点:1.古典概型;2.互斥事件;3.离散型随机变量的分布列与数学期望. 17. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中 , 侧 棱

A1 A ? 底面ABCD , AB ? AC , AB = 1 ,

AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN 平面ABCD ; (II)求二面角 D1 -AC - B1 的正弦值; (III)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 长

1 ,求线段 A 1E 的 3

【答案】(I)见解析; (II) 【解析】

3 10 ; (III) 10

7 ?2.

试题分析: 以 A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法向 量,两个向量的乘积等于 0 即可;(II)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余

? 的值, 弦值的大小,再求正弦值即可;(III) 设 A 1E ? ? A 1B1 ,代入线面角公式计算可解出
即可求出 A 1E 的长. 试题解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得

A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, ?2,0) ,

A1 (0,0,2), B1 (0,1,2), C1 (2,0,2), D1 (1, ?2,2) ,又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得
? 1 ? M ?1, ,1? , N (1, ?2,1) . ? 2 ?

(I)证明:依题意,可得 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量, MN ? ? 0, ? ,0 ? , 由此可得, MN ? n ? 0 ,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以 MN // 平面 ABCD (II) AD1 ? (1, ?2,2), AC ? (2,0,0) ,设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 ACD1 的法向量,则

? ?

5 2

? ?

? ? x ? 2 y ? 2z ? 0 ?n1 ? AD1 ? 0 ,即 ? ,不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) , ? 2 x ? 0 n ? AC ? 0 ? ? ? 1
设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 的一个法向量,则 ?

? ?n2 ? AB1 ? 0 ? ?n2 ? AC ? 0

,又 AB1 ? (0,1,2) ,得

? y ? 2z ? 0 ,不妨设 z ? 1 ,可得 n2 ? (0, ?2,1) ? 2 x ? 0 ?
因此有 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

??

10 3 10 ,于是 sin n1 , n2 ? , 10 10

所以二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

3 10 . 10

(III)依题意,可设 A 1E ? ? A 1B1 ,其中 ? ? [0,1] ,则 E (0, ? ,2) ,从而 NE ? (?1, ? ? 2,1) , 又 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,由已知得

cos NE , n ?

NE ? n NE ? n

?

1 ? ,整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 , 3 ( ?1) ? (? ? 2) ? 1
2 2 2

1

又因为 ? ? [0,1] ,解得 ? ?

7 ? 2,

所以线段 A 1E 的长为 7 ? 2 . 考点:1.直线和平面平行和垂直的判定与性质;2.二面角、直线与平面所成的角;3.空间向 量的应用. 18. ( 本 小 题 满 分 13
*













{an }





an?2 ? qan ( 为实数,且 q q ?1, ? )
a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

an ?1 aN? ,且 , 2

1 ,

2

log 2 a2 n 的前 n 项和. , n ? N * ,求数列 {bn} a2 n?1

?1 ? n2 2 , n为奇数, n?2 ? 【答案】(I) an ? ? n ; (II) S n ? 4 ? n ?1 . 2 ? 2 2 , n为偶数. ?

【解析】 试题分析:(I)由 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 得 a4 ? a2 ? a5 ? a3 先求出 q , 分 n 为奇数与偶数讨论即可;(II)求出数列 ?bn ? 的通项公式,用错位相减法求和即可. 试题解析:(I) 由已知,有 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 ,即 a4 ? a2 ? a5 ? a3 , 所以 a2 (q ? 1) ? a3 (q ? 1) ,又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1q ,得 q ? 2 , 当 n ? 2k ? 1(n ? N *) 时, an ? a2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 当 n ? 2k (n ? N *) 时, an ? a2k ? 2k ? 2 2 ,
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? 所以 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? 2 2 , n为偶数. ?

(

) (
(

) (

) (

)

) (

) (

) (

)

n ?1 2



n

考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前 n 项和公式.3.错位相减法.

x2 y 2 3 19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) ,离心率为 , a b 3
点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = (I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取 值范围. 【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I) 由椭圆知识先求出 a, b, c 的关系,设直线直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,求
2 2

b4 4 3 截得的线段的长为 c,|FM|= . 4 3

? 2 3? ? 2 2 3? x2 y2 3 , ? ? 1 ;(III) ? ??, ? ; (II) ? ? ?. 3 ? ? 3 3 ? 3 2 3 ?

出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率 k 的值; (II)由(I)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,直 3c 2 2c 2

线与椭圆方程联立,求出点 M 的坐标,由 FM ?

4 3 可求出 c ,从而可求椭圆方程.(III) 3

设出直线 FP : y ? t ( x ? 1) ,与椭圆方程联立,求得 t ? 即可求直线 OP 的斜率的取值范围. 试题解析:(I) 由已知有

6 ? 2 x2 ? 2 ,求出 x 的范围, 3( x ? 1)2

c2 1 ? ,又由 a 2 ? b2 ? c2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c 2 , a2 3

设直线 FM 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,由已知有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?
(II)由(I)得椭圆方程为 整理得

2

2

2

x2 y2 ? ? 1, 直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) , 两个方程联立, 消去 y , 3c 2 2c 2

5 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,解得 x ? ? c 或 x ? c ,因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 3

? 2 3 ? ?2 3 ? 4 3 c ? ,由 FM ? (c ? c)2 ? ? ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 c ? 0? ? ? c, 3 ? 3 ? ? 3 ?

2

x2 y2 ? ?1 3 2
(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y ,即 y ? t ( x ? 1) ( x ? ?1) , x ?1

? y ? t ( x ? 1) ? 2 2 2 与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,整理得 2 x ? 3t ( x ? 1) ? 6 ,又由已知,得 ? ?1 ? 2 ?3

t?
?

6 ? 2 x2 ? 2 ,解得 3( x ? 1)2

3 ? x ? ? 1 或 ?1 ? x ? 0 , 2
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y ,即 y ? mx( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 x

m2 ?

2 2 ? . x2 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ?

? 3 ? 2

? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 2 3? m?? , ? 3 ? ? 3
②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 3? m ? ? ??, ? ? 3 ? ?
综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ?

2 3? ? 3 ?

? 2 2 3? , ? ? 3 ? ? 3

考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式. 20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? n x ? xn , x ? R ,其中 n ? N * , n ? 2 .

(I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P, 曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ; (III)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 1- n

【答案】(I) 当 n 为奇数时, f ( x ) 在 ( ??, ?1) , (1, ??) 上单调递减,在 ( ?1,1) 内单调递增; 当 n 为偶数时, f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II)见解析; (III) 见解析.

n 试题解析:(I)由 f ( x) ? nx ? x ,可得,其中 n ? N * 且 n ? 2 ,

下面分两种情况讨论:

(1)当 n 为奇数时: 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 , 当 x 变化时, f ?( x ), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

( ??, ?1)

( ?1,1)

(1, ??)

?

?

?

所以, f ( x ) 在 ( ??, ?1) , (1, ??) 上单调递减,在 ( ?1,1) 内单调递增. (2)当 n 为偶数时, 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递减. 所以, f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II)证明:设点 P 的坐标为 ( x0 ,0) ,则 x0 ? n
1 n ?1

, f ?( x0 ) ? n ? n2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 P 处

的切线方程为 y ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,即 g( x) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,即

F ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,则 F ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 )
由于 f ?( x) ? ?nxn?1 ? n 在 ?0, ??? 上单调递减,故 F ?( x) 在 ?0, ??? 上单调递减,又因为

F ?( x0 ) ? 0 ,所以当 x ? (0, x0 ) 时, F ?( x0 ) ? 0 ,当 x ? ( x0, ?? ) 时,F ?( x0 ) ? 0 ,所以 F ( x )
在 (0, x0 ) 内单调递增,在 ( x0 , ??) 内单调递减,所以对任意的正实数 x 都有

F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对任意的正实数 x ,都有 f ( x ) ? g ( x ) .
2 (III)证明:不妨设 x1 ? x2 ,由(II)知 g ( x ) ? n ? n

?

? ? x ? x ? ,设方程 g ( x) ? a 的根为 x ? ,
0 2

可得

x2 ? ?

a ? x0 . ,当 n ? 2 时, g ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递减,又由(II)知 n ? n2

g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? a ? g ( x2? ), 可得 x2 ? x2? .
类似的,设曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程为 y ? h( x ) ,可得 h( x ) ? nx ,当

x ? (0, ??) ,

f ( x) ? h( x) ? ? x n ? 0 ,即对任意 x ? (0, ??) , f ( x ) ? h( x ).
设方程 h( x ) ? a 的根为 x1? ,可得 x1? ?

a ,因为 h( x ) ? nx 在 ? ??, ??? 上单调递增,且 n

考点:1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函数性质、证明不等式.

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2015 年普通高等学校招生全套统一考试(天津卷) 数学(理工类)参考解答
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。 (1)A (5)A (2)C (6)D (3)B (7)C (4)A (8)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 30 分。 (9)-2 (10) ?

8 3

(11)

1 6
29 18

(12)

15 16

(13)8

(14)

三、解答题 (15)本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角 函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分 13 分。 (I)解:由已知,有

1 ? cos(2 x ? ) 1 ? cos 2 x 3 = 1 ? 1 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? ? 1 cos 2 x f ( x) ? ? ? ? ? 2 2? 2 2 2 ?2 ?
? 3 1 1 ? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 4 4 2 ? 6?
2? ?? 2

?

所以, f ( x ) 的最小正周期 T=

? ? ?? ? ? ?? , ? ? 上是减函数,在区间 ? ? , ? 上是增函数, ? 3 6? ? 6 4? 1 1 3 ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? .所以, f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值 f ?? ? ? ? , f ?? ? ? ? , f ? ? ? 4 2 ? 3? ? 6? ? 3 4? ?4? 4
(II)解:因为 f ( x) 在区间 ? ? 为

1 3 ,最小值为 ? . 2 4

(16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布 列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.
(I)解:由已知,有

P( A) ?
6 . 35

2 2 C2 C3 ? C32C32 6 ? C84 35

所以,事件 A 发生的概率为

(II)解:随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

P( X ? k ) ?
所以,随见变量 X 的分布列为

C5k C34?k (k ? 1, 2,3, 4). C84

X
P

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1?

1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 14 7 7 14 2

(17) 本小题主要考查直线与平面平行和垂直、 二面角、 直线与平面所成的角等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力。 满分 13 分. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题 意可得 A(0, 0, 0) , B(0,1,0), C (2,0,0) , D(1, ?2, 0) ,

A1 (0,0, 2) , B1 (0,1, 2), C1 (2,0, 2), D(1, ?2, 2) .
又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点, 得 M ? 1, ,1? , N (1, ?2,1) . (I)证明:依题意,可得 n ? (0, 0,1) 为平面

? 1 ? ? 2 ?

5 ? ? ABCD 的一个法向量. MN = ? 0, ? , 0 ? .由此可得 2 ? ? MN n =0,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以

MN MN ∥平面 ABCD .
(II)解: AD1 ? (1, ?2, 2) , AC ? (2,0,0) .设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACD1 的法向量, 则

? ?n1 AD1 ? 0, ? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 即? 不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) . ? ?2 x ? 0. ? ?n1 AC ? 0,
设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 DE 法向量,则 ?

? ? n1 AB1 ? 0, ? ? n1 AC ? 0,

又 AB1 ? (0,1, 2) ,得

? y ? 2 z ? 0, ? ?2 x ? 0.
不妨设 z=1,可得 n2 ? (0, ?2,1) . 因此有 cos n1 , n2 ?

3 10 n1 n2 10 ,于是 sin n1 , n2 ? . ?? 10 n1 n2 10

所以,二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

3 10 。 10

(III)解:依题意,可设 A 1E ? ? A 1B 1 , ,其中 ? ? ? 0,1? ,则 E ? 0, ?, 2? ,从而

NE ? ? ?1, ? ? 2,1? 。又 n ? ? 0,0,1? 为平面 ABCD 的一个法向量,由已知,得
cos NE , n ?

NE n NE n

?
1 ,整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 ,又因为 ? ??0,1? ,解得 ? ? 7 ? 2 . 3

1 (?1)2 ? (? ? 2)2 ? 12

=

所以,线段 A1E 的长为 7 ? 2 .

(18)本小题主要考查等比数列及其前 n 项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的 基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分 13 分. (I)解:由已知,有 ? a3 ? a4 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ? a4 ? a5 ? ? ? a3 ? a4 ? ,即 a4 ? a2 ? a5 ? a3 , 所以 a2 ? q ?1? ? a3 ? q ?1? .又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1 q ,得 q ? 2 . 当 n ? 2k ?1(k ? N ? ) 时, an ? a2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 当 n ? 2k (k ? N ) 时, an ? a2 k ? 2 ? 2 .
k n ?1 2



?

n 2

?1 ? n2 ?2 , n为奇数, 所以, ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ?2 2 ,n为偶数. ?

(II)解:由(I)得 bn ?

log 2 a2 n n ? n ?1 .设 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则 a2 n ?1 2

S n ? 1?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? n ? n ?1 , 0 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 Sn ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? ? n ? 1? ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2 2
上述两式相减,得

1 1? n 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2? 2 ? n , Sn ? 1 ? ? 2 ? ... n?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2 2n 2n 1? 2
整理得, S n ? 4 ?

n?2 . 2n ?1
n?2 , n? N? . 2 n ?1

所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 4 ?

(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置 关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质,考查运算求解能力, 以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分 14 分. (I)解:由已知有

c2 1 ? ,又由 a2 ? b2 +c2 ,可得 a2 ? 3c2 , b2 ? 2c2 . 2 a 3
0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) .由已知,有

设直线 FM 的斜率为 k (k
2

? kc ? ? c ?2 ? b ?2 3 . ? 2 ? + ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

x2 y2 3 ? ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? ? x ? c ? ,两 2 2 3c 2c 3 5 2 2 个方程联立,消去 y,整理得 3x ? 2cx ? 5c ? 0 ,解得 x ? ? c ,或 x ? c .因为点 M 在第一 3
(II)解:由(I)得椭圆方程为

? 2 3 ? ?2 3 ? 4 3 c 象限,可得 M 的坐标为 ? c, .有 FM ? (c ? c)2 ? ? ,解得 c ? 1 , c ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?
所以椭圆的方程为

2

x2 y 2 ? ? 1. 3 2
y ,即 x ?1

(III)解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y ? t ? x ?1? ? x ? ?1? ,

? y ? t ( x ? 1), ? 与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 2x2 ? 3t 2 ( x ? 1)2 ? 6 .又由已知,得 ? 1, ? ? ?3 2

t?

6 ? 2 x2 3( x ? 1)2

2 ,解得 ?

3 2

x

?1 ,或 ?1

x

0.

设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ? 得 m2 ?

y ,即 y ? mx (x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可 x

2 2 ? . x2 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1)

? m?? ? ?

? 3 ? 2 2 2 3? , ?. 3 3 ? ?

? ?

0 ,因此 m

0 ,于是 m ?

2 2 ? ,得 x2 3

②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1)

0 ,因此 m

0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 3? m?? ? ??, ? 3 ? ?. ? ?
综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ? ?

2 3? ? 3 ? ?

? 2 2 3? ? ? 3 , 3 ? ?. ? ?

(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不 等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、 函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解 决问题的能力。满分 14 分. (I)解: 由 f ( x) = nx ? x n ,可得 f ' ( x) = n ? nx n ?1 = n 1 ? x n ?1 ,其中 n ? N ? ,且 n ? 2 .

?

?

下面分两种情况讨论: (1)当 n 为奇数时. 令 f ' ( x) =0,解得 x ? 1 ,或 x ? ?1 . 当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

? ??, ?1?
-

? ?1,1?
+

?1, ???
-

所以, f ( x) 在 ? ??, ?1? , ?1, ?? ? 上单调递减,在 ? ?1,1? 内单调递增。 (2)当 n 为偶数时. 当 f ' ( x) 当 f ' ( x)

0 ,即 x 1 时,函数 f ( x) 单调递增; 0 ,即 x 1 时,函数 f ( x) 单调递减.

所以, f ( x) 在 ? ??,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. , f ' ( x0 ) ? n ? n2 .曲线 y ? f ( x) n n ?1 在点 P 处的切线方程为 y ? f ' ( x0 ) ? x ? x0 ? ,即 g ( x) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) .令 (II)证明:设点 P 的坐标为 ? x0 ,0? ,则 x0 ?

1

F ( x) ? f ( x) ? g ? x ? ,即 F ( x) ? f ( x) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) ,则 F ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' ( x0 ) .
由于 f ' ( x) ? ?nxn?1 ? n 在 ? 0, ??? 上单调递减,故 F ' ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递减.又 因为 F ' ( x0 ) ? 0 ,所以当 x ? ? 0, x0 ? 时, F ' ( x)

0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时, F ' ( x)

0 ,所以

F ( x) 在 ? 0, x0 ? 内单调递增,在 ? x0 , ??? 上单调递减,所以对于任意的正实数 x ,都有

F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ? x ? .
(III)证明:不妨设 x1 ? x2 .由(II)知 g ?x ? ? n ?n
' 的根为 x2' ,可得 x2 ?

?

2

? ?x ? .设方程 g ? x ? ? a ?x
0

a ? x0 ,当 n ? 2 时,在 ? ??, ??? 上单调递减.又由(II)知 n ? n2 g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? a ? g ? x 2 ' ? ,可得 x1 ? x2' .
类似地,设曲线 y ? f ? x ? 在原点处的切线方程为 y ? h ? x ? ,可得 h ? x ? ? nx ,当

x ?? 0, ??? , f ? x ? ? h ? x ? ? ?xn

0 ,即对于任意的 x ?? 0, ??? , f ? x ? h ? x ? .

设方程 h ? x ? ? a 的根为 x1' ,可得 x1' ? 且 h x1' ? a ? f ? x1 ? 由此可得 x2 ? x1

? ?

h ? x1 ? ,因此 x1'

a .因为 h ? x ? ? nx 在 ? ??, ??? 上单调递增, n

x1 .

x2 ' ? x1' ?
n ?1

a ? x0 . 1? n
n ?1 1 ? 1 ? Cn ?1 ? 1 ? n ? 1 ? n ,故 2 ?

因为 n ? 2 ,所以 2 所以, x2 ? x1

? ?1 ? 1?

1 n n ?1

? x0 .

a ?2. 1? n

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