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安源区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

安源区二中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知 A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9},则 a 的值是( A.a=3 B.a=﹣3 C.a=±3 )的图象向左平移 D.a=5 或 a=±3 个单位,得到函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 2. 把函数 y=cos(2x+φ) (|φ|< 对称,则 φ 的值为( A.﹣ B.﹣ ) C. D. ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

3. 如图所示,阴影部分表示的集合是(

A.(? UB)∩A B.(? UA)∩B C.? U(A∩B) D.? U(A∪B) 4. 某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是( )

A.

B.8
2

C.
2

D.

x y ? ? 1 的左右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 是 C 上异于 A1, A2 的任意一点,且直线 PA1 斜率的 4 3 取值范围是 ?1, 2? ,那么直线 PA2 斜率的取值范围是( )
5. 椭圆 C : A. ? ? , ? ? 4 2

? 3 ?

1? ?

B. ? ? , ? ? 4 8

? 3 ?

3? ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识,意在考查函数与方程思想和 基本运算能力. 6. 现准备将 7 台型号相同的健身设备全部分配给 5 个不同的社区,其中甲、乙两个社区每个社区至少 2 台, 其它社区允许 1 台也没有,则不同的分配方案共有( A.27 种 B.35 种 C.29 种 ) D.125 种 )

?? ? 7. 为得到函数 y ? ? sin 2 x 的图象,可将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象( 3? ?
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? 个单位 6 ? 2? C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 8. 已知命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为( )
A.向左平移 B.向左平移 A.?x≤0,lnx≥x 9. 已知 f(x)= A.充分不必要条件 B.?x>0,lnx≥x C.?x≤0,lnx<x D.?x>0,lnx<x )

? 个单位 3

,则“f[f(a)]=1“是“a=1”的( B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 10.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则方程 g(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,7]上的所有零点之和为( A.12 B.11 C.10 D.9 ) B.-1 D.-2 P 是抛物线 C 上一点, 的焦点, 若|PF|=4, 则△ POF 的面积为 ( ) ,且 f(x)=f(x+2),g(x)= ) ,

sin 15° 11. -2sin 80°的值为( sin 5° A.1 C.2 12. O 为坐标原点, F 为抛物线 A.1 B. C. D.2

二、填空题
13.若函数 f(x)= ﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是 .

14.某工厂产生的废气经过过虑后排放,过虑过程中废气的污染物数量 P (单位:毫克/升)与时间 t (单
? kt 位:小时)间的关系为 P ? P (P 0 , k 均为正常数).如果前 5 个小时消除了 10% 的污染物,为了 0e

消除 27.1% 的污染物,则需要___________小时. 【命题意图】本题考指数函数的简单应用,考查函数思想,方程思想的灵活运用. 15.(﹣ )0+[(﹣2)3] 16.若 x,y 满足线性约束条件 = . ,则 z=2x+4y 的最大值为 .

17.设函数 f(x)=



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①若 a=1,则 f(x)的最小值为

; .

②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

18.某高中共有学生 1000 名,其中高一年级共有学生 380 人,高二年级男生有 180 人.如果在全 校学生中抽取 1 名学生,抽到高二年级女生的概率为 0.19 ,先采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取 100 人,则应在高三年级中抽取的人数等于 .

三、解答题
19.数列{an}满足 a1= ,an∈(﹣ ,
* ),且 tanan+1?cosan=1(n∈N ).

2 2 (Ⅰ)证明数列{tan an}是等差数列,并求数列{tan an}的前 n 项和;

(Ⅱ)求正整数 m,使得 11sina1?sina2?…?sinam=1.

20.已知数列 a1,a2,…a30,其中 a1,a2,…a10,是首项为 1,公差为 1 的等差数列;列 a10,a11,…a20,是公
2 差为 d 的等差数列;a20,a21,…a30,是公差为 d 的等差数列(d≠0).

(1)若 a20=40,求 d; (2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围;
3 (3)续写已知数列,使得 a30,a31,…a40,是公差为 d 的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数

列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?

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21.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 . (1)若 a ? ?4 求不等式 f ? x ? ? 6 的解集; (2)若 f ? x ? ? x ? 3 的解集包含 ?0,1? ,求实数的取值范围.

22. x 正半轴为极轴建立极坐标系, 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos ( =1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.



23.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】已知函数 (1)求实数 b 和 c 的值; 若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由;

f ? x ? ? x3 ? ? a ? 4? x2 ? ? 4a ? b? x ? c ? a, b, c ? R ? 有一个零点为 4,且满足 f ? 0? ? 1.

(2)试问:是否存在这样的定值 x0 ,使得当 a 变化时,曲线 y ? f ? x ? 在点 x0 , f ? x0 ? 处的切线互相平行? (3)讨论函数 g ? x ? ? f ? x ? ? a 在 ? 0, 4 ? 上的零点个数.

?

?

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24.已知定义域为 R 的函数 (1)求 f(x);

是奇函数.

(2)判断函数 f(x)的单调性(不必证明); (3)解不等式 f(|x|+1)+f(x)<0.

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安源区二中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
2 【解析】解:∵A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9}, 2 ∴2a﹣1=9 或 a =9,

当 2a﹣1=9 时,a=5,A∩B={4,9},不符合题意;
2 当 a =9 时,a=±3,若 a=3,集合 B 违背互异性;

∴a=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题. 2. 【答案】B 【解析】解:把函数 y=cos(2x+φ)(|φ|< 得到函数 y=f(x)=cos[2(x+ 则 2× +φ+ )的图象向左平移 个单位, 对称,

)+φ]=cos(2x+φ+

)的图象关于直线 x= ,

=kπ,求得 φ=kπ﹣

,k∈Z,故 φ=﹣

故选:B. 3. 【答案】A 【解析】解:由图象可知,阴影部分的元素由属于集合 A,但不属于集合 B 的元素构成, ∴对应的集合表示为 A∩?UB. 故选:A. 4. 【答案】C 【解析】 【分析】通过三视图分析出几何体的图形,利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值. 【解答】解:由题意可知,几何体的底面是边长为 4 的正三角形,棱锥的高为 4,并且高为侧棱

垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥, 两个垂直底面的侧面面积相等为:8,

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底面面积为: 另一个侧面的面积为:

=4

, =4 ; ,

四个面中面积的最大值为 4 故选 C. 5. 【答案】B

6. 【答案】 B 【解析】 排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,可将 7 台型号相同的健身设备看成是相同的元素,首先分给甲、乙两个社区各台设备,再 将余下的三台设备任意分给五个社区,分三种情况讨论分配方案,①当三台设备都给一个社区,②当三台设 备分为 1 和 2 两份分给 2 个社区,③当三台设备按 1、1、1 分成三份时分给三个社区,分别求出其分配方案 数目,将其相加即可得答案. 【解答】解:根据题意,7 台型号相同的健身设备是相同的元素, 首先要满足甲、乙两个社区至少 2 台,可以先分给甲、乙两个社区各 2 台设备, 余下的三台设备任意分给五个社区, 分三种情况讨论: ①当三台设备都给一个社区时,有 5 种结果, ②当三台设备分为 1 和 2 两份分给 2 个社区时,有 2×C52=20 种结果, ③当三台设备按 1、1、1 分成三份时分给三个社区时,有 C53=10 种结果, ∴不同的分配方案有 5+20+10=35 种结果; 故选 B. 【点评】本题考查分类计数原理,注意分类时做到不重不漏,其次注意型号相同的健身设备是相同的元素. 7. 【答案】C

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【解析】

?? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 2 x 的图象,故选 试题分析:将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位,得 y ? sin ? 2 x ? 3 3 3? 3 ? ? ?
C. 考点:图象的平移. 8. 【答案】B 【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为?x>0,lnx≥x. 故选:B. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 9. 【答案】B 【解析】解:当 a=1,则 f(a)=f(1)=0,则 f(0)=0+1=1,则必要性成立, 若 x≤0,若 f(x)=1,则 2x+1=1,则 x=0,
2 若 x>0,若 f(x)=1,则 x ﹣1=1,则 x=

, , ,

即若 f[f(a)]=1,则 f(a)=0 或
2

, ,

2 若 a>0,则由 f(a)=0 或 1 得 a ﹣1=0 或 a ﹣1=

即 a =1 或 a =

2

2

+1,解得 a=1 或 a=

若 a≤0,则由 f(a)=0 或 1 得 2a+1=0 或 2a+1= 即 a=﹣ ,此时充分性不成立, 即“f[f(a)]=1“是“a=1”的必要不充分条件, 故选:B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据分段函数的表达式解方程即可. 10.【答案】B 【解析】解:∵f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)为周期为 2 的周期函数, 函数 g(x)= 对称, 函数 f(x)与 g(x)在[﹣3,7]上的交点也关于(2,3)对称, 设 A,B,C,D 的横坐标分别为 a,b,c,d, 则 a+d=4,b+c=4,由图象知另一交点横坐标为 3, 故两图象在[﹣3,7]上的交点的横坐标之和为 4+4+3=11, 即函数 y=f(x)﹣g(x)在[﹣3,7]上的所有零点之和为 11. ,其图象关于点(2,3)对称,如图,函数 f(x)的图象也关于点(2,3)

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故选:B.

【点评】本题考查函数的周期性,函数的零点的概念,以及数形结合的思想方法.属于中档题. 11.【答案】 sin 15° 【解析】解析:选 A. -2 sin 80° sin 5° sin(10°+5°) = -2cos 10°= sin 5° sin 10°cos 5°+cos 10°sin 5°-2 cos 10°sin 5° sin 5° sin 10°cos 5°-cos 10°sin 5° sin(10°-5°) = = =1,选 A. sin5 ° sin 5° 12.【答案】C 【解析】解:由抛物线方程得准线方程为:y=﹣1,焦点 F(0,1), 又 P 为 C 上一点,|PF|=4, 可得 yP=3, 代入抛物线方程得:|xP|=2 ∴S△POF= |0F|?|xP|= 故选:C. . ,

二、填空题
13.【答案】

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﹣2 【解析】解:函数 f(x)= 由函数 f(x)= 即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2,
2 即有 f′(x)=﹣2x +2x=﹣2(x﹣1)x, 2 ﹣m 的导数为 f′(x)=mx +2x,

﹣m 在 x=1 处取得极值,

可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题. 14.【答案】15
?5k 【解析】 由条件知 0.9P , 所以 e 0 ?P 0e
?5 k

? 0.9 .消除了 27.1% 的污染物后, 废气中的污染物数量为 0.729P 0,

于是 0.729P 0 ?P 0e 15.【答案】

? kt

,∴ e

? kt

? 0.729 ? 0.93 ? e?15k ,所以 t ? 15 小时.



0 3 【解析】解:(﹣ ) +[(﹣2) ]

=1+(﹣2)﹣2 =1+ = . 故答案为: . 16.【答案】 38 . 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+4y 得 y=﹣ x+ , 平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ x+ 经过点 A 时, 直线 y=﹣ x+ 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,

即 A(3,8), 此时 z=2×3+4×8=6+32=32, 故答案为:38

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17.【答案】

≤a<1 或 a≥2 .

【解析】解:①当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)=2 ﹣1 为增函数,f(x)>﹣1,
x



当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x ﹣3x+2)=4(x﹣ ) ﹣1, 当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ②设 h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1, 所以 ≤a<1, 若函数 h(x)=2 ﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点, 则函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去), 当 h(1)=2﹣a≤0 时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点满足 x1=a,x2=2a,都是满足题意的, 综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2. 18.【答案】 25
x

2

2

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考 点:分层抽样方法.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵对任意正整数 n,an∈(﹣
2 故 tan an+1=



),且 tanan+1?cosan=1(n∈N ).

*

=1+tan2an,

2 2 ∴数列{tan an}是等差数列,首项 tan a1= ,以 1 为公差.


2 ∴数列{tan an}的前 n 项和=

= +

. = . .

(Ⅱ)解:∵cosan>0,∴tanan+1>0, ∴tanan= , ,

∴sina1?sina2?…?sinam=(tana1cosa1)?(tana2?cosa2)?…?(tanam?cosam) =(tana2?cosa1)?(tana3cosa2)?…?(tanam?cosam﹣1)?(tana1?cosam) =(tana1?cosam)= 由 ,得 m=40. = ,

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计 算能力,属于难题. 20.【答案】 【解析】解:(1)a10=1+9=10.a20=10+10d=40,∴d=3.

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2 2 (2)a30=a20+10d =10(1+d+d )(d≠0),

a30=10



当 d∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈[7.5,+∞) (3)所给数列可推广为无穷数列{an], 其中 a1,a2,…,a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 当 n≥1 时,数列 a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为 d 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10(n+1)关于 d 的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围.
3 2 3 研究的结论可以是:由 a40=a30+10d =10(1+d+d +d ), n

依此类推可得 a10(n+1)=10(1+d+…+d )= 当 d>0 时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞)等.

n



【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题,会根据特例总结归纳出一般性的规律,是一道 中档题.

21.【答案】(1) ? ??,0? 【解析】

?6, ??? ;(2) ??1,0? .

试题分析:(1)当 a ? ?4 时, f ? x ? ? 6 ,利用零点分段法将表达式分成三种情况,分别解不等式组,求得 解集为 ? ??,0? 试题解析: (1)当 a ? ?4 时, f ? x ? ? 6 ,即 ?

?6, ??? ;(2) f ? x? ? x ? 3 等价于 x ? a ? 2 ? x ? 3 ? x ,即 ?1 ? x ? a ? 1 ? x 在 ?0,1? 上
x?2 x?4 ? 2? x?4 ? 或? 或? , ?4 ? x ? 2 ? x ? 6 ?4 ? x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 4 ? x ? 2 ? 6 ?

恒成立,即 ?1 ? a ? 0 .

解得 x ? 0 或 x ? 6 ,不等式的解集为 ? ??,0?

?6, ??? ;

考 点:不等式选讲. 22.【答案】
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【解析】解:(Ⅰ)由 从而 C 的直角坐标方程为

即 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0)

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 所以 P 点的直角坐标为 所以直线 OP 的极坐标方程为 ,则 P 点的极坐标为 ,ρ∈(﹣∞,+∞) ,

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和 平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 23.【答案】(1) b ?

当 ?1 ? a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点. 【解析】试题分析:

1 , c ? 1 ;(2)答案见解析;(3)当 a ? ?1 或 a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点; 4

(1)由题意得到关于实数 b,c 的方程组,求解方程组可得 b ?

1 , c ? 1; 4

(3)函数

1? ? g ? x ? 的导函数 g ? ? x ? ? 3x 2 ? 2 ? a ? 4 ? x ? ? 4a ? ? ,结合导函数的性质可得当 a ? ?1 或 a ? 0 时, g ? x ? 在 4? ? ? 0, 4 ? 有两个零点;当 ?1 ? a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点.
试题解析:

1 (1)由题意 { ,解得 { 4 ; f ? 4 ? ? ?4b ? c ? 0 c ?1

f ? 0? ? c ? 1

b?

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(2)由(1)可 知 f ? x ? ? x ? ? a ? 4? x ? ? 4a ?
3 2

? ?

1? ? x ?1, 4?

∴ f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2 ? a ? 4 ? x ? ? 4a ?

? ?

1? ?; 4? ? ? 1? ? 是一个与 a 无关的定值, 4?

假设存在 x0 满足题意,则 f ? ? x0 ? ? 3x0 2 ? 2 ? a ? 4 ? x0 ? ? 4a ?
2 即 ? 2 x0 ? 4 ? a ? 3 x0 ? 8 x0 ?

1 是一个与 a 无关的定值, 4 17 ; 4

则 2 x0 ? 4 ? 0 ,即 x0 ? 2 ,平行直线的斜率为 k ? f ? ? 2 ? ? ? (3) g ? x ? ? f ? x ? ? a ? x ? ? a ? 4? x ? ? 4a ?
3 2

? ?

1? ? x ?1? a , 4?

1? ? ?, 4? ? 2 1? 2 ? 2 其中 ? ? 4 ? a ? 4 ? ? 12 ? 4a ? ? ? 4a ? 16a ? 67 ? 4 ? a ? 2 ? ? 51 ? 0 , 4? ? 设 g? ? x ? ? 0 两根为 x1 和 x2 ? x1 ? x2 ? ,考察 g ? x ? 在 R 上的单调性,如下表
∴ g ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2 ? a ? 4 ? x ? ? 4a ?

1° 当 a ? 0 时, g ? 0? ? 1 ? a ? 0 , g ? 4? ? a ? 0 ,而 g ? 2 ? ? ?3a ?

∴ g ? x ? 在 ? 0, 2 ? 和 ? 2, 4 ? 上各有一个零点,即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点; 2° 当 a ? 0 时, g ? 0? ? 1 ? 0 , g ? 4? ? a ? 0 ,而 g ? 2 ? ? ?

15 ? 0, 2

∴ g ? x ? 仅在 ? 0, 2 ? 上有一个零点,即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点; 3° 当 a ? 0 时, g ? 4? ? a ? 0 ,且 g ?

15 ? 0, 2

3 ?1? ? ? ? a ? 0, 4 ?2? ? 1? ?1 ? ①当 a ? ?1 时, g ? 0? ? 1 ? a ? 0 ,则 g ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? , 4 ? 上各有一个零点, ? 2? ?2 ? 即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点;
②当 ?1 ? a ? 0 时, g ? 0? ? 1 ? a ? 0 ,则 g ? x ? 仅在 ? 即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点;

?1 ? , 4 ? 上有一个零点, ?2 ?

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综上:当 a ? ?1 或 a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点; 当 ?1 ? a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点. 点睛:在解决类似的问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数 y=f (x)在[a,b]内所有使 f′(x)=0 的点,再计算函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处 的函数值,最后比较即得. 24.【答案】 【解析】解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 从而有 经检验,符合题意;… (2)由(1)知,f(x)= =﹣ + ; =0,解得 b=1; ;…

x 由 y=2 的单调性可推知 f(x)在 R 上为减函数; …

(3)因为 f(x)在 R 上为减函数且是奇函数,从而不等式 f(1+|x|)+f(x)<0 等价于 f(1+|x|)<﹣f(x), 即 f(1+|x|)<f(﹣x); … 又因 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 1+|x|>﹣x,… 解得 x∈R.…

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