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第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 一、1.如图所示,设滑块出发点为 P1 ,离开点为 P2 ,按题意要求 O1 P1 、 O2 P2 与竖直方向的夹角 相等, 设其为 ? , 若离开滑道时的速度为 v, 则滑块在 P2 处脱离滑道的条件是 O1 A ?? (1) P1 O P2 mv 2 ? mg cos ? R 由机械能守恒 ?? O2 (2) B 1 2mgR(1 ? cos ? ) ? mv 2 2 (1)、(2)联立解得 cos ? ? 2.设滑块刚能在 O 点离开滑道的条件是 4 4 或 ? ? arccos ? 36? 52? 5 5 2 mv 0 ? mg R (3) (4) v0 为滑块到达 O 点的速度,由此得 v0 ? Rg (5) 设到达 O 点的速度为 v0 的滑块在滑道 OA 上的出发点到 O1 的连线与竖直的夹角为 ? 0 ,由机械能守恒, 有 1 2 mgR(1 ? cos ? 0 ) ? mv0 2 由(5) 、 (6)两式解得 (6) ?0 ? π 3 (7) 若滑块到达 O 点时的速度 v ? v0 ,则对 OB 滑道来说,因 O 点可能提供的最大向心力为 mg,故滑 块将沿半径比 R 大的圆周的水平切线方向离开 O 点.对于 v ? v0 的滑块,其在 OA 上出发点的位置对 应的 ? 角必大于 ? 0 ,即 ? ? ? 0 ,由于 ? max ? π 2 ,根据机械能守恒,到达 O 点的最大速度 v max ? 2Rg (8) ? 从π 3至π 2 下 由此可知, 能从 O 点离开滑道的滑块速度是 v0 到 v max 之间所有可能的值, 也就是说, 滑的滑块都将在 O 点离开滑道.以速度 v0 从 O 点沿水平方向滑出滑道的滑块,其落水点至 O2 的距离 1 x0 ? v 0 t (9) (10) R? 由(5) 、 (9) 、 (10)式得 1 2 gt 2 x0 ? 2 R 当滑块以 v max 从 O 点沿水平方向滑出滑道时,其落水点到 O2 的距离 (11) xmax ? v max t 由(8) 、 (10) 、 (12)式得 (12) xmax ? 2R (13) 因此,凡能从 O 点脱离滑道的滑块,其落水点到 O2 的距离在 2 R 到 2R 之间的所有可能值.即 2 R ? x ? 2R (14) 二、1.由静电感应知空腔 1、2 及 3 的表面分别出现电量为 ? q1 、 ? q 2 和 ? q3 的面电荷,由电荷 守恒定律可知,在导体球的外表面呈现出电量 q1 ? q 2 ? q3 .由静电屏蔽可知,点电荷 q1 及感应电荷 ( ? q1 )在空腔外产生的电场为零;点电荷 q2 及感应电荷( ? q 2 )在空腔外产生的电场为零;点电荷 q3 及感应电荷( ? q3 )在空腔外产生的电场为零.因此,在导体球外没有电荷时,球表面的电量 q1 ? q 2 ? q3 作球对称分布. 当球外 P 点处放置电荷 Q 后,由于静电感应,球面上的总电量仍为 ?q1 ? q2 ? q3 ? ,但这些电荷在 球面上不再均匀分布,由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零. O3 处的电势由位于 P 点处的 Q、 导体球表面的电荷 ?q1 ? q2 ? q3 ? 及空腔 3 表面的感应电荷 ( ? q3 ) 共同产生.无论 ?q1 ? q2 ? q3 ? 在球面上如何分布,球面上的面电荷到 O 点的距离都是 R,因而在 O 点 产生的电势为 k q1 ? q2 ? q3 Q , Q 在 O 点产生的电势为 k ,这两部分电荷在 O3 点产生的电势 U ? 与 R 2R 它们在 O 点产生的电势相等,即有 Q ? ? q ? q 2 ? q3 ? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 ? U ? ? k? 1 ? ? ? k? ? R 2R ? 2R ? ? ? (1) 2 因 q3 放在空腔 3 的中心处,其感应电荷 ? q3 在空腔 3 壁上均匀分布.这些电荷在 O3 点产生的电势为 U ?? ? k 根据电势叠加定理,O3 点的电势为 ? q3 r (2) ? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 q3 ? U ? U ? ? U ?? ? k ? ? ? 2R r ? ? 故 q3 的电势能 (3) ? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 q3 ? W ? q3U ? kq 3 ? ? ? 2R r ? ? (4) 2. 由于静电屏蔽,空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零,空腔 1 内的电荷 q1 仅受到腔内 壁感应电荷 ? q1 的静电力作用,因 q1 不在空腔 1 的中心 O1 点,所以感应电荷 ? q1 在空腔表面分布不均 匀,与 q1 相距较近的区域电荷面密度较大,对 q1 的吸力较大,在空腔表面感应电荷的静电力作用下, q1 最后到达空腔 1 表面,与感应电荷 ? q1 中和.同理,空腔 2 中 q2 也将在空腔表面感应电荷 ? q 2 的静 电力作用下到达空腔 2 的表面与感应电荷 ? q 2 中和.达到平衡后,腔 1、2 表面上无电荷分布,腔 3 表 面和导体球外表面的电荷分布没有变化. O3 的电势仍由球外的电荷 Q 和导体球外表面的电量 ?q1 ? q2 ? q3 ? 及空腔 3 内壁的电荷 ? q3 共同产生,故 O3 处的电势 U 与 q3 的电势能 W 仍如(3)式与(4) 式所示. 三、答案如图所示. T T1 ? ? p0 S ? F ? p0 S T0 d b ?2 tan?2= 2? p 0 S ? F ? 2Cp0 S ? 2CF ? 2 Rp0 S ? FR T0 ?1 a tan ?1 ? 1 C CFT0 p0 S 3 Q1

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