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变化率与导数的概念(1)


问题情境1

想一想

(1)在经营某商品中,甲挣到10万元,乙挣 到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经 营成果? (2)在经营某商品中,甲用5年时间挣到10万 元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较 和评价甲,乙两人的经营成果?

本题说明:△y与△t中仅比较一个量的变化是 不行的.

问题情境2 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。
那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人 着迷。

交流与讨论
容易看出点B,C之间的曲线较 点A,B之间的曲线更加“陡 ●C 峭”. 如何量化陡峭程度呢?

yC ? yB k? xC ? xB

y
●B ●A

该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度. 称该比值为曲线在B,C之 间这一段平均变化率.

o

x

建构数学理论
平均变化率的定义:
一般地,函数 f ( x)在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率. (以直代曲思想) (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”, 或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” . (数形结合思想) “数离形时难直观,形离数时难入微”——华罗庚

结论: 平均变化率
一般的,函数 f ( x)在区间上

[ x1 , x2 ]的平均变化率为

?y ? ?x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

其几何意义是 表示曲线上两点连线(就是 曲线的割线)的斜率。

数学应用
例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3,-1],[0,5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率.

思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平 均变化率有什么特点?

数学应用
例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列 y 区间上的平均变化率: (1)[1,3]; 4 (2)[1,2]; 3 (3)[1,1.1]; 2.1 (4)[1,1.001]. 2.001
(5)[0.9,1]; 1.9 变题: (6)[0.99,1];1.99 (7)[0.999,1]. 1.999

p
1 3

课后思考:为什么趋近于2呢?2的几何意义是 什么?

x

3.1.2导数的概念

高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

二.新授课学习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度为h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10

求t=2时的瞬时速度?
计算区间? 2 ? ?t , 2? 和区间? 2, 2 ? ?t ? 内平均速度v, 可以得到如下表格.
o

h

2

t △t>0时 2+△t

△t<0时 2+△t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.149

当△t =0.001时, v ? ?13.1049
△t = 0.00001,

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

v ? ?13.099951

v ? ?13.100049

……

v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 , 我们用lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示"当t ? 2, ?t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 ? 13.1".

h?2 ? ?t ? ? h?2? 我们称确定值? 13.1是 当?t趋近于0时的极限 ?t

瞬时速度

?t ? 0

lim h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1
?t

?x?在x=x 2、函数f 处的瞬时变化率怎么表示? 0
? ? f x +?x?-f x 0 0? lim ?x ?0 ?x
我们称它为函数 y=f ?x ?在x=x 0处的导数, 记作:f ??x 0 ?或y? x=x 0
f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?x ?x f +?x?-f 0 0? 1、函数的平均变化率怎么表示? ?x

思考:

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y? | x ? x , 即
0

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

导数的作用:
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 );

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y ( 3)取极限,得导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

一差、二比、三极限

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率,并求出在该点处的导数. (3)质点运动规律为s=t2+3,求 质点在t=3的瞬时速度.

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解:y ? f (1 ? x) ? f (1) ? 3(1 ? x) ? 3 ? 6 x ? 3( x)
2 2

y 6 x ? 3( x) 2 ? 6?3 x ? x x
y f (1) ? lim ? lim (6 ? 3 x) ? 6 x ?0 x x ?0
/

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变 化率,并求出在该点处的导数.
解:y ? f (?1 ? x) ? f (?1)

? ?(?1 ? x)2 ? (?1 ? x) ? [?(?1)2 ? (?1)]

? ?( x)2 ? 3 x
y ?( x ) 2 ? 3 x ? ? x?3 ? 平均变化率 ? x x y / ? f (?1) ? lim ? lim (? x ? 3) ? 3 x ?0 x x ?0

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3 的瞬时速度.
解:s ? f (3 ? t ) ? f (3) ? (3 ? t )2 ? 3 ? (32 ? 3)

? ( t )2 ? 6 t
s ( t )2 ? 6 t ? t t
/

? t?6

s ? f (3) ? lim ? lim( t ? 6) ? 6 t ?0 t t ?0

例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.

解: (1)?y ? (1 ? ?x)2 ? 12 ? 2?x ? (?x)2 ,

1 1 ? ?x (2)?y ? (2 ? ?x ) ? ? (2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x )

?y 2?x ? ( ?x )2 ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ?y ? li m ? li m( 2 ? ?x ) ? 2,? y? | x ?1 ? 2. ? x ? 0 ?x ?x ? 0

? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x ) ?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2(2 ? ?x ) 4 4 4

例2 : 已 知 函 数 y? 1 ? , 求x0的 值. 2

x 在x ? x0 处 附 近 有 定 义 , 且y'| x ? x0

解 :? ?y ? x0 ? ?x ? x0 ,
?y ? ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

?y 1 1 ? lim ? lim ? , ?x ?0 ?x ?x ?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0 1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

练习: 已知y ? x,求y?.
解:D y = x + Dx x= Dx x + Dx + x

?y ? ?x

1 x ? ?x ?

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

例2:利用导数的定义求函 数y ?| x | ( x ? 0)的导数 .

解: y ?| x |,

?当x ? 0时, y ? x,
?y ( x ? ?x) ? x 则 ? ? 1, ?x ?x ?y ? lim ? 1; ?x ? 0 ?x

当x ? 0时, y ? ? x,
?y ?y ?( x ? ?x) ? (? x) lim ? ?1; ? ? ?1, ? ? x ?0 ?x ?x ?x ? 1 x?0 ? y? ? ? . ?? 1 x ? 0

1 练习:(1)求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数 x (2)已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a.

-Δx 1 1 解:(1)∵Δy= - = x+Δx x x?x+Δx?

Δy 1 ∴ =- Δx x?x+Δx?

Δy 1 1 ∴limΔx→0 =limΔx→0[- ]=- 2 Δx x x?x+Δx? 1 ∴f′(1)=- 2=-1 1
(2)∵Δy=a(x+Δx)2+c-(ax2+c) =2axΔx+a(Δx)2

Δy ∴ =2ax+aΔx Δx
∴f′(x)=limΔx→0(2ax+aΔx)=2ax

∴f′(1)=2a=2,∴a=1

例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f ? x ? ? x 2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

?

?

解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' ?2?
?y f ?2 ? ?x ? ? f ?2 ? ? 和 f ?6?. 根据导数的定义 , ?x ?x ?2 ? ?x ?2 ? 7?2 ? ?x ? ? 15 ? 22 ? 7 ? 2 ? 15 ? ?x
'

?

?

4 ?x ? ?x 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3, ?x ?y ' 所以, f ?2 ? ? lim ? lim ??x ? 3? ? ?3, ?x ?0 ?x ?x ?0

同理可得 f ?6? ? 5.
'

请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为 ? 3与5. 它说明: 在第2h附近, 原油温度大约以30 C / h的速率下降; 在6h附近, 原油温度大约以50 C / h的速率上升.

一般地, f ? x0 ? 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
'

练习:
计算第3(h)和第5(h)时,原油温度的瞬时 变化率,并说明它们的意义。

解:f ??3?=- 1, f ?(5)=3
这说明: 在第3小时附近,原油温度大约以1的速率下降, 在第5小时附近,原油温度大约以3的速率上升。

小结:
1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ?s s(t ? ?t ) ? s(t ) ? . (3)求极限 lim ?t lim ?t
?x ?0 ?x ?0

?s v? ; ?t

2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2) 求平均变化率 ?y ' (3)求极限 f ( x0 ) ? lim
?x ? 0

?y ?x

?x


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