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正弦定理知识点与典型例题


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正弦定理
【基础知识点】
1. 三角形常用公式:A+B+C=π ;S= sin(A+B)=sinC, sin(A+B)/2=cosC/2,

1 1 1 ab sin C= bc sin A== ca sin B; 2 2 2
cos(A+B)=-cosC, cos(A+B)/2=sinC/2

2.三角形中的边角不等关系: A>B ? a>b,a+b>c,a-b<c; 3. 【正弦定理】 :

a b c = = =2R(外接圆直径) ; sin A sin B sin C

?a ? 2 R sin A ? 正弦定理的变式:?b ? 2 R sin B ; ?c ? 2 R sin C ?
asinB=bsinA sinA=a/2R 4.正弦定理应用范围: ①已知两角和任一边,求其他两边及一角.

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
bsinC=csinB sinB=b/2R asinC=csinA sinC=c/2R

②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角. ③几何作图时,存在多种情况.如已知 a、b 及 A,求作三角形时,要分类讨论,确定 解的个数. 已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况: (1)A 为锐角
C C C b a b a a b A B A a

B2

B1

A

B

a=b sin A
一解 (2)A 为锐角或钝角 当 a>b 时有一解. 也可利用正弦定理 sin B ?

b sin A<a<b
两解

a?b
一解

b sin A 进行讨论. a

如果 sinB>1,则问题无解;如果 sinB=1,则问题有一解; 如果求出 sinB<1,则可得 B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角” 1 关注孩子成长,成就孩子未来 龙城国际校区:89250099

2011 年深圳最具影响力教育品牌 等三角形有关性质进行判断 典型例题: 例 1、在 ?ABC 中, a ? 2 , b ? 1, A ? 45? 求 B 的大小。

例 2、在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c.

例 3、在△ABC 中,a=15,b=10,A= 60 ,则 cosB 的值

?

例 4、在△ABC 中, B ? 30 , AB ? 2 3 ,AC=2,求△ABC 的面积。
?

例 5、在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.

例 6、在△ABC 中, (a ? b ) sin(A ? B) ? (a ? b ) sin(A ? B) ,试判断△ABC 的形状
2 2 2 2

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B a+c 例 7、在△ABC 中,cos2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的形状为? 2 2c

1 3 10 例 8、在△ABC 中,tanA= ,cosB= ,若最长边为 1,则最短边的长 2 10

A 2 5 → → 例 9、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos = ,AB· AC=3. 2 5 (1)求△ABC 的面积;

1 例 10、设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小;

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2011 年深圳最具影响力教育品牌 (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

例 11、 在△ABC 中, sin(C-A)=1,sinB=

1 .(Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)设 AC= 6 求△ABC 的面积. 3

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