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③课后限时作业 指数函数


课后限时作业(八)
(详解为教师用书独有)

A级
(时间:40 分钟 满分:90 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1. .已知 c<0,则下列不等式中成立的是 A. c ? 2c
c c C. 2 ? ( )





1 2

1 2 1 c c D. 2 ? ( ) 2
c B. c ? ( )

c 0 c 解析:因为 c<0,所以 2 ? 2 ? ( ) .

1 2

答案:C 2. (2013 届· 德州质检) a、 是任意实数, a>b,则下列不等式成立的是 若 b 且 A.a >b
2 2

(

)

B.

b <1 a
a b

C.lg(a-b)>0
x

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 3? ? 3? ?1? ?3?
x

解析:由函数 y= ? ? 为减函数,且 a>b,所以 ? ? ? ? ? ,选 D. 答案:D

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b

?1? 3.已知 f(x)= ? ? ,命题 p:? x∈[0,+∞),f(x)≤1,则 ?2?
A.p 是假命题, ? p :? ? x∈[0,+∞),f(x)≥1 B.p 是假命题, ? p :? ? x0∈[0,+∞),f(x0)>1 C.p 是真命题, ? p :? ? x∈[0,+∞),f(x)≥1 D.p 是真命题, ? p :? ? x0∈[0,+∞),f(x0)>1 解析:考查指数函数的性质及命题的否定. 答案:D 4.若函数 f(x)=

(

)

1 ,则该函数在(-∞,+∞)上( 2 ?1
x

)

A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值

解析:因为 y=2 无最大最小值,且单调递增,所以 f(x)= 且单调递减,故选 A. 答案:A

x

1 在 R 上无最大、最小值, 2 ?1
x

5.已知函数 f(x)=a +logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6,则 a 的值为 A. ( B. )

x

1 2

1 4

C.2
2

D.4
2

解析:因为 f(x)在[1,2]上单调,故 f(1)+f(2)=a+a +loga2=loga2+6,则 a+a =6,又 a>0, 故 a=2. 答案:C 6.(2013 届·宁夏石嘴山质检)已知 0<a<b<1,则 A.3b<3a B.loga3>logb3 C.(lg a)2<(lg b)2 D. ( ) ? ( )
a





1 2

1 2

b

解析:A 项中,y=3x 是增函数,所以 3 ? 3 ;C 项中,lg a<lg b<0,所以(lg a)2>(lg b)2;D 项中,
b a

y= ( ) 是减函数,所以 ( ) ? ( ) ,A、C、D 都错误.故选 B.
x a b

1 2

1 2

1 2

答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 7.若函数 f(x)=2 ,则方程 f(3x)=2 解析:f(3x)=2 =2 答案:
3x 1-2x x 1-2x

的解 x=

.

,所以 3x=1-2x,解得 x=

1 . 5

1 5
1 4 3 2 1 4 3 2 ? 1 2 1 2

8. 若 x>0,则 (2 x ? 3 )(2 x ? 3 ) ? 4 x ( x ? x ) ?

.

【解析】原式= 4 x 2 ? 33 ? 4 x 2 ? 4 ? ?23.
答案:-23 9. 函数 f ( x) ? a
x

1

1

(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大

a ,则 a 的值是 2

.

?a ? 1, ?0 ? a ? 1, 3 1 ? ? 解析:由题知 ? 2 a 或? a 解得a ? 或 . 2 2 2 ?a ? a ? 2 ?a ? a ? 2 . ? ?
答案: 或

3 2

1 2
x

10.如图,过原点 O 的直线与函数 y ? 2 的图象交于 A、B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数

y ? 4x 的图象于点 C.若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是

.

解析:设 C (a , 4a ) ,所以 A(a, 2a ),B (2 , 4 ),又 O,A,B 三点共线,所以 a a

2a 4a ? ,故 a 2a

4a ? 2 ? 2a ,所以 2a ? 0(舍去)2a ? 2 ,即 a=1,所以点 A 的坐标是(1,2).
答案:(1,2) 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 11. 若 h( x) ? (1 ? 偶性.

2 ) ? f ( x) (x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于 0,试判断 f(x)的奇 2 ?1
x

2 , 2 ?1 2 2 ? 2x 1 ? 2x 2x ?1 ? 2 2 因为g (? x) ? 1 ? ? x ? 1? ? ?? x ?? (1+ x ) ? g ( x), ? x x 2 ?1 1? 2 1? 2 2 ?1 2 ?1 解:令g ( x) ? 1 ?
x

所以 g(x)是奇函数. 又因为 f(x)不恒等于 0,所以 f(x)是奇函数.

?1? 12.(2010·上海)设 x∈R,f(x)= ? ? . ?2?
(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f(x)的大致图象; (2)若不等式 f(x)+f(2x)≤k 对于任意的 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

x

解: (1)如图所示:

?1? ?1? ?1? ?1? (2)f(x)= ? ? ,f(2x)= ? ? ,对于任意 x∈R, ? ? + ? ? ≤k 恒成立. ?2? ?2? ? 2? ?2?
令?
2 ?1? ? =t∈(0,1],则 y=t +t(0<t≤1). ?2?

x

2x

x

2x

x

对称轴 t=-

1 ,则当 t=1 时,ymax=2,所以 k≥2 即可. 2

B级
1.下列函数中既不是奇函数,也不是偶函数的是 A.y=2
|x|

(

)

B.y= lg( x ? x 2 ? 1)
-x

C.y=2 +2

x

D.y=lg

1 x ?1

解析:A 是偶函数,B 是奇函数,C 为偶函数,故选 D. 答案:D 2.(2013 届·湖南张家界)若 logmn=-1,则 3n+m 的最小值是 A. 2 2 B. 2 3 C.2 D.





5 2

解析:由已知 m-1=n,得 mn=1,且 m>0,n>0,所以 3n+m ? 2 3mn ? 2 3 .故选 B. 答案:B 3.如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点,那么称这个点为“好点”.下 列五个点 P1(1,1) 2(1,2) 3( ,P ,P P5(

1 1 , ) 4(2,2) ,P , 2 2

1 ,2)中, “好点”是 2

.(写出所有的好点)

解析:对于函数 y=logax,恒过点(1,0) ,所以 P1,P2 不是好点,而 P3,P4,P5 可以满足条件, 是好点. 答案:P3,P4,P5 4.定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=3 则区间[a,b]的长度的最大值为
0 2 |x|

的定义域为[a,b] ,值域为[1,9] , .

,最小值为

解析: 因为 3 =1,3 =9,所以 x=0,x=±2,故 [a,b] 的长度的最大值为 2-(-2)=4,最小值为 2-0=2 或 0-(-2)=2. 答案:4 2 5.已知函数 y= (1)求 M; (2)当 x∈M 时,求 f(x)=a·2
x+2

1? x 2 +lg(3-4x+x )的定义域为 M. 1? x
x

+3×4 (a>-3)的最小值.

6.已知函数 y= ?

?1? ?1? ? - ? ? +1 的定义域为[-3,2]. ?4? ?2?

x

x

(1)求函数的单调区间; (2)求函数的值域.

?1? ? 1? 3 2 解: (1)令 t= ? ? ,则 y=t -t+1= ? t ? ? ? . ?2? ? 2? 4
当 x∈[1,2]时,t= ?

x

2

?1? ? 是减函数, ?2?

x

此时 t∈ ? , ? ,y=t -t+1 是减函数; 4 2

?1 1? ? ?

2

?1? 当 x∈[-3,1]时,t= ? ? 是减函数, ?2?
此时 t∈ ? ,8? , y=t -t+1 是增函数, 2 所以函数的单调增区间为[1,2] ,单调减区间为[-3,1].

x

?1 ?

? ?

2


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