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14【数学】2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件(新人教B版必修1)


复习:
函数的零点的定义:
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x)有零点

探索新授:

问题1.能否求解以下几个方程

(1) x2-2x-1=0

(2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0
指出:用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解, 但此法不能运用于解另外两个方程.

如果函数y ? f ( x)在一个区间[a,b]上的图像不间断,并且 在它的两个端点处的函数值异号,即f (a) f (b) ? 0, 则这个函数 在这个区间上至少有一个零点,即存在一点x0 ? (a, b), 使f ( x0 ) 零点,如果没有穿过x轴,则称这样的零点为不变号零点

? 0.如果函数图像通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号

y

a x0 b O x1 x2 x

如图,x0、x 2为变号零点,x1为不变号零点.

已知函数y ? f ( x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点 x 0的近似值x,使它满足给定的精确度.
步骤: 第一步  在D内取一个闭区间[a 0 ,b0 ],使f(a 0 )与f(b0) 异号,即f(a 0 )? f(b0)<0.零点位于区间[a 0 ,b0 ]中. 第二步  取区间[a 0 ,b0 ]的中点,则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a 0 + (b 0 ? a 0) ? (a 0 ? b 0) 2 2

计算f ( x0 )和f (a0),并判断 ()如果 1 f ( x0 ) ? 0,则x0就是f ( x)的零点,计算终止; (2)如果f ( x0 ) ? f (a0)<0,则零点位于区间[a0 , x0 ]中,令 a1 ? a0,b1 ? x0; (3)如果f ( x0 ) ? f (a0)>0,则零点位于区间[x0 , b0 ]中,令 a1 ? x0,b1 ? b0;

第三步  取区间[a1 ,b1 ]的中点,则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a1 + (b1 ? a1) ? (a1 ? b1) 2 2

计算f ( x1 )和f (a1),并判断 ()如果 1 f ( x1 ) ? 0,则x1就是f ( x)的零点,计算终止; (2)如果f (a1 ) ? f (x1)<0,则零点位于区间[a1 , x1 ]中,令 a2 ? a1,b2 ? x1; (3)如果f (a1 ) ? f (x1)>0,则零点位于区间[x1 , b1 ]中,令 a2 ? x1,b2 ? b1;

   继续实施上述步骤,直到区间[a n ,bn ],函数的零点 总位于区间[a n ,bn ]上,当a n 和bn 按照给定的精确度所取得 近似值相同时,这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似 零点,计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.

问题 2 .不解方程,如何求方程 x2-2x-1=0 的 一个正的近似解(精确到0.1)?
画出y=x2-2x-1的图象(如图) y
y=x2-2x-1

由图可知:方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内, 另一个根x2在区间(-1,0)内.

x
-1 0 1 2 3

结论:借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象,我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0,这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次,可得出方程在区 间(2,3)上有惟一解.

2 2 2 2 2

思考:如何进一步有效缩小根所在的区间?
+ + 2.5 + 2.5 + + +

3

2.25

-

3 3 3
2.25 2

y

y=x2-2x-1

+ 2.25 2.375 2.5 2.25 2.375 2.5 2.4375

- -

-1 0 1 2 3

x

- -

+ +

+

2
2.5

2.5

3

3

由于2.375 2.375与 与2.4375 2.4375的近似值都为 的近似值都为 由于 2.4,停止操作 停止操作,,所求近似解为 所求近似解为2.4 2.4。 。 2.4,

数离形时少直观,形离数时难入微!

1.简述上述求方程近似解的过程 解:设f (x)=x2-2x-1,x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4

通过自己的语言表达,有助于对概念、方法的理解!

问题3.如何描述二分法?
对于在区间[a,b]上连续不断,且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ,通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近 零点,进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法.

问题4:二分法实质是什么?
用二分法求方程的近似解,实质上就是通 过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。

数学运用(应用数学)
例题:利用计算器,求方程2x=4-x的近似解 (精确到0.1) 怎样找到它的解所在的区间呢? 在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象(如图) 方程有一个解x0∈(0, 4) 如果画得很准确,可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间?

解:设函数 f (x)=2x+x-4 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0 ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点, ∴方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0.

由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得:x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得:x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得:x0∈(1.25,1.5)

由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得:x0∈(1.375,1.5)
由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得: x0∈(1.375,1.4375) ∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4

问题5:能否给出二分法求解方程f(x)=0(或 g(x)=h(x))近似解的基本步骤?

1.利用y=f(x)的图象,或函数赋值法(即验证 f (a)?f(b)<0 ),判断近似解所在的区间(a, b). 2 .“二分”解所在的区间,即取区间 (a, b) a?b 的中点 x ?
1

2

3.计算f (x1): (1)若f (x1)=0,则x0=x1; (2)若f (a)?f(x1)<0,则令b=x1 (此时x0∈(a, x1)); (3)若f (a)?f(x1)<0,则令a=x1 (此时x0∈(x1,b)). 4.判断两个区间端点按照给定的精确度所取 得近似值是否相同.相同时这个近似值就是所求 的近似零点
; ;

练习1: 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难, 变形为x3=1-3x,画两个函数的图象如何?

y
1

y=x3

有惟一解x0∈(0,1)

0

x
1

y=1-3x

练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求其零点的是 (C ) y y y y
0

x

0

x

0

x

0

x

问题5:根据练习2,请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么? 1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断. 2. y=f (x)满足 f (a) · f (b)<0,则在(a,b)内必有零点.

回顾反思(理解数学)
思考题

从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点,现在某接点发生故障,需及时修 理,为了尽快断定故障发生点,一般至少 需要检查几个接点?
1

6
2 3 4 5

7 8 9 10

11 12 13 14 15

课堂小结
1. 理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法. 2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求方程的近 似解,体会程序化的思想即算法思想. 3. 进一步认识数学来源于生活,又应用于 生活. 4. 感悟重要的数学思想:等价转化、函数 与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼 近的思想.

作业:

P74 A组1,2, 习题2-4 A组 7
练习 B组1,2


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