成都七中高 2015 届数学三诊模拟试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1．设集合 U ? ? 1 , 2 , 3 , 4 ? , A ? ?1 , 2 ? , B ? ? 2 , 4 ? , 则 （ C U A ）? B ? （ A. ? 4 ? 2. 已知复数 z ? A．一象限
3?i 2i
）
B. ? 2 ?
C. ? 1 , 4 ?
D. ? 1 , 2 , 4 ? ） D．四象限 ）
（ i 为虚数单位） ，则复数 z 所在的象限是（ B．二象限 C．三象限
3． “函数 f ( x ) ? kx ? 2 在区间 ?? 1, 1 ? 上存在零点”是“ k ? 3 ”的（ A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知 | a | ? 1, | b | ? 2 3 , a ? ( b ? a ) ? ? 4 ，则向量 a 与 b 的夹角为（ A．
?
6
）
B．
2? 3
C．
?
3
D．
5? 6
5. 设 ? a n ? 是公差为正数的等差数列，若 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1 5 ， a 1 a 2 a 3 ? 8 0 ，则
a1 1 ? a1 2 ? a1 3 ? (
) C．105 D．120
A．75
B．90
6.已知函数 f ( x ) ? a s in x ? b c o s x ( x ? R ) ， 若 x ? x 0 是函数 f ( x ) 的一条对称轴， 且 ta n x 0 ? 2 ， 则点 ( a , b ) 所在的直线方程为( A． x ? 2 y ? 0 B． x ? 2 y ? 0 ) C． 2 x ? y ? 0 D． 2 x ? y ? 0 ）
7.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ A.最长棱的棱长为 B.最长棱的棱长为 3 C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D.侧面四个三角形都是直角三角形 1 1 正(主)视图
6
2
2 1 侧(左)视图
1 1 俯视图
8.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 3 , AC ? 4, ?B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积是（ A. 4 3
x a
2 2
）
B. 8 3
y b
2 2
C. 4 3 或 8 3
D. 3
?
6
9. 过双曲线
?
? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点 F ( ? c , 0 ) ( c ? 0 ) ，作倾斜角为
的直线 F E 交
该双曲线右支于点 P ，若 O E ? A. 2 ? 1 B. 3 ? 1
1 2
( O F ? O P ) ，且 O E ? E F ? 0 ，则双曲线的离心率为(
)
C.
2
( x ? 1) ( x ? 1)
D. 3
1 x
10.已知函数 f ( x ) ? ? 个数不可能 为（ ．．． A.3 个
? lo g 5 (1 ? x ) ??(x ? 2) ? 2
2
， 则关于 x 的方程 f ( x ?
? 2 ) ? a ( a ? R ) 的实根
） B.5 个 C.6 个 D. 7 个
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分,共计 25 分 11.运行如图所示的流程图，如果输入 a ? 1, b ? 2 ，则输出的 a 的值为 开始 .
输入 a,b
a>8 N a a+b
Y
输出 a
结束
12.已知 (1 ? 2 x ) 4 的展开式中的二次项系数的最大值为 a ，系数的最大值为 b ，则
b a
的值为
13. 已知向量 a＝(2，－1)，b＝(1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
? x ? y ≤ 1, 为不等式组 ? 表示的平面区域，点 B ( a , b ) ? 2 x ? y ≥ ? 1, ? x ? 2 y≤1 ?
14.设 D
为坐标平面 x O y 内一点，若对于区域
D 内的任一点 A ( x , y ) ，都有 O A ? O B ≤ 1 成立，则 a ? b 的最大值等于
15.设 x , y ? R ， 定义 x ? y ? x ( a ? y ) （ a ? R ， 且 a 为常数） ， 若 f ( x ) ? e x ，g ( x ) ? e ? x ? 2 x 2 ，
F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ．[来源:Zxxk.Com]
① g ( x ) 不存在极值； ②若 f ( x ) 的反函数为 h ( x ) ，且 函数 y ? k x 与函数 y ? h ( x ) 有两个交点，则 k ? ③若 F ( x ) 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ( ? ? , ? 2 ] ；[来源:学科网] ④若 a ? ? 3 ，在 F ( x ) 的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直． 其中真命题的序号有__________（把所有真命题序号写上）．
1 e
；
三、解答题（本大题 6 小题，共计 75 分） 16.（12 分）已知函数 f ? x ? ? 2 cos
2
x 2
?
3 sin x 。
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和值域； (2)若 ? 为第二象限角，且 f ? ? ?
? ?
? ?
cos 2 ? 1 ，求 的值。 ? ? 1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? 3 ? 3
17.（12 分）如图，四棱锥 P ? A B C D 中， ? P A B 是正三角形，四边形 A B C D 是矩形，且平面 P A B ? 平面 A B C D ， P A ? 2 ， P C ? 4 ． （Ⅰ）若点 E 是 P C 的中点，求证： P A / / 平面 B D E ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在线段 PA 上是否存在一点 F 且 F A ? ? P A ,使得二面角 E-BD-F 为直 二面角，若存在，求实数 ? 的值；若不存在，请说明理由.
P
E F A B C D
18.（12 分）成都七中科技活动月开展了知识竞赛活动.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选 手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有 5 次答题机会，选手 累计答对 3 题或答 错 3 题即终止比赛，答对 3 题者直接进入复赛，答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的 概率均为
2 3
，且回答各题相互间没有影响.
（1）求选手甲进入复赛的概率； （2）设选手甲在初赛中答题的个数为 X ，试求 X 的分布列和数学期望.
19.（12 分）设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S 4 ? 4 S 2 ， a 2 n ? 2 a n ? 1 （1）求数列 { a n } 的通项公式； （2） 设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， 且Tn ? 的前 n 项和为 R n
an ? 1 2
n
cn ? b ? ? (? 为 常 数 ) ，
2 n ?1
求数列 { c n } (n ? N ) ，
*
20. （13 分） 已知抛物线 C : y 2 ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ， 准线 l 与 x 轴的 交点为 M .点 P ( m , n ) （ m ? p ）在抛物线 C 上，且 ? F O P 的外接圆圆心到准线 l 的距离为 ,（Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）若直线 P F 与抛物线 C 交于另一点 A ，证明： k M P ? k M A 为定值； （Ⅲ）过点 P 作圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的两条切线，与 y 轴分别交于 D 、 E 两点，求 ? P D E 面积取 得最小值时对应的 m 值.
3 2
.[来源:学
21.（14 分）已知函数 g ? x ? ? a ln x , f ? x ? ? x ? x ? b x 。
3 2
（1）若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上不是单调函数，求实数 b 的范围； （2）若对任意 x ? [1, ? ? ) ，都有 g ? x ? ? ? x ? ( a ? 2 ) x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
2
（3）当 b ? 0 时，设 F ? x ? ? ?
? f (? x) ? g (x)
x ?1 x ?1
，对任意给定的正实数 a ，曲线 y ? F ? x ? 上是否
存在两点 P , Q ，使得 ? P O Q 是以 O （ O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三 角形斜边中点在 y 轴上？请说明理由.