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3.1.1变化率问题


3.1.1 变化率问题
教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研 究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、 最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V ( r ) ? ? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3 分析: r (V ) ? 3

4 3 ?r 3

3V 4?

⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm)

3V , 4?

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0 ⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 ?1
气球的平均膨胀率为 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时 , 气球的平均膨胀率是多少 ? h

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位: m)与起跳后的 2 时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t +6.5t+10.如何用运动员在某 些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态? o t

思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v 在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v ?

h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s ) ; 0. 5 ? 0 h(2) ? h(1) ? ?8.2(m / s ) 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v ? 2 ?1 65 探究:计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图象,结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49

65 ) ? h(0) 所以 v ? 49 ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然运 49 h(
动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念: 1.上述问题中的变化率可用式子

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, x2 ? x1

称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均

变化率 2.若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代 替 x2, 同 样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 则 平 均 变 化 率 为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x
3.思考:观察函数 f(x)的图象 平均变化率

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1

y y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1)

直线 AB 的斜率 f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x

三.典例分析 例 1 . 已 知 函 数 f(x)= ? x ? x 的 图 象 上 的 一 点 A(?1, ? 2) 及 临 近 一 点
2

?y ? . ?x 解: ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ,

B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,则

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ∴ ?x ?x 例2. 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率。

?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 解: ?y ? ( x0 ? ?x) ? x0 ,所以 ? ?x ?x 2 2 x0 ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ? ? 2 x0 ? ?x ?x 所以 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x
2 2

2

四.课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为 . 2 2.物体按照 s(t)=3t +t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率. 3.过曲线 y=f(x)=x3 上两点 P(1,1)和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线,求出当Δ x=0.1 时 割线的斜率. 五.回顾总结 1.平均变化率的概念 2.函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业
2


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