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高中数学中恒成立问题的探究


数学 ? 专题探讨  高 中数 学 中恒 成 立 问题 的探 究  责 州 罗句县 第一 中学 ( 5 5 0 1 0 0 )   吴丹 丹  高中数学 中的恒成立 问题 , 涉及诸 多数学知 识和思  想 方法 , 如与 函数 、 方程、 导 数不 等式 等进 行综 合 , 涉及  换元、 化归、 数形 结合 、 函数 与方 程 的思想 方法 , 此 类 问  题有利于提升学生 的综合解题 能力 , 对 培养学 生思维 的  恒成立 , 则实数 k的取值范围是  O ≤尼 ≤1 .   J ’   .   解: 画出 Y   一l  +1   I 和 Y 。 一k x的图像 , 即可 看 出  灵活性 和深 刻性有 显著 作用. 因此 , 历 年来 是高考 命题    . 的热点. 如何更 好地解决这类 问题 ?以下归纳几 种常用  方法.   一 \/ 。   .     ’ 、 数 形 结 合 法  二、 构 造 函数 法  0  把所求问题 , 进 行合 理 变形后 , 在 同一 坐 标 系 中画  出 函数图像 , 利用 图像 的位 置关 系 , 直观得 出结论 , 这 种  “ 以形助数” 的方法 , 有时很有效.   0  构造函数 , 利用函数 的单调性解决 问题.   【 典型例 3 1 ( 2 0 1 3年辽 宁 高考题 ) ( 1 ) 证明: 当  E   々  【 典型例 1 】 已知函数 厂 (   ) 一z ( 1 眦 +昔) , g ( z ) 一   詈 +x ( a ER ) , 若g (   ) ≥厂 (   ) 恒成立, 求口的取值范  围.   [ o , 1 ] 时,  z ≤s i n x  ̄ x ; ( 2 ) 若 不 等 式n z + z z + 等+ 2 ( 卫   +2 ) C O S X ≤4 , 对  E[ o , 1 ] 恒 成立 , 求 实数 a的取值 范  围.   分 析 : 要 使g (   ) ≥ , (   ) 恒 成 立 , 即 詈   。 ≥ l 眦 +   1   证明 : ( 1 ) 记 F ( z ) 一s i m=   一  z, 则 F , ( z ) 一c 。 缸 一  在 区 间 ( 0 , + 0 0 ) - 2 恒 成 立 , 可 转 化 为 函 数   ( z ) 一 号   一   1在  轴右侧的图像总在 (  ) 一l n z的图像上方 .   9 ’   如 图, 作 出函数 厂 ( z ) 和 (  )   当 x E   E o ,   ] 时 , F   ( z ) > 0 , F ( z ) 在 [ 0 , 号 ] 上 是 增   Y   的 图像 , 使 它们 在 ( O , +o o ) 有 且  只有一个公共 点 , 同 时满足 h ( z )   的图像总在  ( z ) 的图像上 方 , 则  在公共点 Q处 , 有共 同的切线 z .   设公共 点 Q( z 。 , Y 。 ) , 则 曲线  t  o   :   .  一 函数 ;   当x E ( 号 , 1 ) 时 , F   ( z ) < 0 , F ( z ) 在 [ 号 , 1 3 - 2  ̄  函数 , 又 F( O ) 一0 , F( 1 ) >O .   手   所 以当 x E   E o , 1 ] 时, F(   ) ≥0 , 即s i n x ≥  , n   .   记 H(   ) 一s

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