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高中数学必修2-2.3.3《直线与平面垂直的性质》同步练习


2.3.3《直线与平面垂直的性质》同步练习
一、选择题 1.直线 l 垂直于梯形 ABCD 的两腰 AB 和 CD,直线 m 垂直于 AD 和 BC,则 l 与 m 的 位置关系是( A.相交 C.异面 [答案] D 2.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则( ) ) B.平行 D.不确定

A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 [答案] C 3.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α [答案] C 4.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90° ,M 为 AB 的中点,PM 垂直于 △ABC 所在平面,那么( A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PA≠PC [答案] C 5.如下图,设平面 α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是 B、D,如果增加一个条 件,就能推出 BD⊥EF,这个条件不可能是下面四个选项中的( ) ) )

B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β

A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上 D.AC 与 α、β 所成的角相等
1

[答案] D 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边 界上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [答案] A [解析] ∵DD1⊥平面 ABCD, ∴D1D⊥AC, 又 AC⊥BD,∴AC⊥平面 BDD1, ∴AC⊥BD1.同理 BD1⊥B1C. 又∵B1C∩AC=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. 而 AP⊥BD1,∴AP?平面 AB1C. 又 P∈平面 BB1C1C,∴P 点轨迹为平面 AB1C 与平面 BB1C1C 的交线 B1C.故选 A. 二、填空题 7.已知直线 m?平面 α,直线 n?平面 α,m∩n=M,直线 a⊥m,a⊥n,直线 b⊥m, b⊥n,则直线 a,b 的位置关系是________. [答案] 平行 [解析] 由于直线 a 垂直于平面 α 内的两条相交直线 m,n,则 a⊥α.同理,b⊥α,则 a ∥b. 8.AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点(点 C 不与 A,B 重合),过动点 C 的直线 VC 垂直于⊙O 所在的平面, D, E 分别是 VA, VC 的中点, 则下列结论中正确的是________(填 写正确结论的序号). (1)直线 DE∥平面 ABC; (2)直线 DE⊥平面 VBC; (3)DE⊥VB; (4)DE⊥AB. [答案] (1)(2)(3) 9.△ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 α 的距离分别为 2 cm、3 cm、4 cm,且它们在 α 的同侧,则△ABC 的重心到平面 α 的距离为________. [答案] 3 cm [解析] 如图,设 A、B、C 在平面 α 上的射影分别为 A′、B′、C′,
2

)

△ABC 的重心为 G,连接 CG 并延长交 AB 于中点 E, 又设 E、G 在平面 α 上的射影分别为 E′、G′, 1 5 则 E′∈A′B′, G′∈C′E′, EE′= (A′A+B′B)= , CC′=4, CG?GE=2?1, 2 2 在直角梯形 EE′C′C 中,可求得 GG′=3. 三、解答题 10.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE= 2AB,F 为 CD 的中点.

求证:平面 BCE⊥平面 CDE. [分析] 由题意易知 AF⊥平面 CDE,只需在平面 BCE 中找一直线与 AF 平行即可. [证明] 取 CE 的中点 G,连接 FG,BG,AF. ∵F 为 CD 的中点, 1 ∴GF∥DE,且 GF= DE. 2 ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE.则 GF∥AB. 1 又∵AB= DE,∴GF=AB. 2 则四边形 GFAB 为平行四边形.于是 AF∥BG. ∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE=D,CD,DE?平面 CDE, ∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE.

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∵BG?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. 11.如右图,已知四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、 N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥AB; (2)若 PA=AD,求证:MN⊥平面 PCD. [证明] (1)取 CD 的中点 E,连接 EM、EN, 则 CD⊥EM,且 EN∥PD. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又 AD⊥DC,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD,从而 CD⊥EN. 又 EM∩EN=E,∴CD⊥平面 MNE. 因此,MN⊥CD,而 CD∥AB, 故 MN⊥AB. (2)在 Rt△PAD 中有 PA=AD, 取 PD 的中点 K,连接 AK,KN, 1 则 KN 綊 DC 綊 AM,且 AK⊥PD. 2 ∴四边形 AMNK 为平行四边形,从而 MN∥AK. 因此 MN⊥PD.由(1)知 MN⊥DC,又 PD∩DC=D, ∴MN⊥平面 PCD. 12.如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平 面 ABCD,AB=AA1= 2.证明:A1C⊥平面 BB1D1D.

[分析] 先把线面垂直转化为线线垂直,再通过计算得出另一组线线垂直,最后可以得 到线面垂直. [证明] ∵A1O⊥平面 ABCD,∴A1O⊥BD. 又底面 ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 A1OC,∴BD⊥A1C. 又 OA1 是 AC 的中垂线,
2 ∴A1A=A1C= 2,且 AC=2,∴AC2=AA2 1+A1C ,

∴△AA1C 是直角三角形,∴AA1⊥A1C.

4

又 BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,∴A1C⊥平面 BB1D1D.

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