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1.1.2.3 空间几何体的直观图(2013版高中数学多媒体课件·人教A版必修2)


1.2.3

空间几何体的直观图

1.体会平面图形和空间图形的直观图的含义.

2.结合画直观图的实例,掌握直观图的斜二测画法及步骤.
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点) 4.会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间 图形的直观图.(难点)

直观图有 立体感

左图的斑马线 为什么会有立体的 感觉? 如何把立体图

上图是浙江省台州的斑马线
披上的“立体彩装”.

形画在纸上?

很多图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的 研究可以了解空间图形的一些性质和特征. 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但 三视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图.一 般采用中心投影或平行投影.

在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂 直),但斜的平行线则会相交,交点称为消点.

中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较 复杂,又不易度量.立体几何中常用平行投影(斜投影)来画 空间图形的直观图,这种画法叫做斜二测画法. 投影规律

1.平行性不变,但形状、长度、 夹角会改变;

2.平行直线段或同一直线上的
两条线段的比不变; 3.在太阳光下,平行于地面的 直线在地面上的投影长不变.

(一)水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置,从适当的角度观察,给人以 平行四边形的感觉,如图.比较两图,其中哪些线段之间的 位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化?

思考2:把一个直角梯形水平放置,得其直观图如图,比较
两图,其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变 化?哪些没有发生变化?

思考3:画一个水平放置的平面图形的直观图,关键是确定 直观图中各顶点的位置,我们可以借助平面坐标系解决这

个问题. 那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何
操作?
y D C D′ A′ y′ C′

A

B

x

B′

x′

例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 画法:(1)在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称 轴MN所在直线为y轴,两轴交于点O.画对应的x′,y′轴,两 轴相交于点O′,使∠ x′o y′=45°.
y
F A

M

E D
x

y'
O?

O

x'

B

N C

注意:(1)建系时要尽量考虑图形的对称性; (2)画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置.

(2)以O′为中心,在x′上取A′D′=AD,在y轴上取 M ' N ' ? 1 MN 以点N′为中心,画B′C′∥x′轴,并等于BC,再以M′为中心,
2

画E′F′∥x′轴,并等于EF.
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

注意:水平放置的线段长不变,垂直放置的线段长变为原来 的一半.

(3)连接 A' B' , C ' D' , D' E ' , F ' A' , 并擦去辅助线x′轴和y′轴,便 ' ' ' ' ' ' A 获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图 B C D E F .
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤.

斜二测画法的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O. 画直观图时,把它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′o′y′=45°(或135°),它们确定的平面 表示水平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画 成平行于x′轴或y′轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度 不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

思考4:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图,

如果把一个圆水平放置,看起来像什么图形?在实际画图
时用什么方法?

( 二)

空间几何体的直观图的画法

思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图,可用斜二测画法

或椭圆模板画出一个底面,我们能否再用一个坐标确定底面
外的点的位置?

y

o

x

例2.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm

的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
D′ A′ D A B B′ C C′ 联想水平放置的平

面图形的画法,并注意
高的处理.

画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴交于点O,使∠xoy=45°,
∠xoz=90°.
4 cm;在y (2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=____ 1.5 cm,分别过点M和N作y轴的平行线,过点 轴上取线段PQ,使PQ=_____

P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为 A,B,C,D,四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD.

z

z
y

y
Q

O

x

M

D
O

C

A

N
B

x

P

(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行 线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.

?4? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
改为虚线), 就可得到长方体的直观图.

D?

Z
B?
O

C?
Q

A?
M

y

D?

C?
B?
C

D
P

C

N
B

A

x

A?

D

A

B

思考2:怎样画底面是正三角形,且顶点在底面上的投影

是底面中心的三棱锥?
z C C M O S y

A

B

A

B

x

S

C A B

思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行?

画轴 → 画底面 →

画侧棱



成图

例3

已知几何体的三视图如图,用斜二测画法画出它的

直观图. 分析:由几何体的三视图 知道,这个几何体是一个 简单组合体.它的下部是一 个圆柱,上部是一个圆锥,
正视图 侧视图

并且圆锥的底面与圆柱的
上底面重合.我们可以先画 出下部的圆柱,再画出上

俯视图

部的圆锥.

画法:(1)画轴.画x轴,z轴,使?xOz =90?. (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A, B两点,使AB的长度 等于俯视图中圆的直径,且OA ? OB.选择椭圆模板中适 当的椭圆过A, B两点,使它为圆柱的下底面.
(3)在Oz轴上截取点O ',使OO ' 等于 正视图中OO '的长度,过点O ' 作平 行于轴Ox的轴O ' x ',类似圆柱下底 面的作法作出圆柱的上底面.
A′
O?

Z

B′

x?
B

A
O

x

(4)画圆锥的顶点.在Oz轴上截取点P,使PO?等于 正视图中相应的高度. (5)成图.连接PA ',PB ',AA ',BB ',整理得到三 视图表示的几何体的直观图.
P

A′

O′

B′

A

O

B

1.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图A ' B ' C ' D ' 是 一个边长为2的正方形,请画出这个图形的真实图形.并 计算真实图形的面积.

解:如图建立坐标系x ' Oy ',根据斜二测画法的 要求将图形还原.

由题意知,A ' B ' ? 2,所以A ' C ' ? 2 2. 则在右图中,AC ? 2 A ' C ' ? 4 2. 又AB ? A ' B ' ? 2, 所以真实图形的面积为AB ? AC ? 8 2.

2.一个四边形的直观图是边长为a的正方形,则原图形的面
2 积是 2 2a .

3. (2012·济南高一检测)利用斜二测画法得到的 (1)三角形的直观图是三角形. (2)平行四边形的直观图是平行四边形.

(3)正方形的直观图是正方形.
(4)菱形的直观图是菱形. 以上结论,正确的是( A ) A.(1)(2) C.(3)(4) B.(1) D.(1)(2)(3)(4)

4.如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个 等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,求

这个平面图形的面积.
y′ D′ C′ D C

A′(O′)

B′ x′ A

S ? 2? 2
B

空间几何体的直观图的作法: 1.斜二测画法:画多边形.

2.正等测画法:画圆形.
空间几何体的直观图的特点: 1. 保持平行关系和竖直关系不变. 2. 保持水平长度和竖直长度不变; 3. 纵向长度取其一半.

不论做什么事,相信自己,别让别人 的一句话将你击倒。


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