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《充分条件与必要条件》教学设计


1.2 充分条件与必要条件
教学目标 1.知识与技能: 正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念;会判断命题 的充分条件、必要条件.进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。 2.过程与方法: 充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想,培养学生现问题的能力,通过对充分条 件、必要条件的判定,提高分析问题、解决问题的能力;学会观察,敢于归纳,关于建构;充分培养学 生的发散思维能力,挖掘学生的创新思维能力。 3.情感、态度与价值观 通过“p ? q”与“q ?p”的判断,感受对立,统一的思想,培养辩证唯物主义观;通过学习本节课 体验成功的愉悦,激发学习的兴趣;通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。 教学重点与难点 1.重点:充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念. (解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念,再详细讲述概念,最后再应用概念进行论证.) 2.难点:判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。 3.关键:分清命题的条件和结论,看是条件能推出结论还是结论能推出条件。 教学方法及教学准备 1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系,充要条件 中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的,它们可以是简单命题,也可以是不能判断真假的语句,也 可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。 2. 由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习兴趣是 关键,教学中应始终注意以学生为主,让学生在自我思考,相互交流中去给概念、“下定义”,去体会 概念的本质属性。 3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明,为了能让学生能理解定义的合 理性, 在教学过程中教师可以具体的、 简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念, 从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。 4. 教学用具:多媒体 教学过程: 一、复习回顾 1、 四种命题的形式与关系

2 2、试写出命题“若 x>1,则 x ? 1 ”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.

1

二、创设情境,新课引入 1、p: b 是 a(男性)的父亲 2、p : 外面下雨 条件. 三、师生互动,新课讲解 问题 1:前面讨论了“若 p 则 q”形式的命题的真假判断,请同学们判断下列命题的真假,并说明条件 和结论有什么关系?
2 2 (1). p:x≠y;q: x ? y .
2 (2). p:x>0;q: x ? 0 .

q:a 是 b 的儿子 q :出门带雨伞

那么,p 与 q 在数学中是什么样的关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要

(3).p:三角形的三个角相等; q:三角形的三条边相等。 (4).p:两个三角形全等;q:两个三角形的面积相等。 推断符号“ ?”的含义
王新敞
奎屯 新疆

“若 p 则 q”为真,是指由 p 经过推理可以得出 q,也就是说,如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作 p ?q,或者 q ?p;如果由 p 推不出 q,命题为假,记作 p 简单地说, “若 p 则 q”为真,记作 p ? q(或 q ?p) ; “若 p 则 q”为假,记作 p q(或 q p). q.

命题(2)、 (3) (4)为真,是由 p 经过推理可以得出 q,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,此时可记 作 “p ? q” , 命题(1)为假, 是由 p 经过推理得不出 q, 即如果 p 成立, 推不出 q 成立, 此时可记作 “p q.” 说明: “p ?q”表示“若 p 则 q”为真,可以解释为:如果具备了条件 p,就是以保证 q 成立,即 表示“p 蕴含 q” ,理解为“p”为“q”的子集。 1.什么是充分条件?什么是必要条件? 一般地,如果已知 p ?q,那么就说:p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件;如果已知 p ? q,且 q ?p,那么就说:p 是 q 的充分且必要条件,简记充要条件;如果已知 p 分条件;q 不是 p 的必要条件; 回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为 四类:“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件” 例 1 指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充 要条件”、“既不充分也不必要”中选出一种)? (1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0. (2)p:同位角相等; q:两直线平行. (3)p:x=3;
2 q: x ? 9 .

q,那么就说:p 不是 q 的充

(4)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平行四边形。 (学生板演讲街,教师点评)
2

例 2.指出命题中 p 是 q 的什么条件? P:|x|≠3 解: (学生板演讲街,教师点评) 2.充分条件与必要条件的判断方法: (1)直接利用定义判断:即“若 p ? q 成立,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件”.(条件与结 论是相对的) (2)利用等价命题关系判断: “p ? q”的等价命题是“ ? q ? ? p” 。即“若┐q ? ┐p 成立,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件” 。 3.用集合的思想理解充分与必要条件 给定两个条件 p ,q,要判断 p 是 q 的什么条件,也可考虑集合:A={x |x 满足条件 q},B={x |x 满足条 件 p} ①A ? B,则 p 为 q 的充分条件,q 为 p 的必要条件; ②B=A, 则 p 为 q 的充要条件,q 为 p 的充要条件; 4.分析比较充分条件、必要条件与充分不必要条件、必要非充分条件和充要条件的区别和判定 命题:若 p,则 q (1)若 p ?q,且 q (2)若 p (4)若 p p.则 P 是 q 的充分不必要条件 q,且 q ? p.则 p 是 q 的必要不充分条件 q,且 q p.则 p 是 q 的既不充分与不必要条件 q:x≠3

(3)若 p ?q,且 q ?p.则 p 是 q 的充要条件,q 也是 p 的充要条件 四、课堂小结,巩固反思 1、本节主要学习了推断符号“ ? ”的意义,充分条件与必要条件的概念,以及判断充分条件与必要条 件的方法. (1)若 p ?q(或若┐q ?┐p) ,则 p 是 q 的充分条件;若 q ? p(或若┐p ? ┐q) ,则 p 是 q 的必要条 件. (2)条件是相互的; (3)p 是 q 的什么条件,有四种回答方式: ① p 是 q 的充分而不必要条件;② p 是 q 的必要而不充分条件; ③ p 是 q 的充要条件; 2、 注意的问题 (1)对本节的教学,不可拔高追求一次到位,而在今后的教学中滚动式逐步深化。 (2)从具体的、简单的例子由浅入深,突破难点,抓住重点,讲练结合。 五、布置作业: 1.利用定义填空: (1)x>-1___x>1;
2 (2) x ? 3x ? 4 ___x= 3x ? 4

④ p 是 q 的既不充分也不必要条件。

;
3

(3)两个角是对顶角________两个角相等;

(4)a=b____a+c=b+c. 2. 从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”与“充要条件”中选出适当的一种填空: ; ; ; . (1) “两三角形全等” 是“两三角形相似”的 (2)“a=b”是 “ac=bc”的 (3)“a≠0”是 “ab ≠ 0”的 (4)“四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的 3.判断下列命题的真假:
2 2 (1) “a>b” 是 “ a ? b ”的充分条件; 2 2 (2) “a>b” 是 “ a ? b ”的必要条件; 2 2 (3) “a>b” 是 “ ac ? bc ”的充分条件;

(4) “a>b” 是 “a+c>b+c”的充要条件; (5)关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 一个根为 1 的充分且必要条件是
2

六、关于教学设计的思考

1. 本节课重难点是判断命题的充分条件,必要条件,充要条件的方法,所以这节 课效果的好坏,体现在对这两点实现的程度上,因此,作业应围绕这两方面设计。 2. 充分条件、必要条件、充要条件是高中数学中几个重要的数学概念,它们之间 有紧密的联系,如分开讲则不利于学生掌握,分析教材,联系实际,将本节内容安排了 两个课时,第一课时讲清定义及简单的判断方法,第二节课加强这几个“条件”的应用,提 高逻辑思维能力,本教案为第一课时。 3. 本节概念课理论较强,一般学生感到枯燥无味,因此,激发兴趣是关键,不断 启发是手段,从而使学生为主体,教师为主导,师生互动达到教学目的。
七、板书设计:

为及时体现教材中的知识点和要点,便于学生理解掌握,板书设计如下:
1.2 充分条件与必要条件 1、复习回顾 2、简化定义 3、判别技巧 例 1; 例 2. 4、成果展示

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