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高一数学必修1


函数模型的应用实例
第一课时

授课者:孙祝梧

温故知新:

(1)、在区间(0,+∞)上,y=ax (a>1), y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。 (2)、随着x的增大, y=ax (a>1)的增长速 度越来越快,会远远大于y=xn (n>0)的增 长速度。 (3)、随着x的增大, y=logax (a>1)的增 长速度越来越慢,会远远大于y=xn (n>0) 的增长速度。 总存在一个x0,当x>x0时, logax<xn<ax

问题提出

一次函数、二次函数、指数函数、对数 函数以及幂函数,不只是理论上的数学问题, 它们都与现实世界有着紧密的联系,我们如 何利用这些函数模型来解决实际问题?

直 y ? k x ? b( k ? 0) 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____ 线,
当________时,一次函数在 上为增函数,当 _______时, ( ?? ,??)

一次函数在 (?? 上为减函数。 ,??)
2 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 其图像是一条 2.二次函数的解析式为_______________________,

4ac ? b 2 抛物 线,当______ a ? 0 时,函数有最小值为___________ a?0 ________ ,当______ 4a 4ac ? b 2 4a 时,函数有最大值为____________ 。

问题

某学生早上起床太晚,为避免迟 到,不得不跑步到教室,但由于 平时不注意锻炼身体,结果跑了 一段就累了,不得不走完余下的 路程。

如果用纵轴表示家到教室的距离,横轴表 示出发后的时间,则下列四个图象比较符 合此人走法的是()

d d

0

d d

0

d d

0

d d

0

0

(A)

t

0

t0

(B)

t

0

t

0

t 0 t (D) 0 (C)

t

0

例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示: (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km,试建立汽车行驶这段 路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象 v

解(1)阴影部分的面积为 50 ? 1 ? 80 ? 1 ? 90 ? 1 ? 75 ? 1 ? 65 ? 1 ? 360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km

90 80 70 60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5

(2)根据图形可得:

? ? ? ? S?? ? ? ? ?

50t ? 2004
80(t ? 1) ? 2054

0 ? t ?1

1? t ? 2

90(t ? 2) ? 2134 2 ? t ? 3 75(t ? 3) ? 2224 3 ? t ? 4 65(t ? 4) ? 2299 4 ? t ? 5

t

这个函数的图像如下图所示:

例 2: 一家报刊推销员从报社买进报纸的价 格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30 元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格 退回报社.在一个月(以30天计算)有20 天每天可卖出400份,其余10天只能卖250 份,但每天从报社买进报纸的份数都相同, 问应该从报社买多少份才能使每月所获得 的利润最大?并计算每月最多能赚多少钱?

解析:本题所给条件较多,数量关系比较复 杂,可以列表分析:

例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价 格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一 个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余10天只能卖250份, 但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报社买多少份才能使每 月所获得的利润最大?并计算每月最多能赚多少钱?

数量(份)

价格(元)

金额(元)

买进 卖出 退回

30x 20x+10*250 10(x-250)

0.20 0.30 0.08

6x 6x+750 0.8x-200

则每月获利润y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x= 0.8x+550(250≤x≤400). y在x [250,400]上是一次函数. ∴x=400份时,y取得最大值870元. 答:每天从报社买进400份时,每月获的利润最大,最大利 润为870元.

例3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的 进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示:

`

销售单价/元 日均销售量/桶

6 480

7
440

8 400

9 360

10 320

11 280

12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 分析:由表中信息可知①销售单价每增加1元,日均销售量就减少40 桶②销售利润怎样计算较好? 解:设在进价基础上增加x元后,日均经营利润为y元,则有日均销售量为

480 ? 40( x ? 1) ? 520? 40x(桶)
而 x ? 0, 且520 ? 40x ? 0,即0 ? x ? 13

y ? (520? 40x) x ? 200 ? ?40x 2 ? 520x ? 200 ? ?40( x ? 6.5)2 ? 1490 ?当x ? 6.5时,y 有最大值

? 只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润。

例4、某蔬菜菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一 日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线 表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示: (1)、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式,P ? f (t ) 写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式 Q ? g (t ) (2)、认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿 元 纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位: 2 ,时间单位:天)
P 300 150 100 100 t 0 200 300 0

10 kg

Q 250

50

150 250

300

t

100

解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:

?300 ? t , 0 ? t ? 200 f (t ) ? ? ?2t ? 300, 200 ? t ? 300
由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:

1 2 g (t ) ? (t ? 150) ? 100,0 ? t ? 300 200

(2)设

t

时刻的纯收益为 h(t ) ,则由题意得 h(t ) ? f (t ) ? g (t ), 即
? 1 2 1 175 ? t ? t? , 0 ? t ? 200 ? ? 200 2 2 h(t ) ? ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 , 200 ? t ? 300 ? 2 2 ? 200

1 (t ? 50) 2 ? 100, 所以当 当 0 ? t ? 200 时,配方整理得 h(t ) ? ? 200 t ? 50 时, h(t ) 取得 [0, 200] 上的最大值100 ;当 200 ? t ? 300

时,配方整理得 (200,300] 上的最大值 87.5

h(t ) ? ?

1 (t ? 350) 2 ? 100 200

,所以当 t ? 300 时,

h(t ) 取得

综上,由 100 ? 87.5 可知, h(t )在 [0,300] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.

1.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现, 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系:
每间每天房价 20元 18元 16元 住房率 65% 75% 85% 14元 95%

要使每天收入达到最高,每间定价应为( C ) A.20元 B.18元 C.16元 D.14元

2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品 每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了取得最大利润,每个售价应定为 ( ) A
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元

y=(90+x-80)(400-20x)

小结
(1)认真审题,准确理解题意;
(2)抓准数量关系,运用已有的数 学知识和方法,建立函数关系式; (3)根据实际情况确定定义域。

应用函数知识解应用题的方法步骤: (1)正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键。 转化来源于对已知条件的综合分析,归纳与抽象,并与熟 知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类。 (2)用相关的函数知识进行合理设计,确定最佳解题方案,进 行数学上的计算求解。 (3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题,即对 实际问题进行总结做答。

基本步骤:

第一步:阅读理解,认真审题

读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景 中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念, 进而把握住新信息。

第二步:引进数学符号,建立数学模型
设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题已知 条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函 数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化, 即所谓建立数学模型。

第三步:利用数学的方法将得到的常规数学问 题(即数学模型)予以解答,求得结果。
第四步:再转译为具体问题作出解答。

收集数据

画散点图
不 符 合 实 际 选择函数模型 求函数模型
检验

用函数模型解释问题

抽象概括 实际问题

数学模型 推理 演算

实际问题 的解

还原说明

数学模型 的解

布置作业 1 . 课本第126页 练习1,2
2.甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查, 提供了两个方面的信息,如下图:

甲调查表明:每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只 乙调查表明:甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个 请你根据提供的信息说明: ①第2年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数 ②到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由。

冷水江一中高一数学组 2007年10月28制作


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