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导数与二次函数综合题


21. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? x ? x ? a 。
3 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值;(Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴仅有一个 交点。
2 解:解:(I) f ( x ) ? 3 x ? 2 x ? 1 若 f ' ( x ) ? 0 ,则 x ? ?

1 3

,1

当 x 变化时, f ' ( x ), f ( x ) 变化情况如下表: x
f ' (x) f (x)

(?? , ?

1 3

)

?

1 3

(?

1 3

, 1)

1 0 极小值

(1, ? ? )


?

0 极大值
1 3
3 2


?


?

所以 f(x)的极大值是 f ( ?

) ?

5 27

? a ,极小值是 f (1 ) ? a ? 1
2

(II)函数 f ( x ) ? x ? x ? x ? a ? ( x ? 1 ) ( x ? 1 ) ? a ? 1 由此可知 x 取足够大的正数时,有 f ( x ) ? 0 ,x 取足够小的负数时有 f ( x ) ? 0 ,所以曲线
y ? f ( x ) 与 x 轴至少有一个交点。

结合 f(x)的单调性可知: 当 f(x)的极大值
5 27 ? a ? 0 ,即 a ? ( ? ? , ? 5 27 ) 时,它的极小值也小于 0,因此曲线

y ? f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点,它在 (1, ? ? ) 上;

当 f(x)的极小值 a ? 1 ? 0 , a ? (1, ? ? ) 时, 即 它的极大值也大于 0, 因此曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点,它在 ( ? ? , ? 所以当 a ? ( ? ? , ?
5 27 1 3 ) ? ( 1 , ? ? ) 时,曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 )上

(21)(本小题满分为14分)
2 设a ? R , 函数 f ( x ) ? a x ? 2 x ? 2 a . 若 f ( x ) ? 0 的解集为 A,B ? ? x | 1 ? x ? 3? , A ? B ? ? ,

求实数 a 的取值范围。 解:(21)解:由 f(x)为二次函数知 a ? 0 令 f(x)=0 解得其两根为 x1 ?
1 a ? 2? 1 a
2

, x2 ?

1 a

?

2?

1 a
2

由此可知 x1 ? 0, x 2 ? 0

(i)当 a ? 0 时, A ? { x | x ? x1 } ? { x | x ? x 2 }
1 a 1 a
2

A ? B ? ? 的充要条件是 x 2 ? 3 ,即

?

2?

? 3 解得 a ?

6 7

(ii)当 a ? 0 时, A ? { x | x1 ? x ? x 2 }
1 a 1 a
2

A ? B ? ? 的充要条件是 x 2 ? 1 ,即

?

2?

? 1 解得 a ? ? 2

综上,使 A ? B ? ? 成立的 a 的取值范围为 ( ? ? , ? 2 ) ? ( , ? ? )
7

6

(22)(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

1 3

ax

3

? bx

2

? (2 ? b) x ? 1

在 x ? x 1 处取得极大值,在 x ? x 2 处取得极小值,且 (Ⅰ)证明 a>0;(Ⅱ)求 z=a+3b 的取值范围. 解:(22)解:求函数 f ( x ) 的导数 f ? ( x ) ? ax 两个根 所以 f ? ( x ) ? ax
2 2

0 ? x1 ? 1 ? x 2 ? 2

? 2 bx ? 2 ? b

(Ⅰ)由函数 f ( x ) 在 x ? x 1 处取得极大值,在 x ? x 2 处取得极小值,知 x 1 , x 2 是 f ? ( x ) ? 0 的
? 2 bx ? 2 ? b

当 x ? x 1 时为增函数 f ? ( x ) ? 0 ,由 x ? x 1 ? 0 , x ? x 2 ? 0 得 a ? 0 (Ⅱ)在题设下, 0 ? x 1 ? 1 ? x 2 ? 2 等价于
?2 ? b ? 0. ? f ?( 0 ) ? 0 , ? 2 ? b ? 0 . ? ? ? ? f ? (1) ? 0 , 即 ? a ? 2 b ? 2 ? b ? 0 . 化简得 ? a ? 3 b ? 2 ? 0 . ? 4 a ? 5b ? 2 ? 0 . ? f ?( 2 ) ? 0 . ? 4 a ? 4 b ? 2 ? b ? 0 . ? ? ?

此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线;
2 ? b ? 0 , a ? 3b ? 2 ? 0 , 4 a ? 5 b ? 2 ? 0

所围成的△ABC 的内部,其三个顶点分别为:
4 6 , ), B ( 2 , 2 ), C ( 4 , 2 ) . 7 7 16 , 6 ,8 . z 在这三点的值依次为 7 16 所以 z 的取值范围为 ( ,8 ) 7 A(

21.(本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x ) ? ax ? 3 x .
3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,求 a 的值;
2] (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x ), x ? [0, ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

解:
2 (Ⅰ) f ? ( x ) ? 3 a x ? 6 x ? 3 x ( a x ? 2 ) .

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2 a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点. (Ⅱ)由题设, g ( x ) ? ax ? 3 x ? 3 ax ? 6 x ? ax ( x ? 3) ? 3 x ( x ? 2) .
3 2 2 2

2 当 g ( x ) 在区间 [0,] 上的最大值为 g (0 ) 时, g (0 ) ≥ g ( 2 ) ,即 0 ≥ 20 a ? 24 .

故得 a ≤

6 5


6 5

反之,当 a ≤
? 3x 5
2

2] 时,对任意 x ? [0, , g ( x ) ≤
3x 5 ( 2 x ? 5)( x ? 2 ) ≤ 0 ,

6 5

x ( x ? 3) ? 3 x ( x ? 2 )
2

(2 x ? x ? 10) ?

2 而 g (0) ? 0 ,故 g ( x ) 在区间 [0,] 上的最大值为 g (0 ) .综上, a 的取值范围为 ? ? ? , ? . 5
? ?

?

6?

(21)(本小题满分 12 分)

设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24 a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
2 解:(21)解:(I) f ?( x ) ? x ? 2 (1 ? a ) x ? 4 a ? ( x ? 2 )( x ? 2 a )

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 ( ?? , 2 ) 是增函数; 当 2 ? x ? 2 a 时, f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 ( 2 , 2 a ) 是减函数; 当 x ? 2 a 时, f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 ( 2 a , ?? ) 是增函数。

综上,当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 ( ?? , 2 ) 和 ( 2 a , ?? ) 是增函数,在区间 ( 2 , 2 a ) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2 a 或 x ? 0 处取得最小值。
f (2a ) ? ? ? 4 3 a ? 4a
3 2

1 3

( 2 a ) ? (1 ? a )( 2 a ) ? 4 a ? 2 a ? 24 a
3 2

? 24 a

f ( 0 ) ? 24 a

由假设知
?a ? 1 ? ? f (2 a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

? a ? 1, ? ? 4 即 ? ? a ( a ? 3 )( a ? 6 ) ? 0 , ? 3 ? 24 a ? 0 . ?

解得

1<a<6

故 a 的取值

范围是(1,6)

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。
3 2

(21)已知函数: f ( x ) ? x ? 3 a x ? (3 ? 6 a ) x ? 1 2 a ? 4 ( a ? R )
3 2

(1)证明:曲线 y ? f ( x ) 在 x

? 0

出的切线过点(2,2)

(2)若 f ( x ) 在 x ? x 0 处取得极小值, x 0 ? (1, 3) ,求 a 的求值范围
解 :


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