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2019年《成才之路》高一数学(人教A版)必修1课件:3-2-1 几类不同增长的函数模型.ppt_图文

成才之路· 数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1

第三章
函数的应用

第三章

函数的应用

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第三章
3.2 函数模型及其应用

第三章

函数的应用

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第三章
3.2.1 几类不同增长的函数模型

第三章

函数的应用

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课前自主预习 基础巩固训练 方法警示探究 思路方法技巧

能力强化提升
建模应用引路

第三章

3.2

3.2.1

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课前自主预习

第三章

3.2

3.2.1

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温故知新
(0,+∞) 上是 1.对数函数 f(x)=log2x,在其定义域____________ 增 (填“增”或“减”)函数. ____

1x 2.已知函数 f(x)与 g(x)=(2) 的图象关于 y 轴对称,则满
(0,+∞) . 足 f(x)>1 的 x 的取值范围____________

第三章

3.2

3.2.1

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3.

某地的水电资源丰富,并且得到了电费 y(元 ) 与用电量 x(度)之间的函数关系如图所示:则月用电量为 100 度时,应
60 元. 交电费______

第三章

3.2

3.2.1

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新课引入 1859 年,有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲,由于澳洲 的牧草茂盛,而且没有天敌,兔子的数量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的 兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了大量的牧草,草原的 载畜率大大降低,这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种 方法消灭这些兔子,但一直没有多大效果,直到 20 世纪 50 年代,科学家采用一种叫载液瘤的病毒杀死了百分之九十的 野兔,澳大利亚人才算松了一口气.
第三章 3.2 3.2.1

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自主预习
一次函数模型、正比例 1.我们常见的几种函数模型为_____________
二次函数模型、指数函数模型 、 函数和反比例函数模型、______________________________
对数函数模型、幂函数模型 、分段函数模型. _________________________

2.指数函数、对数函数和幂函数模型

第三章

3.2

3.2.1

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函数 性质 图象 单调性

y=a (a>1)

x

y= logax(a>1)

y=xn(n>0)

递增

递增

递增

第三章

3.2

3.2.1

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增长速度

越来越快

越来越慢

n>1,越来越快; 0<n<1,越来越慢

图象变化

随 x 的增大 随 x 的增大 n>1 时,越来越陡; 逐渐变陡 逐渐变缓 0<n<1 时,越来越缓

结论

总会存在一个 x0, 使得当 x>x0 时, 就有 logax<xn<ax

第三章

3.2

3.2.1

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3.指数函数、对数函数、幂函数的衰减差异 对于函数 y=ax(0<a<1), y=xn(n<0), y=logax(0<a<1)在(0, +∞)上尽管都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在 同一个“档次”上. 随着 x 的增大, 函数 y=ax(0<a<1)的衰减速度会越来越慢, 并且远远小于函数 y=xn(n<0)的衰减速度, 但是它们的函数值 始终大于 0;而对于函数 y=logax(0<a<1),衰减速度也是越来 越慢,并且当 x>1 时,函数值小于 0,会越来越小. 因此, 总会存在一个 x0, 使得当 x>x0 时, 就有 logax<xn<ax.
第三章 3.2 3.2.1

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思路方法技巧

第三章

3.2

3.2.1

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1
[例 1] 表:
x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 2 5 26 32 10 4.322

考查函数模型的增长差异

四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下

10 101

15 226

20 401

25 626

30 901

1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 5.322 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907

第三章

3.2

3.2.1

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学法指导:对于三种函数增长的几点说明: (1)对于幂函数 y=xn,当 x>0,n>0 时,y=xn 才是增函 数,当 n 越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是 a>1,又它们的图 象关于 y=x 对称,从而可知,当 a 越大,y=ax 增长越快;当 a 越小,y=logax 增长越快,一般来说,ax>logax(x>0,a> 1).

第三章

3.2

3.2.1

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(3)指数函数与幂函数,当 x>0,n>0,a>1 时,可能开 始时有 xn>ax,但因指数函数是爆炸型函数,当 x 大于某一个 确定值 x0 后,就一定有 ax>xn.

第三章

3.2

3.2.1

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[例 1] 下面是 f(x)随 x 的增大而得到的函数值表: x 1 2 3 4 5 6 2x 2 4 8 16 32 64 x2 1 4 9 16 25 36 2x+7 9 11 13 15 17 19 log2x 0 1 1.585 2 2.322 2.585

第三章

3.2

3.2.1

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x 7 8 9 10

2x 128 256 512 1 024

x2 49 64 81 100

2x+7 21 23 25 27

log2x 2.807 3 3.170 3.322

试问:(1)随着 x 的增大,各函数的函数值有什么共同的 变化趋势? (2)各函数增长速度快慢有什么不同?
第三章 3.2 3.2.1

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[解析]

(1)随着 x 的增大,各函数的函数值都在增大.

(2)由图表可以看出:各函数增长速度快慢不同,其中 f(x) =2x 的增长速度最快,而且越来越快;其次为 f(x)=x2,增长 的幅度也在变大;而 f(x)=2x+7 增长速度不变;增长速度最 慢的是 f(x)=log2x,而且增长的幅度越来越小.

第三章

3.2

3.2.1

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四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表: x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901

1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 40 6.322 50 6.644 60 6.907

2 4.322 5.322 5.907

关于 x 呈指数函数变化的变量是________.

[答案]

y2
第三章 3.2 3.2.1

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[分析]

从表格观察函数值 y1,y2,y3,y4 的增加值,哪

个变量的增加值最大,则该变量关于 x 呈指数函数变化.

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.

从表格中可以看出,四个变量 y1,y2,y3,y4 均是从 2 开 始变化,变量 y1,y2,y3,y4 都是越来越大,但是增长速率不 同,其中变量 y2 的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可 知变量 y2 关于 x 呈指数函数变化.

第三章

3.2

3.2.1

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规律总结:解决本题的关键是如何确定变量间的关系 是指数函数关系, 不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值, 还要看函数值的变化趋势.

第三章

3.2

3.2.1

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2
[例 2]

综合运用题
函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象如右图所示.设

两函数的图象交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2.

第三章

3.2

3.2.1

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(1)请指出图中曲线 C1,C2 分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断 f(6),g(6),f(2 011),g(2 011)的 大小. [分析] (1)随着自变量 x 的增大, 图象位于上方的函数是

指数函数 y=2x,另一个函数就是幂函数 y=x3.

第三章

3.2

3.2.1

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[解析] =2x.

(1)C1 对应的函数 g(x)=x3,C2 对应的函数为 f(x)

(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), ∴1<x1<2,9<x2<10, ∴x1<6<x2,2 011>x2.

第三章

3.2

3.2.1

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从图象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6). 当 x>x2 时,f(x)>g(x), ∴f(2 011)>g(2 011). 又 g(2 011)>g(6),∴f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6).

第三章

3.2

3.2.1

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函数 f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1 的图象如图所示.

第三章

3.2

3.2.1

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(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1,C2 分别对应的函 数; (2) 比较两函数的增长差异 ( 以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较).

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

(1)C1 对应的函数为 g(x)=0.3x-1,C2 对应的函

数为 f(x)=lgx. (2)当 x<x1 时,g(x)>f(x);当 x1<x<x2 时,f(x)>g(x);当 x>x2 时,g(x)>f(x).

第三章

3.2

3.2.1

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建模应用引路

第三章

3.2

3.2.1

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3
[例 3]

函数模型的选择
某皮鞋厂今年 1 月份开始投产, 并且前 4 个月的

产量分别为 1 万双,1.2 万双,1.3 万双,1.37 万双.由于产 品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销 员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以 后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟 练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假 如你是厂长,就月份 x,产量为 y 给出四种函数模型:y=ax

第三章

3.2

3.2.1

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+b,y=ax +bx+c,y=ax +b,y=abx+c,你将利用哪一 种模型去估算以后几个月的产量? [分析] 本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确

2

1 2

定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

由题意, 知将产量随时间变化的离散量分别抽象

为 A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这 4 个数据. (1)设模拟函数为 y=ax+b 时, 将 B,C 两点的坐标代入函数式,
? ?3a+b=1.3, 得? ? ?2a+b=1.2. ? ?a=0.1, 解得? ? ?b=1.

所以有关系式 y=0.1x+1. 由此可得结论为:在不增加工人和设备的条件下,产量 会每月上升 1 000 双,这是不太可能的.
第三章 3.2 3.2.1

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(2)设模拟函数为 y=ax2+bx+c 时, 将 A,B,C 三点的坐标代入函数式,得 ?a+b+c=1, ? ?4a+2b+c=1.2, ?9a+3b+c=1.3. ? ?a=-0.05, ? 解得?b=0.35, ?c=0.7. ?

所以有关系式 y=-0.05x2+0.35x+0.7. 结论为:由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双,比实际产 量少 700 双,而且由二次函数性质可知,产量自 4 月份开始 将每月下降(图象开口向下,对称轴为 x=3.5),不合实际.

第三章

3.2

3.2.1

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(3)设模拟函数为 y=a x+b 时, 将 A,B 两点的坐标代入函数式,得
? ?a+b=1, ? ? ? 2a+b=1.2. ? ?a=0.2? 2+1?, 解得? ? ?b=0.8-0.2 2.

所以有关系式为 y=0.48 x+0.52. 结论为:当把 x=3 和 4 代入关系式,分别得到 y=1.35 和 y=1.48,与实际产量差距较大.

第三章

3.2

3.2.1

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(4)设模拟函数为 y=abx+c 时, 将 A,B,C 三点的坐标代入函数式,得 ?ab+c=1,① ? 2 ?ab +c=1.2,② ?ab3+c=1.3.③ ? 由①,得 ab=1-c,代入②③,得
? ?b?1-c?+c=1.2, ? 2 ? ?b ?1-c?+c=1.3.

第三章

3.2

3.2.1

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? ?c=1.2-b, 1-b ? 则? 2 1.3 - b ? c= 2 . ? 1-b ?

? ?b=0.5, 解得? ? ?c=1.4.

1-c 则 a= b =-0.8. 所以有关系式 y=-0.8×0.5x+1.4. 结论为:当把 x=4 代入得 y=-0.8×0.54+1.4=1.35.

第三章

3.2

3.2.1

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比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小, 又要考虑生产的实际,如:增产的趋势和可能性.经过筛选, 以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建, 随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显 上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋 于稳定,而指数函数模型恰好反映了这种趋势. 因此选用指数函数 y=-0.8×0.5x+1.4 模拟比较接近客 观实际.

第三章

3.2

3.2.1

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规律总结:本题是对数据进行函数模拟,选择最符合客 观实际的模拟函数.一般思路为:先画出散点图,然后作出 模拟函数的图象,选择适当的几种函数模型后,再加以验 证.函数模型的建立是最大的难点,另外运算量较大,须借 助计算器或计算机进行数据处理,函数模型的可靠性与合理 性既需要数据检验,又必须符合实际.

第三章

3.2

3.2.1

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某个经营者把开始六个月试销,A,B 两种商品的逐月投 资与所获纯利润列成下表:

第三章

3.2

3.2.1

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投资 A 种商品金额(万元) 获纯利润(万元) 投资 B 种商品金额(万元) 获纯利润(万元)

1

2

3

4 2 4 1

5

6

0.65 1.40 1.85 1 2 3

1.84 1.40 5 6

0.25 0.49 0.76

1.26 1.51

第三章

3.2

3.2.1

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该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品,但不知 投入 A,B 两种商品各多少才最合算.请你帮助他制定一个资 金投入方案,使得该经营者可获得最大的利润.(结果保留两 个有效数字).

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在直角坐

标系中画出散点图:

第三章

3.2

3.2.1

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据此,可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的 对应关系.y=ax2+bx+c,①y=bx,②把 x1=1,y1=0.65; x2=2,y2=1.40;x3=3,y3=1.85 代入①式,解得 a=-0.15, b=1.2,c=-0.4,故前六个月所获纯利润关于月投资 A 商品 的金额的函数关系式可近似地用 y=-0.15x2+1.2x-0.4 表 示,再把 x=4,y=1 代入②式,解得 b=0.25,故前六个月所 获利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系可近似地用 y =0.25x 表示.设下月投资 A 种商品 x 万元,

第三章

3.2

3.2.1

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则投资 B 种商品为(12-x)万元, 可获纯利润 y=-0.15x2+1.2x - 0.4 + 0.25×(12 - x) = - 0.15x2 + 0.95x + 2.6 , 当 x = - 4×?-0.15?×2.6-0.95 0.95 ≈3.2 时, ymax= ≈4.1.故下 2×?-0.15? 4x?-0.15? 月分别投资 A,B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元,可获最大 纯 利润 4.1 万元.
2

第三章

3.2

3.2.1

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基础巩固训练

第三章

3.2

3.2.1

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1.下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( A.y=2x C.y=log3x
[答案] A

)

B.y=1 0000x D.y=x3

第三章

3.2

3.2.1

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2.某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍,那么该 工厂这一年中的月平均增长率是( 7 A. 11 C. 12 7-1 7 B. 12 D. 11 7-1 )

[答案] D

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

设每月增长率为 x,1 月份产量为 a, 则有 a(1+x)11 11 7,∴x= 11 7-1.

=7a,∴1+x=

第三章

3.2

3.2.1

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3 .如图所示曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势? ( )

A.一次函数 C.对数函数

B.幂函数 D.指数函数

[答案] B
第三章 3.2 3.2.1

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4.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上 年增长 10%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则 函数 y=f(x)的图象大致为( )

[答案]

D

[解析]

y=(1+10%)x.
第三章 3.2 3.2.1

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5.某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表: x y 1 1 2 2 3 5 … … )

下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( A.y=log2(x+1) C.y=2x-1
[答案] D

B.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1

[解析] 代入检验,排除 A、B、C,故选 D.

第三章

3.2

3.2.1

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6.某产品的总成本 y 万元与产量 x 台之间的函数关系式 是 y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为 25 万元, 则生产不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量 为( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台
[答案] C

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

不亏本,则 25x-3000-20x+0.1x2≥0,即 x2+

50x-30000≥0?(x-150)(x+200)≥0.

第三章

3.2

3.2.1

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7.四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表:
x y1 y2 y3 y4 1 5 5 5 5 5 130 94.478 30 2.3107 10 505 1785.2 55 1.4295 15 1130 33733 80 1.1407 20 2005 6.37×105 105 1.0461 25 3130 1.2×107 130 1.0151 30 4505 2.28×108 155 1.005

关于 x 呈指数型函数变化的变量是__________.

[答案] y2.

第三章

3.2

3.2.1

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8. 我们知道, 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬. 研 究燕子的科学家发现, 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v O =5log2 ,单位是 m/s,其中 O 表示燕子的耗氧量. 10 (1)计算,当燕子静止时的耗氧量是多少单位? (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时, 它的飞行速度是 多少?

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

(1)由题意,当燕子静止时,它的速度 v=0,代

O 入题给公式得 0=5log210,解得 O=10 个单位. (2)将耗氧量 O=80 代入题给公式得 80 v=5log210=5log28=15m/s.

第三章

3.2

3.2.1

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能力强化提升(点此链接)

第三章

3.2

3.2.1


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