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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练 专题12 空间中的平行与垂直(含解析)


【走向高考】 (全国通用)2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题 强化练 专题 12 空间中的平行与垂直

一、选择题 1.(2015·银川市质检)若 α ,β 是两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则 “α ⊥β ”是“m⊥β ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 若 α ⊥β ,m? α ,则 m 与 β 平行、相交或 m? β 都有可能,所以充分性不 成立;若 m⊥β ,m? α ,则 α ⊥β ,必要性成立,故选 B. [方法点拨] 应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时,必须按照定理的要 求找足条件. 2.(2015·东北三校二模)已知 a,b,m,n 是四条不同的直线,其中 a、b 是异面直线, 则下列命题正确的个数为( ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

①若 m⊥a,m⊥b,n⊥a,n⊥b,则 m∥n; ②若 m∥a,n∥b,则 m,n 是异面直线; ③若 m 与 a,b 都相交,n 与 a,b 都相交,则 m,n 是异面直线. A.0 C.2 [答案] B [解析] 对于①,过直线 a 上一点 O 作直线 a1∥b,则直线 a,a1 确定平面 α ,因为 m ⊥a,m⊥a1,所以 m⊥α ,同理 n⊥α ,因此 m∥n,①正确;对于②,m,n 也可能相交,② 错误;对于③,在直线 a 上取点 A,过 A 作直线 m、n 与 b 相交,满足③的条件,因此 m,n 可能相交,③错误.综上所述,其中正确的命题的个数是 1,故选 B. 3.(文)设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,若已知 m⊥n,m⊥α , 则“n⊥β ”是“α ⊥β ”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 [答案] A ) B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.1 D.3

1

[解析] m⊥α ? ? ?? n∥α 或n? α ? m⊥n ?

n⊥β
α ⊥β ? ? ?? m∥β 或m? β ? m⊥α ?

? ?? α ⊥β . ?

m⊥n

? ?? / n⊥β . ?

(理)已知 m、n 为两条不同的直线,α 、β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) A.m∥n,m⊥α ? n⊥α B.α ∥β ,m? α ,n? β ? m∥n C.m⊥α ,m⊥n? n∥α D.m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ? α ∥β [答案] A [解析] 由线面垂直的性质定理知 A 正确;如图 1 知,当 m1? β ,m1∩n=A 时满足 B 的条件,但 m 与 n 不平行;当 m⊥α ,m⊥n 时,可能有 n? α ;如图 2 知,m∥n∥l,α ∩β =l 时满足 D 的条件,由此知 D 错误.

4.(2014·辽宁理,4)已知 m、n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是 ( ) A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n C.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α [答案] B [分析] 本题考查空间中平行关系与垂直关系. 依据线面位置关系的定义及判定性质定 理求解. [解析] 对于 A,m∥α ,n∥α ,则 m、n 的关系是平行,相交,异面,故 A 不正确; 对于 B,由直线与平面垂直的定义知正确; 对于 C,n 可能在平面 α 内;

2

对于 D,n? α ,n 与 α 斜交,n⊥α ,n∥α 都有可能. [点评] 这类题目常借助于多面体(如正方体)进行判断, 实际解答时只要能确定选项即 可,不必逐一判断. [方法点拨] 解决空间点、 线、 面位置关系的组合判断题, 主要是根据平面的基本性质、 空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断, 必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论 不能完全移植到立体几何中. 5.(文)(2015·太原市一模)已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 是( )

A. C.

3 3 4 3 3

B. D.

2 3 3 5 3 3

[答案] C [解析] 由三视图知,该几何体是如图所示的四棱锥 P-ABCD,其中底

面 ABCD 是正方形,侧面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD,故其体 1 2 4 3 积 V= ×2 × 3= . 3 3 (理)(2015·安徽文,9)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表 面积是( )

A.1+ 3

B.1+2 2
3

C.2+ 3 [答案] C

D.2 2

[解析] 考查 1.几何体的三视图;2.锥体的体积公式. 由该几何体的三视图可知,该几何体的直观图如下图所示:

其中侧面 PAC⊥底面 ABC,且△PAC≌△BAC,由三视图中所给数据可知:PA=PC=AB=

BC = 2 ,取 AC 中点 O ,连接 PO , BO ,则 Rt △ POB 中, PO = BO = 1 ? PB = 2 ,∴ S =
1 6 1 ( · 2· )·2+( ·2·1)·2=2+ 3,故选 C. 2 2 2 6.(文)(2015·广东理,8)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 ( ) A.至多等于 3 C.等于 5 [答案] B [解析] n=4 时为正四面体,正四面体的四个顶点是两两距离相等的;n=5 时为四棱 锥,侧面为正三角形,底面为菱形,且对角线长与边长应相等,这不可能.因此空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值至多等于 4,故选 B. (理)(2015·海淀区期末)若空间中有 n(n≥5)个点,满足任意四点都不共面,且任意两 点的连线都与其余任意三点确定的平面垂直,则这样的 n 值( A.不存在 C.等于 5 [答案] C [解析] 当五点为正四面体的四个顶点和对称中心时, 符合任意四点都不共面和任意两 点的连线都与其余三点的连线所确定的平面垂直的条件,假设当 n≥6 时也满足题意,不妨 设其中的 6 个点为 A,B,C,D,E,F,则 AB⊥平面 CDE,AB⊥平面 CDF,又因为平面 CDF∩ 平面 CDE=CD,所以平面 CDF 与平面 CDE 重合,C,D,E,F 四点共面,与题意相矛盾,所以 B.有无数个 D.最大值为 8 ) B.至多等于 4 D.大于 5

n=5,故选 C.
7.(文)设 m、n 是不同的直线,α 、β 、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ①
? α ∥β ? ?? β ∥γ α ∥γ ? ?



α ⊥β ? ? ?? m⊥β m∥α ? ?
4



m⊥α ? ? ? ? α ⊥β ? m∥β ?
)



m∥n ? ? ?? m∥α ? n? α ?

其中,真命题是( A.①④ C.①③ [答案] C

B.②③ D.②④

[解析] ①正确,平行于同一个平面的两个平面平行;②错误,由线面平行、垂直定理 知:m 不一定垂直于 β ;③正确,由线面平行,垂直关系判断正确;④错误,m 也可能在 α 内.综上所述,正确的命题是①③,故选 C. (理)已知 A、B 是两个不同的点,m、n 是两条不重合的直线,α 、β 是两个不重合的平 面,给出下列 4 个命题:①若 m∩n=A,A∈α ,B∈m,则 B∈α ;②若 m? α ,A∈m,则 A ∈α ;③若 m? α ,m⊥β ,则 α ⊥β ;④若 m? α ,n? β ,m∥n,则 α ∥β ,其中真命题 为( ) A.①③ C.②③ [答案] C [解析] ②∵m? α ,∴m 上的点都在平面 α 内,又 A∈m,∴A∈α ,∴②对;由二面 垂直的判定定理知,③正确. 8.(文)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内, 且 PA1=A1E,则点 P 运动形成的图形是( ) B.①④ D.②④

A.线段 C.椭圆的一部分 [答案] B

B.圆弧 D.抛物线的一部分

[解析] |AP|= A1P -AA1= A1E -A1B1=|B1E|(定值),故点 P 在底面 ABCD 内运动形 成的图形是圆弧. (理)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 CC1 的中点,P 在底面 ABCD 内运动,且满足∠DPD1 =∠CPM,则点 P 的轨迹为( )

2

2

2

2

5

A.圆的一部分 C.双曲线的一部分 [答案] A [解析] 由∠DPD1=∠CPM 得 = ∴

B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

MC DD1 2MC = , PC DP DP

PD =2, 在平面 ABCD 内, 以 D 为原点,DA、DC 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, PC

设 DC=1,P(x,y), 4 2 4 2 2 2 2 2 ∵PD=2PC,∴ x +y =2 x +?y-1? ,整理得 x +(y- ) = ,所以,轨迹为圆的 3 9 一部分,故选 A. 9.(文)已知 α 、β 是两个不同的平面,m、n 是两条不重合的直线,下列命题中正确 的是( )

A.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n B.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m⊥n D.若 α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,则 m⊥β [答案] C [解析] 对于选项 A,m,n 有可能平行也有可能异面;对于选项 B,n 有可能在平面 α 内,所以 n 与平面 α 不一定平行;对于选项 D,m 与 β 的位置关系可能是 m? β ,m∥β , 也可能 m 与 β 相交.由 n⊥β ,α ⊥β 得,n∥α 或 n? α ,又 m⊥α ,∴m⊥n,故 C 正确. (理)已知矩形 ABCD, AB=1, BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 在翻折过程中( )

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 [答案] B [解析] ①过 A、C 作 BD 的垂线 AE、CF,∵AB 与 BC 不相等,∴E 与 F 不重合,在空间 图(2)中,若 AC⊥BD,∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面 ACE,∴BD⊥CE,这样在平面 BCD 内,过点

6

C 有两条直线 CE、CF 都与 BD 垂直矛盾,∴A 错;②若 AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD,
∴AB⊥AC,∵AB<BC,∴存在这样的三角形 ABC,AB⊥AC,AB=AC,∴B 选项正确,∴选项 D 错;③若 AD⊥BC,又 CD⊥BC,∴BC⊥平面 ACD,∴BC⊥AC,∵BC>AB,这样的△ABC 不存在, ∴C 错误.

10.(文)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( A.2 C. 2 [答案] D [解析] 本题考查了正四棱柱的性质,点到直线距离的求解.连接 AC、BD,AC∩BD=O, 连接 EO,则 EO∥AC1.则点 C 到平面 BDE 的距离等于 AC1 到平面 BDE 的距离,过 C 作 CH⊥OE 于 H,CH 为所求.在△EOC 中,EC= 2,CO= 2,所以 CH=1.本题解答体现了转化与化归 的思想,注意等积法的使用. (理)已知四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,点 E 是侧棱 PB 的中点,则异面 直线 AE 与 PD 所成角的余弦值为( A. C. 1 3 3 3 ) B. D. 2 3 2 3 ) B. 3 D.1

[答案] C [解析] 设 AC 与 BD 的交点为 O,∵棱锥的各棱长都相等, ∴O 为 BD 中点,∴EO∥PD,∴∠AEO 为异面直线 AE 与 PD 所成的角,设棱长为 1,则 AO = 2 1 3 OE 3 2 2 2 ,EO= ,AE= ,∵AO +EO =AE ,∴cos∠AEO= = . 2 2 2 AE 3

二、填空题 11.a、b 表示直线,α 、β 、γ 表示平面.
7

①若 α ∩β =a,b? α ,a⊥b,则 α ⊥β ; ②若 a? α ,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α ⊥β ; ③若 α ⊥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 α ,则 a 不可能垂直于平面 α 内无数条直线; ⑤若 l? α ,m? α ,l∩m=A,l∥β ,m∥β ,则 α ∥β . 其中为真命题的是__________. [答案] ②⑤ [解析] 对①可举反例如图,需 b⊥β 才能推出 α ⊥β .对③可举 反例说明,当 γ 不与 α ,β 的交线垂直时,即可得到 a,b 不垂直; ④对 a 只需垂直于 α 内一条直线便可以垂直 α 内无数条与之平行的直 线.所以只有②⑤是正确的. 12.(文)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 底面是边长为 6的正三角形,侧棱垂直于底面,且该 三棱柱的外接球表面积为 12π ,则该三棱柱的体积为________. [答案] 3 3 [解析] 4π R =12π ,∴R= 3,△ABC 外接圆半径 r= 2,∴柱高 h=2 R -r =2, ∴体积 V= 3 2 ×( 6) ×2=3 3. 4
2 2 2

(理)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 点 P 是线段 A1C1 上的动点, 则四棱锥 P-ABCD 的外接球半径 R 的取值范围是______________. 3? ?3 [答案] ? , ? 4 2 ? ? [ 解析 ] 当 P 为 A1C1 的中点时,设球半径为 R ,球心到底面 ABCD 距离为 h ,则 3 3 ,∴R= ,当 P 与 A1(或 C1)重合时,外接球就是正方体的外接球,R= , 4 2

R+h=1 ? ? ? 2 2 1 R -h = ? 2 ?

3 3 ∴R∈[ , ]. 4 2 三、解答题 13.(文)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形,M、

N、G 分别是棱 CC1、AB、BC 的中点.且 CC1= 2AC.
(1)求证:CN∥平面 AMB1; (2)求证:B1M⊥平面 AMG. [证明] (1)如图取线段 AB1 的中点 P,连接 NP、MP,

8

1 ∵CM 綊 BB1, 2

NP 綊 BB1,
∴CM 綊 NP, ∴四边形 CNPM 是平行四边形. ∴CN∥MP. ∵CN?平面 AMB1,MP? 平面 AMB1, ∴CN∥平面 AMB1. (2)∵CC1⊥平面 ABC, ∴平面 CC1B1B⊥平面 ABC, ∵AG⊥BC,∴AG⊥平面 CC1B1B, ∴B1M⊥AG. ∵CC1⊥平面 ABC, 平面 A1B1C1∥平面 ABC, ∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1, 设 AC=2a,则 CC1=2 2a, 在 Rt△MCA 中,AM= CM +AC = 6a. 在 Rt△B1C1M 中,B1M= B1C1+C1M = 6a. ∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面 ABC,∴BB1⊥AB, ∴AB1= B1B +AB = C1C +AB =2 3a. ∵AM +B1M =AB1,∴B1M⊥AM. 又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面 AMG. (理)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,且 AB=BC=2,点 N 为
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

B1C1 的中点,点 P 在棱 A1C1 上运动.

(1)试问点 P 在何处时,AB∥平面 PNC,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下,若 AA1<AB,直线 B1C 与平面 BCP 所成角的正弦值为 10 ,求二面角 10

A-BP-C 的大小.
9

[解析] (1)当点 P 为 A1C1 的中点时,AB∥平面 PNC. ∵P 为 A1C1 的中点,N 为 B1C1 的中点,∴PN∥A1B1∥AB ∵AB?平面 PNC,PN? 平面 PNC,∴AB∥平面 PNC. (2)设 AA1=m,则 m<2,∵AB、BC、BB1 两两垂直, ∴以 B 为原点,BA、BC,BB1 为 x 轴、y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),

C(0,2,0),B1(0,0,m),A1(2,0,m),C1(0,2,m),
∴P(1,1,m),设平面 BCP 的法向量 n=(x,y,z), → → 则由 n·BP=0,n·BC=0,解得 y=0,x=-mz, → 令 z=1,则 n=(-m,0,1),又B1C=(0,2,-m), 直线 B1C 与平面 BCP 所成角正弦值为 ∴ 10 |n·B1C| = ,解之得 m=1 10 |n|·|B1C| 10 , 10

∴n=(-1,0,1) 易求得平面 ABP 的法向量 n1=(0,-1,1)

n·n1 1 1 cosα = = ,设二面角的平面角为 θ ,则 cosθ =- ,∴θ =120°. |n|·|n1| 2 2
[方法点拨] 1.要证线面平行, 先在平面内找一条直线与已知直线平行, 或找一个经过 已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明二线平行. 2.要证线线平行,可考虑公理 4 或转化为线面平行. 3.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转 化. 14.(文)(2015·东北三校二模) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 △ABC 为等边三角形,AB=4,AA1=5,点 M 是 BB1 的中点. (1)求证:平面 A1MC⊥平面 AA1C1C; (2)求点 A 到平面 A1MC 的距离. [解析] (1)证明:记 AC1 与 A1C 的交点为 E.连接 ME.

∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为等边三角形,AB=4,AA1=5,点 M 是 BB1 的中 点,

10

∴MA1=MA=MC1=MC=

89 . 2

因为点 E 是 AC1、A1C 的中点,所以 ME⊥A1C 且 ME⊥AC1, 从而 ME⊥平面 AA1C1C. 因为 ME? 平面 A1MC,所以平面 A1MC⊥平面 AA1C1C. (2)过点 A 作 AH⊥A1C 于点 H, 由(1)知平面 A1MC⊥平面 AA1C1C,平面 A1MC∩平面 AA1C1C=A1C, ∴AH⊥平面 AA1C1C ∴AH 即为点 A 到平面 A1MC 的距离. 在△A1AC 中,∠A1AC=90°,

A1A=5,AC=4,∴A1C= 41,∴AH=
20 41 即点 A 到平面 A1MC 的距离为 . 41

5×4 20 41 = 41 41

(理)(2015·邯郸市二模)如图,在等腰梯形 CDFE 中,A,B 分别为底边 DF,CE 的中点,

AD=2AB=2BC=2,沿 AE 将△AEF 折起,使二面角 F-AE-C 为直二面角,连接 CF,DF.

(1)证明:平面 ACF⊥平面 AEF; (2)求点 D 到平面 ACF 的距离. [解析] 在等腰梯形 CDFE 中,由已知条件可得,

CD=AC=AE=EF= 2,AF=AD=2,
所以,AE +EF =AF ,∴EF⊥EA;同理可证,DC⊥AC,AE⊥AC; 在四棱锥 F-AECD 中, ∵二面角 F-AE-C 为直二面角, ∴平面 AEF⊥平面 AECD, ∴EF⊥平面 AECD, ∵AC? 平面 AECD,∴AC⊥EF, 又∵AC⊥AE,∴AC⊥平面 AEF,∴平面 ACF⊥平面 AEF. (2)点 D 到平面 ACF 的距离即三棱锥 D-ACF 的高, 因为 VD-ACF=VF-ACD,AB=BC=1, 所以 AC= 2,AF=2 且 AC⊥AF,
2 2 2

11

1 所以 S△ACF= × 2×2= 2 2 又因为 AC=CD= 2且 AC⊥CD 1 所以 S△ACD= × 2× 2=1,EF= 2. 2 1 1 所以 × 2×d= ×1× 2,所以 d=1. 3 3 [方法点拨] 解决与折叠有关的问题, 关键是搞清折叠前后的位置与数量关系的变化量 与不变量,对比找出平面图形与折叠后的空间图形之间的对应关系. 15.(文)(2015·河南省高考适应性测试)如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,AC=6,BC=3, ∠ABC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上,CE=4.如图 2 所示,将△BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD⊥平面 ACD,连接 AB.

(1)求证:DE⊥平面 BCD; (2)求三棱锥 A-BDE 的体积. [解析] (1)在图 1 中,

∵AC=6,BC=3,∠ABC=90°,∴∠ACB=60°. 因为 CD 为∠ACB 的平分线,所以∠BCD=∠ACD=30°, ∴CD=2 3 ∵CE=4,∠DCE=30°,∴DE=2. 则 CD +DE =EC ,所以∠CDE=90°,DE⊥DC. 又因为平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩平面 ACD=CD,DE? 平面 ACD, 所以 DE⊥平面 BCD. (2)在图 2 中,作 BH⊥CD 于 H,因为平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩平面 ACD=CD,
2 2 2

12

BH? 平面 BCD,所以 BH⊥平面 ACD.
3 在图 1 中,由条件得 BH= 2 所以三棱锥 A-BDE 的体积

VA-BDE=VB-ADE= S△ADE·BH= × ×2×2sin120°× =

1 3

1 3

1 2

3 2

3 . 2

(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模) 如图, 圆柱的轴截面 ABCD 是正方 形,点 E 在底面的圆周上,BF⊥AE,F 是垂足. (1)求证:BF⊥AC; (2)若 CE=1,∠CBE=30°,求三棱锥 F-BCE 的体积. [解析] (1)证明:∵AB⊥平面 BEC,CE? 平面 BEC,∴AB⊥CE ∵BC 为圆的直径 ∴BE⊥CE ∵BE? 平面 ABE,AB? 平面 ABE,BE∩AB=B ∴CE⊥平面 ABE ∵BF? 平面 ABE ∴CE⊥BF 又 BF⊥AE,且 CE∩AE=E ∴BF⊥平面 AEC,AC? 平面 AEC ∴BF⊥AC. (2)在 Rt△BEC 中,∵CE=1,∠CBE=30°,∴BE= 3,BC=2

又∵ABCD 为正方形,∴AB=2,∴AE= 7 ∴BF=

AB·BE 2 3 2 21 = = AE 7 7
2 2

∴EF= BE -BF =

12 3 7 3- = 7 7

1 1 1 ∴VF-BCE=VC-BEF= ·S△BEF·CE= · ·EF·BF·CE 3 3 2 1 1 3 7 2 21 3 = · · · ·1= . 3 2 7 7 7 [方法点拨] 线面、 线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起
13

着承上启下的桥梁作用, 依据线面、 面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这 类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找 一条直线与其中一个平面垂直, 若图中不存在这样的直线应借助添加中线、 高线等方法解决. 16.(文)(2015·山西太原市一模) 如图,在底面是正三角形的直 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=2,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)求点 A1 到平面 AB1D 的距离. [解析] (1)证明:连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD,

∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∴ABB1A1 是平行四边形, ∴O 是 A1B 的中点, ∵D 是 BC 的中点,∴OD∥A1C, ∵OD? 平面 AB1D,A1C?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D; (2)由(1)知,O 是 A1B 的中点, ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离等于点 B 到平面 AB1D 的距离, ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∴BB1⊥平面 ABC,∴平面 BCC1B1⊥平面 ABC,B1D= BB1+BD = 5. ∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC,∴AD⊥平面 BCC1B1, ∴AD⊥B1D, 设点 B 到平面 AB1D 的距离为 d,∵VB1-ABD=VB-AB1D, ∴S△ABD·BB1=S△AB1D·d, ∴d=
2 2

S△ABD·BB1 AD·BD·BB1 BD·BB1 2 5 = = = . S△AB1D AD·B1D B1D 5

2 5 ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离为 . 5 (理)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面

PAD⊥底面 ABCD,E 为 AD 的中点,M 是棱 PC 的中点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= 3.
(1)求证:PE⊥平面 ABCD; (2)求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值;
14

1 2

(3)求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值.

[解析] (1)∵PA=PD,E 为 AD 的中点,∴PE⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PE⊥平面 ABCD. (2)连接 EC,取 EC 中点 H,连接 MH,HB, ∵M 是 PC 的中点,H 是 EC 的中点,∴MH∥PE, 由(1)知 PE⊥平面 ABCD,∴MH⊥平面 ABCD, ∴HB 是 BM 在平面 ABCD 内的射影, ∴∠MBH 即为 BM 与平面 ABCD 所成的角.

1 ∵AD∥BC,BC= AD,E 为 AD 的中点,∠ADC=90°, 2 1 ∴四边形 BCDE 为矩形,又 CD= 3,∴EC=2,HB= EC=1, 2 1 3 又∵MH= PE= , 2 2 ∴△MHB 中,tan∠MBH= =

MH HB

3 , 2 3 . 2

∴直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值为

(3)由(2)知 CD∥BE,∴直线 BM 与 CD 所成角即为直线 BM 与 BE 所成角, 连接 ME,在 Rt△MHE 中,ME= 在 Rt△MHB 中,BM= 7 , 2 7 , 2

15

又 BE=CD= 3,∴△MEB 中, 4 4 BM2+BE2-ME2 21 cos∠MBE= = = , 2BM·BE 7 7 2× 2 × 3 7 7 +3-

∴直线 BM 与 CD 所成角的余弦值为

21 . 7

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