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第六届广东省大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专类)

( 密 封 线 内 不 答 题 ) …………………………………密………………………………………………………封……………………………………………线……………………………………

第六届广东省大学生数学竞赛试卷(高职高专类) 参考答案
一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)

学号

题号 答案

1 C

2 D

3 B

4 D

5 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1. 0 2. 0 3.

?
4

4. -8
1 ? 1

5.
?6

1

姓名

sin x ? (1 ? 2 x) 2 x sin x ………………………… 5 分 三、解:因为 (1 ? 2 x)

3

? 2 x) 所以 lim(1 x ?0

3 sin x

? lim(1 ? 2 x)
x ?0

1 1 ? ?6 2 x sin x

…………………………8 分

=e 6 ………………………… 10 分
四、解:由于 f ( x) ?

x ?1 3 2 ? ? x ? 3x ? 2 x ? 2 x ? 1
2

……………………3 分

班级

f ( n ) ( x) ? 3(

1 (n) 1 (n) ) ? 2( ) ………………………… 5 分 x?2 x ?1

? ? 3 2 ………………………… 10 分 ? (?1) n n ! ? ? n ?1 n ?1 ? ( x ? 1) ? ? ( x ? 2)
五、解:由乘积导数公式及复合函数导数公式

( x ln ln x)? ? ln ln x ? x
所以 (ln ln x ? 六、解

1 1 1 ………………………… 7 分 ? ln ln x ? ln x x ln x

?

1 )dx. = x ln ln x +C………………………… 10 分 ln x

由洛必达法则,

学院

原式 ? lim
x?2

? ??
x 2

2

t

e ? u du dt
2

2

?

( x ? 2)

…………… 4 分

? lim
x?2

?

2

x

e ? u du

2

( x ? 2) 2

…………… 7 分

第 1 页 共 2 页

?e ? x 1 ? ?? 4 2 2e
七、证明:由 x ? 0 时的麦克劳林公式,

2

…………… 10 分

f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?

f ??(? ) 2 x 2!

……………… 4 分 …………… 8 分 …………… 10 分 ……………… 4 分 ………………… 8 分

由已知, f (0) ? 0, f ?(0) ? 1, f ??( x) ? 0, 故 f ( x) ? x ?

f ??(? ) 2 x ? x 成立. 2!
2

八、证明:作辅助函数 F ( x) ? f ( x) ? ( x ? x ? 1),

则F (0) ? F (1) ? 0,由罗尔定理存在?1使得 F ?(?1 ) ? 0(0 ? ?1 ? 1), 又F ?(1) ? 0,由罗尔定理存在? 使得 F ??(? ) ? 0(?1 ? ? ? 1), 即F ??(? )=f ??(? ) ? 2 ? 0 所以f ??(? )=2, ? ? (0,1)

………………… 10 分 九、解:设切点 P ( x0 , y0 ), 切线方程y ? y0 ? 2 x0 ( x ? x0 ) ………………………… 2 分

x0 2 ,0),交直线x=1于点B(1,2x0 -x0 ), 2 ………………………… 6 分 x0 1 2 则S ? (1 ? )(2x0 -x0 ), 0 ? x0 ? 1 2 2 交x轴于点A(
3 2 2 x0 ? 0 ? x0 ? , x0 ? 2(舍) ………………………… 8 分 4 3 2 2 8 …………… ? S??( )=-1<0,? S ( ) ? 为极大值,故为所有三角形中面积最大者。 3 3 27 令S?=1-2x0 ?
…………… 10 分

第 2 页 共 2 页


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