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2011年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷(精校版)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学 I
参考公式: 参考公式:
(1)样本数据 x1 , x2 ,L , xn 的方差 s =
2

1 n 1 n 2 ,其中 x = ∑ xi ∑ ( xi ? x) n i =1 n i =1

(2)直柱体的侧面积 S = ch ,其中 c 为底面周长, h 为高 (3)柱体的体积公式 V = Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 ........ 1.已知集合 A = {?1,1, 2, 4}, B = {?1, 0, 2} ,则 A I B = .

Read a,b If a > b Then 2.函数 f ( x ) = log 5 (2 x + 1) 的单调增区间是 . m←a Else 3. 设复数 z 满足 i( z +1) = ?3 + 2i(i 为虚数单位) 则 z 的实部是 , . m←b End If 4.根据如图所示的伪代码,当输入 a, b 分别为 2,3时,最后输出的 m 的 Pr int m
值为 . (第 4 题)

5.从 1, 2,3, 4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 . 6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5, 则该组数据的方差 S = 6, .
2

7.已知 tan( x +

π
4

) = 2 ,则

tan x 的值为 tan 2 x



8.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x ) = 点,则线段 PQ 长的最小值是 . . 9. 函数 f (x) = Asin(ωx +?)( A, ω , ? 为常数,A > 0,ω > 0 ) 的部分图象如图所示,则 f (0) 的值是

2 的图象交于 P, Q 两 x

ur uu r 2 10 . 已 知 e1 , e2 是 夹 角 为 π 的 两 个 单 位 向 量 , 3 r ur r ur uu r r ur uu r a = e1 ? 2 e2 , b = k e1 + e2 , , a ?b = 0 , 若 则实数 k 的
值为 .

? 2 x + a, x < 1 11.已知实数 a ≠ 0 ,函数 f ( x ) = ? ,若 f (1 ? a ) = f (1 + a ) ,则 a 的值 ? ? x ? 2 a, x ≥ 1
为 .

第9题图

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f ( x) = e ( x > 0) 的图象上的动点,该图象在
x

点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M ,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N ,设线段 MN 的中点 的纵坐标为 t ,则 t 的最大值是 .

13.设 1 = a1 ≤ a2 ≤ L ≤ a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a 6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 14.设集合 A = {( x, y) | .

m ≤ ( x ? 2)2 + y2 ≤ m2 , x, y ∈ R}, B = {( x, y ) | 2m ≤ x + y ≤ 2m + 1, 2


x, y ∈ R} ,若 A I B ≠ ? ,则实数 m 的取值范围是
说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 14 分 ) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 .......

) = 2 cos A ,求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A = , b = 3c ,求 sin C 的值。 3
16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAD ⊥ 平 面

(1)若 sin( A +

π

ABCD, AB = AD, ∠BAD = 600 , , F 分别是 AP, AD 的中点. E 求证: (1)直线 EF / / 平面 PCD (2)平面 BEF ⊥ 平面 PAD
17. (本小题满分 14 分) ABCD 是边长为 60cm 的 请你设计一个包装盒, 如图所示, 正方形硬纸片,切去阴影部分的所示的四个全等的等腰直角三 角形,再沿虚线折起,使得 A, B, C , D 四个点重合于图中的点

(第16题图)

P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, E , F 在 AB 上,是被切去的一 个等腰直角三角形斜边的两端点,设 AE = FB = x (cm)
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S (cm 2 ) 最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V (cm3 ) 最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值。 D C

60

A

x

E

F x

B

(第17题图)

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 + = 1 的顶点,过坐标原点 4 2 直线交椭圆于 P, A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,连结 AC 并延长交椭圆于点 B ,设直线 PA 的斜率为 k , (1)若直线 PA 平分线段 MN ,求 k 的值; (2)当 k = 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离; (3)对任意 k > 0 ,求证: PA ⊥ PB
如图,在平面直角坐标系 xOy 中, M , N 分别是椭圆

(第 18 题图) 19. (本小题满分 16 分) 已知 a, b 是实数,函数 f (x) = x3 + ax , g ( x ) = x 2 + bx , f ′( x ) 和 g ′( x ) 分别是 f ( x ) 和 g ( x) 的导函数,若 f ′( x) ? g ′( x) ≥ 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上 单调性一致 (1)设 a > 0 ,若 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 [ ?1, +∞) 上单调性一致,求 b 的取值范围; (2) a < 0 且 b ≠ 0 , f ( x ) 和 g ( x ) 在以 a, b 为端点的区间上单调性一致, | a ? b | 设 若 求 的最大值。

20. (本小题满分 16 分) 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 = 1 ,前 n 项的和为 Sn ,已知对任 意的整数 k ∈ M ,当整数 n > k 时, S n + k + S n ? k = 2( S n + S k ) 都成立 (1)设 M = {1}, a2 = 2 ,求 a5 的值; (2)设 M = {3, 4} ,求数列 {an } 的通项公式。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学 II(附加题) 附加题)
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作 ................... 答, . 若多做,则按作答的前两题评分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 几何证明选讲( 如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A ,其半径分别为 r1 与 r2 ( r1 > r2 ) , 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上) , 求证: AB : AC 为定值。

第21-A图

矩阵与变换( B. 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 A = ?

?1 1? ?1 ? 2 ? ,向量 β = ? 2 ? ,求向量 α ,使得 A α = β . 2 1? ? ? ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 坐标系与参数方程( 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ?

? x = 5cos ? ( ? 为参数)的右焦点且与直线 ? y = 3sin ?

? x = 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 ? ?y = 3?t
D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) . 不等式选讲( 解不等式: x + | 2 x ? 1|< 3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 ........ 文字说明、证明过程或演算步骤。http://www.mathedu.cn

22. (本小题满分 10 分) 本小题满分 如图,在正四棱柱 ABCD ? ABC1D 中, AA1 = 2, AB = 1 ,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 1 1 1

CC1 上,设二面角 A1 ? DN ? M 的大小为 θ
(1)当 θ = 90 时,求 AM 的长;
0

(2)当 cos θ =

6 时,求 CM 的长。 6

第22题图
23. 本小题满分 10 分) (

P 其中 a, b ∈ {1, 2, 3, L , n}, a > b 设整数 n ≥ 4 , ( a, b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,
(1)记 An 为满足 a ? b = 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn

1 3


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