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定比分点的向量公式及应用


定比分点的向量公式及应用
浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙 定比分点的向量公式:在平面上任取一点 O,设 OP1 ? a ,OP2 ? b ,若 P 1 P ? ? PP 2 , 则 OP ?

1 ? a? b。 1? ? 1? ?
1 1 a? b。 2 2

特别地,当 ? ? 1 时,即 P 为线段 P1 P2 的中点,则有 OP ?

用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比 ? 的值: 例 1:已知 A( 2,1 ) ,B( 3,?1 )及直线 l : y ? 4 x ? 5 ,直线 AB 与 l 相交于 P 点,求 P 点分 AB 的比 ? 。 解:设 P( x, y ) ,则由 AP ? ? PB ,得

1 ? 1 ? 3? 1 ? ? (2,1) ? (3,?1) ? ( , ), 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 又∵P 点在直线 l 上, 1 ? ? 4(1 ? 3? ) ∴ ? ? 5, 1? ? 1? ? 1 ∴? ? 。 3 ( x, y) ?
例 2:如图所示,在 ?ABC 中,D 为边 BC 上的点,且 BD ? k DC ,E 为 AD 上的一 点,且 DE ? l EA ,延长 BE 交 AC 于 F,求 F 分有向线段 CA 所成的比 ? 。 解:∵ CF ? ? FA ,∴ BF ?

1 ? BC ? BA , 1? ? 1? ? 1 l 又 DE ? l EA ,∴ BE ? BD ? BA , 1? l 1? l k 而 BD ? k DC ? BC , 1? k
∴ BE ?

A F E B D C

k l BC ? BA , (1 ? l )(1 ? k ) 1? l

∵B、E、F 共线,∴设 BE ? t BF ,而 t BF ? ∴

t ?t BC ? BA 1? ? 1? ?

k l t ?t BC ? BA ? BC ? BA (1 ? l )(1 ? k ) 1? l 1? ? 1? ?

1

k ? t ? ? l (1 ? k ) ?1 ? ? (1 ? l )(1 ? k ) ∴? ,解得 ? ? 。 k ? ?t ? l ? ?1 ? ? 1 ? l
二、求直线上点的坐标 例 3:已知点 A(?1,?1) , B(2,5) ,点 C 为直线 AB 上一点,且 AC ? ?5BC ,求 C 点 的坐标。 分析:先求出 C 点分 AB 的 ? 的值,再利用定比分点的向量公式求出点 C 的坐标。 解:∵ AC ? ?5BC ,∴ ? ? 利用定比分点的坐标公式有

AC CB

? 5,

1 5 1 5 3 OC ? OA ? OB ? (?1,?1) ? (2,5) ? ( ,4) 。 6 6 6 6 2 3 ∴C 点的坐标为 ( ,4) 。 2 1 例 4:已知 A(2,3) , B(?1,5) ,且 AC ? AB , AD ? 3 AB ,求点 C,D 的坐标。 3
分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点 C,D 的坐标。 解:设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) , ∵ AC ?

AC 1 1 ? , AB ,∴ ?1 ? 3 CB 2

∴根据定比分点的向量公式有 OC ?

? 1 OA ? 1 OB , 1 ? ?1 1 ? ?2

1 2 1 11 ∴ ( x1 , y1 ) ? ? (2,3) ? 2 ? (?1,5) ? ? (2,3) ? ? (?1,5) ? (1, ) 1 1 3 3 3 1? 1? 2 2 1
同理由 AD ? 3 AB 得 ? 2 ?

AD DB

??

3 , 2

∴根据定比分点的向量公式有 OC ?

? 1 OA ? 1 OB , 1 ? ?1 1 ? ?2

3 ∴ ( x2 , y 2 ) ? ? (2,3) ? 2 ? (?1,5) ? ?2 ? (2,3) ? 3 ? (?1,5) ? (?7,9) 3 3 1? 1? 2 2 1 ?
2

∴点 C 的坐标为 (1, 三、证明三点共线

11 ) ,D 点的坐标为 (?7,9) 。 3

例 5:已知点 A(a, b ? c) , B(b, c ? a) , C (c, a ? b) ,求证:A、B、C 三点共线。 证明:设 C (c, y ) 在 AB 上, C 分 AB 的比为 ? ,则
/

/

OC / ?

1 ? 1 ? OA ? OB ? ( a, b ? c ) ? (b, c ? a) 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? a ? ?b ?a ? b ? ?c ? c ?( , ) 1? ? 1? ?

a ? ?b ? a?c ? c? ? ?? ? ? 1 ? ? ∴? ,解得 ? c?b ? ? y ? ?a ? b ? ?c ? c ?y ? a ? b ? 1? ? ?
∴ C (c, y ) 与 C (c, a ? b) 重合,
/

由题设知 C 在 AB 上, ∴A、B、C 三点共线。 四、求字母系数范围 例 6:已知点 A(3,3) , B(?1,5) ,一次函数 y ? kx ? 1 的图象与线段 AB 有公共点,求 实数 k 的取值范围。 解:设 P( x, y ) 为一次函数图象与线段 AB 的交点,把 P 看作 AB 的定比分点,其定比 为 ? ,则有 ? ? 0 , 由定比分点公式有

OP ?

1 ? 1 ? 3 ? ? 3 ? 5? OA ? OB ? (3,3) ? (?1,5) ? ( , ), 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

而 P 点在函数 y ? kx ? 1 图象上,

3 ? 5? 3?? ?k? ? 1, 1? ? 1? ? 3k ? 2 解得 ? ? , k?4 3k ? 2 2 ∴ ? 0 ,即 k ? 或 k ? ?4 , k?4 3 而当 P 点与 B 重合时, k ? ?4 也适合。 2 ∴ k ? ?4 或 k ? 。 3
∴ 例 7:若直线 y ? ?ax ? 2 与连接 P(?2,1) , Q(3,2) 两点的线段有公共点,求实数 a 的 取值范围。

3

解:当直线过 P 点时, a ?

3 4 ,直线过 Q 点时, a ? ? , 2 3

当直线与线段 PQ 的交点在 P、Q 之间时,设这个交点 M ( x, y ) 分 PQ 的比为 ? , 由定比分点公式有

1 ? 1 ? ? 2 ? 3? 1 ? 2? OP ? OQ ? (?2,1) ? (3,2) ? ( , ), 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? 2 ? 3? 1 ? 2? ∴M 点的坐标为 ( , ), 1? ? 1? ? OM ?
又∵直线过点 M,

1 ? 2? ? 2 ? 3? ? ?a ? ? 2, 1? ? 1? ? 2a ? 3 ∴? ? , 3a ? 4 又∵点 M 在线段 PQ 上知 ? ? 0 , 2a ? 3 4 3 ∴ ? 0 ,解得 a ? ? 或 a ? , 3a ? 4 3 2 4 3 ∴a ? ? 或a ? 。 3 2
∴ 五、解决平面几何问题: 例 8:如图所示,在平行四边形 ABCD 中,P 点在线段 AB 上,且

AP ? m ,Q 在线段 PB

AD 上,且

AQ PR 的值。 ? n ,BQ 与 CP 相交于 R,求 QD RC

分析:取两基底,由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来,再求解。 解:设 BA ? a , BC ? b , PR ? ? RC , ∴

PR ??, RC
P R

A

Q

D

由题意有 AP ? m PB , AQ ? nQD , 则 BP ?

B 1 1 1 PA ? BA ? a, m m ?1 m ?1 1 n 1 n n BQ ? BA ? BD ? a? ( a ? b) ? a ? b, 1? n 1? n 1? n 1? n 1? n

C

BR ?

1 ? 1 ? BP ? BC ? a? b, 1? ? 1? ? (1 ? ? )(1 ? m) 1? ?

又 B、R、Q 三点共线,∴存在实数 t 使 BQ ? t BR , ∴

t ?t n a? b?a? b, (1 ? ? )(1 ? m) 1? ? 1? n

4



t ?t n 。 ? 1 ,且 ? (1 ? ? )(1 ? m) 1? ? 1? n n PR n ,即 。 ? (1 ? m)(1 ? n) RC (1 ? m)(1 ? n)
AOB 斜 边 的 三 等 分 点 为 D 、 E 。 求 证

∴? ? 例

9 : 设 直 角 三 角 形

| OD | 2 ? | OE | 2 ? | DE | 2 ?

2 | AB | 2 。 3

分析:以 O 为原点, OA 为 x 轴正向建立直角坐标系,设 OA ? ( a,0) , OB ? (0, b) , 用 a , b 表示相关线段的长度,从而证明命题。 证明:以直角顶点 O 为原点,直角边 OA、OB 所在直 线为 x 轴, y 轴建立直角坐标系,如图 设点 A(a,0) ,点 B(0, b) , D( x, y ) 则 D 分 AB 的比为 ? ?
Y B E D O A X

1 , 2

∴由定比分点的向量公式得

1 ? OD ? OA ? OB ? 1? ? 1? ?
∴点 D 坐标为 ( a, b) 同理点 E 坐标为 ( a, b) , 由两点间距离公式,得

1 2 1 (a,0) ? 2 (0, b) ? ( a, b) 1 1 3 3 1? 1? 2 2 1

2 3

1 3

1 3

2 3

4a 2 b 2 a 2 4b 2 a2 b2 2 2 | OD | ? ? ? ? , | OE | ? , | DE | ? , 9 9 9 9 9 9
2

∴ | OD | ? | OE | ? | DE | ?
2 2 2

2 2 2 2 2 2 a ? b ? (a ? b 2 ) , 3 3 3

而 a ? b ?| AB | ,
2 2 2

2 | AB | 2 。 3 例 10:如图,已知 ?ABC ,求证: ?ABC 的三条中线 AD、 AG BG CG 2 BE、CF 相交于一点 G,且 ? ? ? 。 AD BE CF 3
∴ | OD | ? | OE | ? | DE | ?
2 2 2

A F E

G D

分析:几何问题应用向量来解决,关键是将有关线段设为 向量,可以在平面内任取一点 O 为向量的始点,将 OA 、 OB 、
B C

OC 设出。
5

证明:如图,在平面内任取一点 O,设 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,又设 G1 为 AD 上一点,且 AG1 ? 2G1 D ,则
A F E

1 2 OA ? OD 1? 2 1? 2 1 2 1 2 ? OA ? OD ? a ? OD 3 3 3 3 1 ∵D 为 BC 中点,∴ OD ? (b ? c) , 2 1 2 1 1 ∴ OG1 ? a ? ? (b ? c) ? (a ? b ? c) , 3 3 2 3 OG1 ?
同样,若设 BG2 ? 2G2 E , CG3 ? 2G3 F ,则可证得

G D

B

C O

1 1 OG2 ? (a ? b ? c) , OG3 ? (a ? b ? c) 3 3
∴ OG1 ? OG 2 ? OG3 ∴ G1 、 G 2 、 G3 三点重合。 设交点为 G,则有

AG BG CG 2 ? ? ? 。 AD BE CF 3

6


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