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[1]第25届全国中学生物理竞赛预赛试卷答案及评...


第 25 届全国中学生物理竞赛预赛卷
一、选择题.本题共 6 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项正确的,有的 小题有多项正确的.把正确的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得 6 分,选对 但不选全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1.如图所示,两块固连在一起的物块 a 和 b,质量分别为 ma 和 mb,放在 水平的光滑桌面上.现同时施给它们方向如图所示的推力 Fa 和拉力 Fb, 已知 Fa>Fb,则 a 对 b 的作用力 A.必为推力 C.可能为推力,也可能为拉力 B.必为拉力 D.可能为零 [ ] Fb b a Fa

2.用光照射处在基态的氢原子,有可能使氢原子电离,下列说法中正确的是 A.只要光的光强足够大,就一定可以使氢原子电离 B.只要光的频率足够高,就一定可以使氢原子电离 C.只要光子的能量足够大,就一定可以使氢原子电离 D.只要光照的时间足够长,就一定可以使氢原子电离 3.如图所示,一 U 形光滑导轨串有一电阻 R,放置在匀强的外磁场中,导 轨平面与磁场方向垂直.一电阻可以忽略不计但有一定质量的金属杆 ab 跨 接在导轨上,可沿导轨方向平移.现从静止开始对 ab 杆施加向右的恒力 F, 若忽略杆和 U 形导轨的自感,则在杆的运动过程中,下列哪种说法是正确 的? A.外磁场对载流杆 ab 作用力对 ab 杆做功,但外磁场的能量是不变的 B.外力 F 的功总是等于电阻 R 上消耗的功 C.外磁场对载流杆 ab 作用力的功率与电阻 R 上消耗的功率两者的大小是相等的 D.电阻 R 上消耗的功率存在最大值 4.如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两根相对容器位置固定的玻 璃管 a 和 b, 管的上端都是封闭的, 下端都有开口的, 管内被水各封有一定质量的气体. 平 衡时 a 管内的水面比管个的低,b 管内的水面比管个的高.现令升降机从静止开始加速 下降,已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内,且经历的过程可视为绝热过程,则在 此过程中 A.a 中的气体内能增加,b 中的气体内能减少 B.a 中的气体内能减少,b 中的气体内能增加 C.a、b 中气体内能都增加 D.a、b 中气体内能都减少 [ ] [ a b ] R b F a [ ]

5.图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管”,a、b、c、d 为其中四段竖直的部分,其中 a、d 上 端是开口的,处在大气中,管中的水银把一段气柱密封在 b、c 内,达到平衡时,管内水银面的位置如图 所示.现缓慢地降低气柱中气体的温度,若 c 中的水银上升了一小段高度 ?h,则

a b A.b 中的水银面也上升 ?h B.b 中的水银面也上升,但上升的高度小于 ?h C.气柱中气体压强的减少量等于高为 ?h 的水银柱所产生的压强 D.气柱中气体压强的减少量等于高为 2?h 的水银柱所产生的压强 6. 图中 L 是绕在铁心上的线圈, 它与电阻 R、 0、 R 电键和电池 E 可构成闭合回路. 线 圈上的箭头表示线圈中电流的正方向,当电流的流向与箭头所示的方向相同,该 电流为正,否则为负.电键 K1 和 K2 都处于断开状态.设在 t=0 时刻,接通电键 K1,经过一段时间,在 t=t1 时刻,再接通电键 K2,则能较正确在表示 L 中的电流 I 随时间 t 的变化的图线是下面给出的四个图中的哪个图? I 0 图1 A.图 1 B.图 2 t1 t I 0 图2 C.图 3 t1 t I 0 图3 D.图 4 t1 t I 0 图4 [ ] t1 t R0 R E K2 [ K1 ] c

d

L

二、填空题和作图题.把答案填在题中横线上或把图画在题指定的地方.只要给出结果,不需要写出求得 结果的过程. 7.(8 分)为了估算水库中水的体积,可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液,测得瓶内溶液每分钟衰变 6×107 次, 已知这种同位素的半衰期为 2 天. 现将这瓶溶液倒入水库, 天后可以认为已均匀分布在水库中, 8 这时取 1.0m3 水库中的水样,测得水样每分钟衰变 20 次.同此可知水库中水的体积为_________m3. 8.(8 分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯 L1、L2 和 L3, L2 与 L1 相距为 80m, L3 与 L1 相距 为 120m.每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是 20s,显示红色的时间间隔都是 40s, L1 与 L3 同时显示绿 色, 2 则在 L1 显示红色经历 10s 时开始显示绿色. L 规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过 150s. 若 有一辆匀速向前行驶的汽车通过 L1 的时刻正好是 L1 刚开始显示绿色的时刻,则此汽车能不停顿地通过三 盏信号灯的最大速率是_______m/s. 若一辆匀速向前行驶的自行车通过 L1 的时刻是 L1 显示绿色经历了 10s 的时刻,则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是_______m/s. 9.(8 分)位于水平光滑桌面上的 n 个完全相同的小物块,沿一条直线排列,相邻小物块间都存在一定的距 离.自左向右起,第 1 个小物块标记为 P1,第 2 个小物块标记为 P2,第 3 个小物块标记为 P3,……,最 后一个小物块即最右边的小物块标记为 Pn. 现设法同时给每个小物块一个方向都向右但大小各不相同的速 度,其中最大的速度记作 v1,最小的速度记作 vn,介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为 v2、v3、……、vn-1.若小物块发生碰撞时,碰撞都是弹性正碰,且碰撞时间极短,则最终小物块 P1、P2、 P3、……、Pn 速度的大小依次为______________________________________________________________.

10.(11 分)有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电, 一块带负电, 单位面积所带电荷量的数值相等. 现 把两带电平面正交放置如图所示.图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正电的平面和带负电的平面与纸面正交 的交线,O 为两交线的交点. (i) 试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电势)具 B2 -

有对称性的特点,并取 O 点作为电势的零点,在右面给的整个图 上画出电场(正、 负电荷产生的总电场)中电势分别为 0V、 1V、2V、 3V、?1V、?2V、?3V 的等势面与纸面的交线的示意图,并标出每 个等势面的电势. (ii) 若每个带电平面单独产生的电场是 E0=1.0V/m, 则求出(i)中相 邻两等势面间的距离 d=________. A2 + A1 O + B1

11.(10 分)一列简谐横波在 x 轴上传播(振动位移沿 y 轴).已知 x=12cm 处的质元的振动图线如图 1 所示, x=18cm 处的质元的振动图线如图 2 所示.根据这两条振动图线,可获得关于这列简谐横波的确定的和可 能的信息(如频率、波速、波长等)是哪些? 6 4 2 0 6 4 2 0

3

6

9 图1

12

15

18

t/s

3

6

9 图2

12

15

18

t/s

___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________ 12.(8 分)一座平顶房屋,顶的面积 S=40m2.第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖直方向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶,假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹,并立即流走.第二次气温在摄氏零下若干度, 而且是下冻雨, 也下了 24 小时, 全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留在屋顶上, 测得冰层的厚度 d=25mm. 已 知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9×102kg/m3.由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成冰对屋顶的压 力为_________N,第一次下雨过程中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为__________N.

13. 分)在示波器的 YY'偏转电极上, (10 加 电 压 u1=U0sin2πνt , 式 中 频 率 ν=50Hz.同时在示波器 XX'偏转电极上 加如图 1 所示的锯齿波电压 u2, 试在图 2 中画出荧光屏上显示的图线. 0 0.04 0.08 图1 0.12 t/s u2/V

如果由于某种原因,此图线很缓慢地向右移动,则其原因是____________________

图2

__________________________________________________________________________________________.

三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方和和重要的演算步骤.只写出最后结果的不能得分.有数值 计算的题,答案中必须明确写出数值和单位. 14.(14 分)一电流表,其内阻 Rg=10.0 ,如果将它与一阻值 R0=49990 的定值电阻串联,便可成为一量

程 U0=50V 的电压表.现把此电流表改装成一块双量程的电压表,两个量程分别为 U01=5V 和 U02=10V.当 用此电压表的 5V 挡去测一直流电源两端的电压时,电压表的示数为 4.50V;当用此电压表的 10V 挡去测 量该电源两端的电压时,电压表的示数为 4.80V.问此电源的电动势为多少?

15.(12 分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境.在地球表面附近,当飞 机模拟某些在重力作用下的运动时,就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态.现要求一架飞机在 v1=500m/s 时进入失重状态的试验, 在速率为 v2=1000m/s 时退出失重状态试验. 重力加速度 g=10m/s2 试问: (i) 在上述给定的速率要求下,该飞机需要模拟何重运动,方可在一定范围内任意选择失重的时间的长 短?试定量讨论影响失重时间长短的因素. (ii) 飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?

16.(12 分)假定月球绕地球作圆周运动,地球绕太阳也作圆周运动,且轨道都在同一平面内.已知地球表 面处的重力加速度 g=9.80m/s2, 地球半径 Re=6.37×106m, 月球质量 mm=7.3×1022kg, 月球半径 Rm=1.7×106m, 引力恒量 G=6.67×10-11N·m2·kg-2,月心地心间的距离约为 rem=3.84×108m. (i) 月球的月心绕地球的地心运动一周需多少天?

(ii) 地球上的观察者相继两次看到满月需多少天? (iii) 若忽略月球绕地球的运动,设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球,试估算火箭到达月球表面时 的速度至少为多少(结果要求两位数字)?

17.(12 分)如图所示,1 和 2 是放在水平地面上的两个小物块(可视为质点),与地面的滑动摩擦系数相同, m 现令它们分别以初速度 v1=10.00m/s 两物块间的距离 d=170.00m, 它们的质量分别为 m1=2.00kg, 2=3.00kg. 和 v2=2.00m/s 迎向运动,经过时间 t=20.0s,两物块相碰,碰撞时间极短,碰后两者粘在一起运动.求从刚 碰后到停止运动过程中损失的机械能. 1 2

18.(11 分)磅秤由底座、载物平台 Q、杠杆系统及砝码组成,如示为其等效的在竖直平面内的截面图.Q 是一块水平放置的铁板, 通过两侧的竖直铁板 H 和 K、 压在 E、 处的刀口上. B 杠杆系统由横杆 DEF、 ABCF 和竖杆 CF、MP 以及横杆 MON 组成.另有两个位于 A、D 处的刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、 B、A、D 在沿垂直于纸面的方向都有一定的长度,图中为其断面).C、F、M、N、O、P 都是是转轴,其 中 O 被位于顶部并与磅秤底座固连在支架 OL 吊住,所以转轴 O 不能发生移动.磅秤设计时,已做到当载 物平台上不放任何待称物品、游码 S 位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时,横梁 MON 处于水平状 态,这时横杆 DEF、ABCF 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的. 当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀 口增加的压力, 2 表示 E 处刀口增加的压力, W 由于杠杆系统的调节, 横梁 MON 失去平衡,偏离水平位置.适当增加砝码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置.待秤物品的重 量(质量)可由砝码数值及游码的位置确定.为了保证待秤物品放在 载物台上不同位置时磅秤都能显示出相同的结果,在设计时,AB、 DE、AC、DF 之间应满足怎样的关系? P H D F L M O S N G Q C K B A

19.(11 分)如图所示,一细长的圆柱形均匀玻璃棒,其一个端面是平面(垂直于轴线),另一个端面是球面, 球心位于轴线上.现有一根很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射.当光从平端面射入棒内时, 光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为 a;当光线从球形端面射入棒内时,光线在棒内与轴 线的的交点到球面的距离为 b.试近似地求出玻璃的折射率 n.

20.(13 分)光子不仅有能量,而且还有动量,频率为 ν 的光子能量为 hν,动量为

hν ,式中 h 为普朗克常 c

量,c 为光速.光子射到物体表面时将产生压力作用,这就是光压.设想有一宇宙尘埃,可视为一半径 R=10.0cm 的小球,其材料与地球相同,它到太阳的距离与地球到太阳的距离相等.试计算太阳辐射对此 尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力大小的比值.假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收.已知:地 球绕太阳运动可视为圆周运动,太阳辐射在单位时间内射到位于地地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的 单位面积上的辐射能 S=1.37×103W·m2,地球到太阳中心的距离 rec=1.5×1011m,地球表面附近的重力加速度 g=10m·s-2,地球半径 Re=6.4×106,引力恒量 G=6.67×10-11N·m2·kg-2.

21.(16 分)设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度为 B 的匀强磁场和 重力加速度为 g 的重力场.一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的质点在此空间运动,已知在运动过程中, 质点速度大小恒定不变. (i) 试通过论证,说明此质点作何运动(不必求出运动的轨迹方程).

(ii) 若在某一时刻, 电场和磁场突然全部消失, 已知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能(即 电场和磁场刚要消失时的动能)的一半, 试求在电场、 磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的 分量封存.

第 25 届全国中学生物理竞赛卷 参考解答与评分标准
一、选择题(36 分) 答案: 1.C、D, 评分标准: 每小题 6 分.全都选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题及作图题答案及评分标准: 7. 1.9×105 (8 分) 8. 2 (4 分)、 2.B、C, 3.A、C、D, 4.B, 5.A、D, 6.A.

12 13

(4 分)

9. vn、vn-1、…、v3、v2、v1. (8 分) 10. (i)如图所示(8 分) -3 B2 – -2 -1 0 1 2 3 A1 3 2 1 0 -1 -2 -3 A2 – (3 分) O B1

2 (ii) m 2

11.(1) 振幅 A=4cm (2 分) (2) 周期 T=12s,或频率 ν=

1 -1 s 12

(2 分)

2 cm·s-1 ,其他可能的传播速度为 3 2 24 vn = cm ? s ?1 ,n=1,2,3,…;此波可能的最大波长为 λ=8cm,其它可能波长为 λn = cm, 3 + 4n 3 + 4n
(3) 若波沿 x 轴方向转播,则此波可能的最大传播速度 vm= n=1,2,3,…(3 分) (4) 若波沿负 x 轴方向传播,则此波可能的最大传播速度 vm=2cm·s-1 , 其它可能的传播速度为

vn =

2 24 cm ? s ?1 ,n=1,2,3,…;此波可能的最大波长为 λ=24cm,其它可能波长为 λn = cm, 1 + 4n 1 + 4n
9×103 (2 分) 0.058 (6 分)

n=1,2,3,…(3 分) 12.

13.

(6 分) 锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的 2 倍,而是稍小一点.(4 分) 三、计算题 14. 参考解答: 设电流表的量程为 Ig,当电流表与定值电阻 R0 串联改装成电压表时,此电压表的内阻

′ R0 = Rg + R0
由于此电压表的量程 U0=50V,故有



′ I g R0 = U 0
由⑴、⑵两式得



Ig =
即电流表的量程为 1mA.

U0 50 = A = 10? 3 A Rg + R0 10 + 49990



电流表改装成双量程电压表的电路如图所示,图中 R1 和 R2 是为把电流表改装成双量程电压表必须串联的电 +

A

Rg

R1

R2

′ 阻,其值待求.用 R1 表示电压表量程 U01=5V 挡的内阻,
则有

5V

15V

′ R1 = Rg + R1




′ I g R1 = U 01
由⑶、⑸式得



′ R1 =

U 01 5 = ?3 ? = 5 × 103 ? I g 10



同理得电压表量程 U02=10V 挡的内阻

′ R2 = Rg + R1 + R2 =

U 02 10 = ?3 = 1.0 × 104 ? I g 10



设电源电动势为 E,内阻为 r,当用电压表量程为 5V 挡测电源两端的电压时,电压表的示数为 U1, 已知 U1=4.50V,设此时通过电流表的电流为 I1,有

U1 + I1r = E U1 = I1R1′

⑻ ⑼

当用电压表的 10V 挡测量该电源两端的电压时,电压表的示数为 U2,已知 U2=4.80V,设此时通过 电流表的电流为 I2,有

U 2 + I 2r = E ′ U 2 = I 2 R2

⑽ ⑾

解⑻、⑼、⑽、⑾式,并注意到⑹、⑺式得 E=5.14V 评分标准: 本题 14 分.⑶式 3 分,⑹式 2 分,⑺式 2 分,⑻式、⑼式、⑽式、⑾式共 4 分,⑿式 3 分。 15. 参考解答: (i) 当飞机作加速度大小为重力加速度 g,加速度的方向竖直向下的运动时,座舱内的试验者便处于完全 ⑿

失重状态.这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动,也可以是斜抛运动.当进 入试验速率和退出试验的速率确定后,飞机模拟前两种运动时,重时间长短都是一定的、不可选择的.当 飞机模拟无阻力下的斜抛运动时,失重时间的长短与抛射角有关,可在一不范围内进行选择. 考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动.设开始试验时飞机的初速 度大小为 v1,方向与水平方向成 θ 角,起始位置为 A 点,经做抛物线运 动在 B 点退出试验,如图所示.以 t 表示试验经历的时间,在退出试验 时的速率为 v2,则有 y v1 A θ x B v2

v2 x = v1 cos θ
v2 y = v1 sin θ ? gt

2 2 2 v2 = v2 x + v2 y

⑴ ⑵



由⑴、⑵、⑶式得
2 g 2t 2 ? 2v1gt sin θ + v12 ? v2 = 0



解⑷式得
2 v1 sin θ + v12 sin 2 θ + (v2 ? v12 ) t= g



由⑸式可知,当进入试验时,飞机的速度 v1 和退出飞机的速度 v2 确定以后,失重时间的长短可通过 θ 来调节.

(ii) 当 θ=90°时,失重时间最长,由⑸式可求得最长失重时间

tmax = 150 s
当 θ=-90°时,失重时间最短,由⑸式可求得最短失重时间



tmin = 50s
失重时间的调节范围在 50s 到 150s 之间. 评分标准: 本题 12 分



第(i)小问 8 分.指明斜抛运动得 2 分,求得⑸式并指出失重时间的长短可通过 θ 来调节得 6 分. 第(ii)小问 4 分.求得⑹式得 2 分,求得⑺式得 2 分. 16. 参考解答: (i) 月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动,设地球的质量为 me,月球绕地心作圆周运动的角速度为

ωm,由万有引力定律和牛顿定律有

G
另有

me mm = mm remωm 2 rem



G
月球绕地球一周的时间

me =g Re2



Tm =
解⑴、⑵、⑶三式得



ωm



Tm = 2π
代入有关数据得

3 rem gRe2



Tm = 2.37 × 106 s = 27.4天
(ii) 满月是当月球、 地球、 和太阳成一直线时才有的, 此时地球在月球和太阳之间,即图中 A 的位置.当第 二个满月时,由于地球绕太阳的运动,地球位置已运 A 地 月 月



′ 动到 A′ .若以 Tm 表示相继两次满月经历的时间, ωe
表示地球绕太阳运动的角速度,由于 ωe 和 ωm 的方向 相同,故有

A' 地

B

′ ′ ωmTm = 2π + ωeTm




ωm = ωe =

2π Tm 2π Te





式中 Te 为地球绕太阳运动的周期, Te = 365天 .由⑹、⑺、⑻三式得

′ Tm =
注意到⑸式,得

TeTm Te ? Tm



′ Tm = 29.6天



(iii) 从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用,另一方面也受到月球的引力作用.当火箭离地球 较近时,地球的引力大于月球的引力;当离月球较近时,月球的引力大于地球的引力.作地心和月心的连 线,设在地月间某一点处,地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小.以 r 表 示到月球中心的距离,则有

G

me m m m = G m2 2 r (rem ? r )



式中 m 为火箭的质量.由⑾式得

? me ? 2 ? ? 1?r 2 + 2r em r ? rem = 0 ?m ? ? m ?
解⑿式,注意到⑵式,代入有关数据,得



r = 3.8 × 107 m



从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达 O 点,则过 O 点后,因月球引力大于地球引力,它便能 在月球引力作用下到达月球,这样发射时火箭离开地面时的速度最小,它到达月球时的速度也最小.设火 箭刚达到月球时的最小速度为 v,则由机械能守恒定律有

?G
解得

me m m m me m mm 1 ? G m = ?G ? G e + mv 2 rem ? r r rem ? Rm Rm 2



? 1 ? 1 1? 1 ? ? + 2Gmm ? v = 2Gme ? ? ?r ?R ?R ?r? ? rem ? r ? m ? em ? ? m ?
注意到⑵式,代入有关数据得



v = 2.3 × 103 m ? s ?1
评分标准: 本题 12 分. 第(i)小问 3 分.求得⑷式得 2 分,求得⑸式得 1 分. 第(ii)小问 3 分.求得⑼式得 2 分,求得⑽式得 1 分. 第(iii)小问 6 分.⑾式 2 分,⒁式 2 分,⒃式 2 分.



17. 参考解答: 因两物块与地面间的滑动摩擦系数相同,故它们在摩擦力作用下加速度的大小是相同的,以 a 表示此加速 度的大小.先假定在时间 t 内,两块始终作减速运动,都未停下.现分别以 s1 和 s2 表示它们走的路程,则 有

1 s1 = v1t ? at 2 2 1 s2 = v2t ? at 2 2


⑴ ⑵

s1 + s2 = d
解⑴、⑵、⑶三式并代入有关数据得



a = 0.175m / s 2
经过时间 t,两物块的速度分别为



′ v1 = v1 ? at v′ = v2 ? at 2
代入有关数据得

⑸ ⑹

′ v1 = 6.5m / s v′ = ?1.5m / s 2

⑺ ⑻

v′ 是负值是不合理的,因为物块在摩擦力作用下作减速运动,当速度减少至零时,摩擦力消失,加速度不 2
复存在, v′ 不可以为负. v′ 为负,表明物块 2 经历的时间小于 t 时已经停止运动,⑵式从而⑷、⑹、⑺、 2 2 ⑻式都不成立.在时间 t 内,物块 2 停止运动前滑行的距离应是

s2 =

2 v2 2a



解⑴、⑼、⑶式,代入有关数据得

a = 0.20m / s 2
由⑸、⑽式求得刚要发生碰撞时物块 1 的速度



′ v1 = 6.0m / s
而物块 2 的速度



v′ = 0 2
设 V 为两物块相碰后的速度,由动量守恒有



′ m1v1 = (m1 + m2 )V
刚碰后到停止运动过程中损失的机械能



?E =
由⒀、⒁式得,

1 (m1 + m2 )V 2 2



′ 1 m12v1 2 ?E = 2 m1 + m2
代入有关数据得



?E = 14.4 J
评分标准:



本题 12 分.通过定量论证得到⑼式共 4 分,求得⑾式得 4 分,⒀式 1 分,⒁式 1 分,⒃式 1 分. 18. 参考解答: 根据题意,通过通过增加砝码和调节游码的位置使磅秤恢复平衡,这时横梁 MON、横杆 ABCP、DEF 以 及载物台 Q 都是水平的,竖杆 MP、CF 都是竖直的.B、E 处的刀口增加的压力分别为 W1 和 W2,它们与 待秤量的物体的重量 W 的关系为

W = W1 + W2



W1 与 W2 之和是确定的,但 W1、W2 的大小与物品放置与载物台上的位置有关.对于横杆 DEF,它在 E 点受到向下作用力(为了叙述简单,下面所说的作用力皆指载物后增加的作用力)的大小 W2,设在 F 点 受到向上的作用力的大小为 W2′ ,平衡时有

W2 ? DE = W2′ ? DF



对横杆 ABCP,在 B 点受到向下作用力的大小为 W1,在 C 点受到向下的作用力的大小为 W2′ ,设 P 点受 到向上的作用力的大小为 W3,平衡时有

W3 ? AP = W1 ? AB + W2′ ? AC
由以上三式得



W3 ? AP = W ? AC ?

DE DE ? ? + W1 ? ? AB ? AC ? DF DF ? ?



要使重物在平台上的位置不影响 W3 的大小,就必需要求 W3 与 W1 无关,即有

AB ? AC
即 AB、DE、DF 应满足的关系为

DE =0 DF



AB DE = AC DF
评分标准: 本题 11 分.⑴式 2 分,⑵式 2 分,⑶式 2 分,⑷式 3 分,⑸式或⑹式 2 分. 19. 参考解答:



入射的两条光线如图所示.α1 、 β1 是从平端面入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角;α 2 、 β 2 是 从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角.根据折射定律有 α1 δ2 β2 α1 b a ⑴ ⑵ β1 δ1

n sin α1 = sin β1 sin α 2 = n sin β 2
由几何关系有

β1 = α1 + δ1 β2 = α 2 + δ 2
设球面的半径为 R,注意到 α1 、 α 2 、 δ1 、 δ 2 都是小角度,故有

⑶ ⑷

Rα1 = aδ1 Rα 2 = aδ 2
根据题给的条件,⑴、⑵式可近似表示成

⑸ ⑹

nα1 = β1

⑺ ⑻

α 2 = nβ 2
由⑶式—⑻式得

n=
评分标准:

b a



本题 11 分.⑴式 1 分,⑵式 1 分,⑶式 1 分,⑷式 1 分,⑸式 1 分,⑺式 1 分,⑻式 1 分,⑼式 3 分.

20. 参考解答: 设宇宙尘埃的质量为 m,太阳的质量为 M,则太阳作用于尘埃的万有引力

f =G

Mm 2 rec



设地球的密度为 ρ,地球的质量为 me,按题意有

4 m = πR 3 ρ 3 me ρ= 4 3 πRe 3
另有

⑵ ⑶

G


me =g Re2



Mme ? 2π ? G = me ? ? rec rec ? T ?
2



式中 T 为地球绕太阳作圆周运动的周期, T = 365 × 24 × 60 × 60 s = 3.15 × 10 s .由⑴、⑵、⑶、⑷、⑸
7

式得

f =

gR 3 ? 2π ? ? ? rec GRe ? T ?
2



太阳辐射中含有各种频率的光子,设单位时间内,射到尘埃所在处的与太阳辐射垂直的单位面积上频率为

ν i 的光子数为 Ni,根据 S 的定义有
S = ∑ N i hν i
i



光子不仅有能量,还具有动量.由题意可知频率为ν i 的光子的动量

pi =

hν i c



光子射到尘埃表面被尘埃吸收,故光子作用于尘埃的冲量

?I i = pi
单位时间内射到尘埃单位面积上的各种频率的光子对尘埃的总冲量



?I = ∑ N i ?I i = ∑ N i pi
i i



?I 也就是压强.由于尘埃表面是球面,球面上各部分并不都与太阳辐射垂直,但射到球面上的光辐射与
射到与太阳辐射垂直的地球大圆表面上的光辐射是相等的,故太阳辐射作用于尘埃的力

F = πR 2 ?I
由⑺式—⑾式得



F=
由于⑹式和⑿式得

πR 2
c

S



F GRe ST 2 = f 4πgRcrec
代入有关数据得



F = 1.0 × 10 ? 6 f
评分标准:



本题 13 分.求得⑹式得 4 分,求得⑿式得 7 分,求得⒀式得 1 分,求得⒁式得 1 分. 21. 参考解答: (i) 在空间取如图所示的直角坐标 Oxyz,Ox 轴没电场方向, z

Oy 沿磁场方向,Oz 轴与重力方向相反.因为磁场作用于质点 的洛伦兹力与磁场方向垂直, 即在 Ozx 平面内; 作用于质点的 电场力和重力也在 Oxz 平面内,故质点在 y 方向不受力作用, 其速度沿 y 方面的分速度的大小和方面是不变的.根据题意, 质点速度大小是恒定不变的, 而磁场作用于质点的洛伦兹力对 质点不做功, 故质点的速度沿垂直磁场方向的大小一定是恒定 不变的,故此分速度必须与电场力和重力的合力垂直.由于电 x E O

B y g

场力和重力的合力的方向是不变的,故此分速度的方向也是不变的.由此可得到结论:质点速度的方向也 是不变的,即质点在给定的场中作匀速直线运动,其轨迹是直线,在 Oxz 平面内,与电场和重力的合力垂 直. (ii) 质点作匀速直线运动表明电场、磁场和重力场对质点作用力的合力等于 0.设存在电场、磁场时质点 的速度大小为 v0 ,它在从标系中的三个分量分别为 v0 x 、 v0 y 、 v0 z ,这也就是电场、磁场刚要消失时质点 的速度在三个场方向的分量,以 Fx、Fy 和 Fz 分别表示 F 在坐标系中的分量,则有

Fx = qE ? qv0 z B = 0
Fy = 0 Fz = ? mg + qv0 x B = 0
由⑴、⑶式得

⑴ ⑵ ⑶

v0 x =

E B



v0 z =

mg qB



若知道了粒子的速度 v0,粒子速度的 y 分量为
2 2 2 2 v0 y = v0 ? v0 x ? v0 z



因电场和磁场消失后,粒子仅在重力作用下运动,任何时刻 t 质点的速度为

vx = v0 x v y = v0 y vz = v0 z ? gt
当 vx 等于 0 时,粒子的动能最小,这最小动能

⑺ ⑻ ⑼

Ek min =
根据题意有

1 2 2 m v0 x + v0 y 2

(

)



Ek min =
由⑽、⑾式得

1 ?1 2? m? mv0 ? 2 ?2 ?



2 2 2 v0 = 2 v0 x + v0 y

(

)




由⑷、⑸、⑹、⑿各式得

v=
评分标准: 本题 16 分

1 qB

(qB )2 ? (mg )2

第(i)小问 4 分.通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得 4 分. 第(ii)小问 12 分.⑷式 3 分,⑸式 3 分,求得⒀式 6 分.

2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共八题,满分 160 分 一、 (15 分) 1、 分)蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是 0.033s。假设它是由均匀分布的物质构成的球体,脉冲周期 (5 是它的旋转周期,万有引力是唯一能阻止它离心分解的力,已知万有引力常量

G = 6.67 × 10?11 m3 ? kg ?1 ? s ?2 ,由于脉冲 星表面的物质未分离, 故可估算出此脉冲星密 度的下限是 kg ? m ?3 。
2、 分)在国际单位制中,库仑定律写成 F = k (5

q1q2 9 2 ?2 ,式中静电力常量 k = 8.98 × 10 N ? m ? C ,电荷 2 r

量 q1 和 q2 的单位都是库仑,距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形 式F =

q1q2 qq , 式中距离 r 的单位是米, 作用力 F 的单位是牛顿。 若把库仑定律写成更简洁的形式 F = 1 2 2 , 2 r r

式中距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛顿,由此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、 秒表示此新单位时, 电荷新单位= ; 新单位与库仑的关系为 1 新单位= 3、 分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下:一个圆环真空 (5 布在圆柱形体积内的磁场中,磁场方向沿圆柱的轴线,圆柱的轴线过圆 并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界,与实线圆同心 为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的 为 B = B0 cos(2π t / T ) ,其中 T 为磁场变化的周期。B0 为大于 0 的常 C。 室处于分 环的圆心 的虚线圆 变化规律 量。当 B

为正时,磁场的方向垂直于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0 的 电子沿虚 线圆的切线方向注入到环内(如图) ,则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t = 到t = 。 二、 (21 分)嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后,进入绕地运行的椭圆轨道,近地点离地面高

H n = 2.05 ×10 2 km ,远地点离地面高 H f = 5.0930 ×104 km ,周期约为 16 小时,称为 16 小时轨道(如
图中曲线 1 所示) 。随后,为了使卫星离地越来越远,星载发动机先在远地点点火,使卫星进入新轨道(如 图中曲线 2 所示) ,以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火,使卫星加速和变轨,抬高 远地点,相继进入 24 小时轨道、48 小时轨道和地月转移轨 道(分别 如 图 中 曲 线 3 、 4 、 5 所 示 )。 已 知 卫 星 质 量

m = 2.350 × 103 kg ,地球半径 R = 6.378 × 103 km ,地面重 g = 9.81m / s 2 ,月球半径 r = 1.738 × 103 km 。

力加速度

1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度,以及椭圆偏心率 e 。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时,假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同,而且点火时间很短, 可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F = 490 N ,要把近地点抬高到 600 km ,问点火时间应持 续多长? 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道,距月面高度 H m 约为 200 km ,周期 Tm = 127 分钟,试据此估算月球质量

与地球质量之比值。 三、 (22 分)足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射在横梁上的位置有别,其落地点也是不同的。 已知球门的横梁为圆柱形,设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上,球与横梁间的滑动 摩擦系数 ? = 0.70 ,球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在 球门线内(含球门上)?足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂直 于横梁的轴线)的夹角 θ (小于 90 )来表示。不计空气及重力的影响。
o

四、 (20 分)图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原 图, 为指针压力表, VM 表示其中可以容纳气体的容积; 为测温饱, M 以 B 温度的环境中,以 VB 表示其体积;E 为贮气容器,以 VE 表示其体积;F M、 B 由体积可忽略的毛细血管连接。 M、 B 均处在室温 T0 = 300 K E、 在 E、 强 p0 = 5.2 × 10 Pa 的氢气。假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方
5

理 示 意 处在待测 为阀门。 时充以压 程。现考

察以下各问题: 1、关闭阀门 F,使 E 与温度计的其他部分隔断,于是 M、B 构成一简易的气体温度计,用它可测量 25K 以上的温度, 这时 B 中的氢气始终处在气态,M 处在室温中。试导出 B 处的温度 T 和压力表显示的压强

p 的关系。除题中给出的室温 T0 时 B 中氢气的压强 P0 外,理论上至少还需要测量几个已知温度下的压强
才能定量确定 T 与 p 之间的关系? 2、开启阀门 F,使 M、E、B 连通,构成一用于测量 20~25K 温度区间的低温的蒸气压温度计,此时压力 表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。 由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系, 知道了氢的饱和蒸气压与 温度的关系,通过测量氢的饱和蒸气压,就可相当准确地确定这一温区的温度。在设计温度计时,要保证 当 B 处于温度低于 TV = 25 K 时,B 中一定要有液态氢存在,而当温度高于 TV = 25 K 时,B 中无液态氢。 到 达 到这 一目 的, VM + VE 与 VB 间 应 满 足 怎样 的 关系? 已 知 TV = 25 K 时 ,液 态氢 的 饱和 蒸 气压

pV = 3.3 ×105 Pa 。
3、已知室温下压强 p1 = 1.04 × 10 Pa 的氢气体积是同质量的液态氢体积的 800 倍,试论证蒸气压温度计
5

中的液态气不会溢出测温泡 B。 五、 (20 分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成,电子在电子束中均 匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子,每个电子的电荷量为 ?e(e > 0) ,质量为 m 。该电子束 从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器,其前端(即图中的右端)于 t=0 时刻刚好到达电容 器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔,使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A、B 之 间加上了如图所示的周期性变化的电压 VAB ( VAB = VA ? VB ,图中只画出了一个周期的图线) ,电压的最 大值和最小值分别为 V0 和-V0,周期为 T 。若以 τ 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压 处于最小值的时间间隔为 T- τ 。已知 τ 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右 边的所有的电子,能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小,电子穿过 电容器所需要的时间可以 忽 略 , 且

mv 2 = 6eV0 ,不计电子之间的相互作用及重力作用。

1、满足题给条件的 τ 和 tb 的值分别为 τ =

T , tb =

T。

在 2、 试在下图中画出 t = 2T 那一时刻, 0 ? 2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成的电流 I , 随离开右极板距离 x 的变化图线,并在图上标出图线特征点的纵、横坐标(坐标的数字保留到小数点后第 二位) 。取 x 正向为电流正方向。图中 x = 0 处为电容器的右极板 B 的小孔所在的位置,横坐标的单位

s=

eV0 。 (本题按画出的图评分,不须给出计算过程) m

六 、

(22 分)零电阻是超导体的一个基本特征,但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制。为克服这一 困难,最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦(温度 T=4.2K)中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈 (超导转换温度 TC=7.19K)中电流的变化。设铅丝粗细均匀,初始时通有 I=100A 的电流,电流检测仪器 的精度为 ?I = 1.0mA ,在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验,试估 算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数密度 n = 8.00 × 10 m ,
20 3

已知电子质量 m = 9.11× 10?31 kg ,基本电荷 e = 1.60 × 10

?19

C。 (采用的估算方法必须利用本题所给出的

有关数据) 七、 (20 分)在地面上方垂直于太阳光的入射方向,放置一半径 R=0.10m、焦距 f=0.50m 的薄凸透镜,在 薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘(圆盘中心与透镜焦点重合) ,于是可以在黑色圆盘上形成太阳的 像。已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性极好,圆盘与地面之间的距离较大。设太 阳向外辐射的能量遵从斯特藩—玻尔兹曼定律:在单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为

W = σ T 4 ,式中 σ 为斯特藩—玻尔兹曼常量,T 为辐射体表面的的绝对温度。对太而言,取其温度 t s = 5.50 ×103o C 。大气对太阳能的吸收率为 α = 0.40 。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收,同
时圆盘也按斯特藩—玻尔兹曼定律向外辐射能量。如果不考虑空气的对流,也不考虑杂散光的影响,试问

薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度? 八、 (20 分)质子数与中子数互换的核互为镜像核,例如 He 是 H 的镜像核,同样 H 是 He 的镜像核。 已 知 3 H 和 He 原 子的质量 分别是 m3H = 3.016050u 和 m3He = 3.016029u ,中 子和质子 质量分 别是
3
3

3

3

3

mn = 1.008665u 和 m p = 1.007825u , = 1u
式中 e 为电子的电荷量。

931.5 1.44 MeV , 式中 c 为光速, 静电力常量 k = 2 MeV ? fm , 2 c e

1、试计算 3 H 和 He 的结合能之差为多少 MeV。 2、已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系,又知质子和中子的半径近似相等,试说明上面所求 的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 rN 。 3、实验表明,核子可以被近似地看成是半径 rN 恒定的球体;核子数 A 较大的原子核可以近似地被看成是 半径为 R 的球体。根据这两点,试用一个简单模型找出 R 与 A 的关系式;利用本题第 2 问所求得的 rN 的 估计值求出此关系式中的系数;用所求得的关系式计算
208

3

Pb 核的半径 R pb 。

届全国中学生物理竞赛复赛理论 理论试 参考解答 第 25 届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答
一、答案 1. 2. 3.

1.3 × 1014

kg 2 ? m 2 ? s ?1 3 T 4
T

1

3

1.06 ×10 ?5 (答 1.05 × 10?5 也给)

二、参考解答: 参考解答: 参考解答 1. 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半,亦即近地点与远地点矢径长度(皆指卫星到地 心的距离) rn 与 rf 的算术平均值,即有

a=
代入数据得

1 1 1 ( r n + rf ) = ?( H n + R ) + ( H f + R ) ? = ( H n + H f ) + R ? ? 2 2 2

(1)

a = 3.1946 × 104 km
椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值,即有

(2)

b = rn rf
代入数据得

(3)

b = 1.942 × 104 km
椭圆的偏心率

(4)

e=
代入数据即得

a 2 ? b2 a

(5)

e = 0.7941

(6)

2. 当卫星在 16 小时轨道上运行时,以 vn 和 vf 分别表示它在近地点和远地点的速度,根据能量守恒, 卫星在近地点和远地点能量相等,有

1 GMm 1 2 GMm 2 m vn ? = m vf ? 2 rn 2 rf

(7)

式中 M 是地球质量, G 是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直, 根据角动量守恒,有

mvn rn = mvf rf
注意到

(8)

GM =g R2
由(7)、(8)、(9)式可得

(9)

vn =

rf 2 g R rn rf + rn rn r 2g vn = n R rf rf rf + rn
rf = R + H f

(10)

vf =

(11)

当卫星沿 16 小时轨道运行时,根据题给的数据有

rn = R + H n
由(11)式并代入有关数据得

vf = 1.198 km/s

(12)

依题意,在远地点星载发动机点火,对卫星作短时间加速,加速度的方向与卫星速度方向相同,加速 后长轴方向没有改变, 故加速结束时, 卫星的速度与新轨道的长轴垂直, 卫星所在处将是新轨道的远地点.

′ 所以新轨道远地点高度 H f′ = H f = 5.0930 × 10 km,但新轨道近地点高度 H n = 6.00 ×10 km.由(11)式,
4 2

可求得卫星在新轨道远地点处的速度为

v′ = 1.230 km/s f
卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量,设发动机点火时间为?t,有

(13)

m ( v′ ? vf ) = F ?t f
由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 ?t= 1.5 × 10 s (约 2.5 分)
2

(14)

(15)

这比运行周期小得多.

3. 当卫星沿椭圆轨道运行时,以 r 表示它所在处矢径的大小,v 表示其速度的大小, θ 表示矢径与速 度的夹角,则卫星的角动量的大小 L = rmv sin θ = 2mσ (16 ) 其中

σ = r v sin θ

是卫星矢径在单位时间内扫过的面积,即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的,故 σ 是恒量.利用远地点 处的角动量,得

1 2

(17)

σ = rf vf
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为

1 2

(18)

S = πab
所以卫星沿轨道运动的周期

(19)

T=
由(18)、(19)、(20) 式得

S

σ

(20)

T=
代入有关数据得

2πab rf vf

(21)

T = 5.678 × 104 s (约 15 小时 46 分)
长轴 a 与 a0 之比的立方,即

(22)

注:本小题有多种解法.例如,由开普勒第三定律,绕地球运行的两亇卫星的周期 T 与 T0 之比的平方等于它们的轨道半

?T ? ? a ? ? ? =? ? ? T0 ? ? a0 ?
若 a 0 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径,则有

2

3

? 2π ? GMm = ma0 ? ? 2 a0 ? T0 ?
得 从而得

2

T02 4π 2 4π 2 = = 3 a0 GM gR 2

T=
代入有关数据便可求得(22)式.

2πa R

a g

4. 在绕月圆形轨道上,根据万有引力定律和牛顿定律有

GM m m 2π = mrm ( ) 2 2 rm Tm
这里 rm = r + H m 是卫星绕月轨道半径, M m 是月球质量. 由(23)式和(9)式,可得

(23)

Mm =
代入有关数据得

3 4π 2 rm M 2 gR 2Tm

(24)

Mm = 0.0124 M
三、参考解答: 参考解答: 参考解答 足球射到球门横梁上的情况如图所示(图所在的平面垂 于横梁轴线).图中B表示横梁的横截面,O1为横梁的轴线;

(25)



O1O1′ 为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线;A表示足球,O2
其球心;O点为足球与横梁的碰撞点,碰撞点O的位置由直线



′ O1OO2与水平线 O1O1 的夹角θ 表示.设足球射到横梁上时球



速度的大小为v0,方向垂直于横梁沿水平方向,与横梁碰撞后球心速度的大小为v,方向用它与水平方向的 夹角?表示(如图).以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy,y轴与O2OO1重合.以α0表示碰前速度的方向与y轴 的夹角,以α表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角,足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度 方向,即角α的大小. 以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小, y表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大 F 小,?t表示横梁与足球相互作用的时间,m表示足球的质量,有

Fx ?t = mv0x ? mvx
Fy ?t = mv y + mv0y

(1) (2)

式中 v0x 、 v0y 、 vx 和 vy 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有

Fx = ? F y
由(1)、(2)、(3)式得

(3)

?=
根据恢复系数的定义有

v 0x ? vx vy + v0y
vy = ev0y

(4)

(5)



tan α 0 =

v0x v0y

(6)

tan α =
由(4)、(5)、(6)、(7)各式得

vx vy

(7)

tan α =
由图可知

1 ? 1? tan α 0 ? ? ?1 + ? e ? e?

(8)

? =θ +α
若足球被球门横梁反弹后落在球门线内,则应有

(9)

? ≥ 90o
在临界情况下,若足球被反弹后刚好落在球门线上,这时 ? = 90 .由(9)式得
o

(10)

tan ( 90o ? θ ) = tan α
因足球是沿水平方向射到横梁上的,故 α 0 = θ ,有

(11)

1 1 ? 1? = tan θ ? ? ?1 + ? tan θ e ? e?
这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置 θ 所满足的方程.解(12)式得

(12)

? 1? ? 1? e? ? 1 + ? ± e 2 ? 2 ? 1 + ? + 4 e ? e? ? e? tan θ = 2
代入有关数据得

2

(13)

tan θ = 1.6


(14)

θ = 58o
现要求球落在球门线内,故要求

(15)

θ ≥ 58o

(16)

四、参考解答: 参考解答: 参考解答 1. 当阀门F关闭时,设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1,当B处的温度为T 时,压力表显示的压强 为 p,由理想气体状态方程,可知B和M中氢气的摩尔数分别为

n1B =

pVB RT

(1)

n1M =
式中R为普适气体恒量.因

pVM RT0

(2)

n1B + n1M = n1
解(1)、(2)、(3)式得

(3)

1 n1R 1 VM = ? T VB p VBT0


(4)

T=

p n1R V M ? p VB VBT0

(5)

(4)式表明,

1 1 与 成线性关系,式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压 T p

强,作

1 1 对 的图线,就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0,故至少还要测定另一己知温度 T p

下的压强,才能定量确定T与p之间的关系式. 2. 若蒸气压温度计测量上限温度 Tv 时有氢气液化,则当B处的温度 T ≤ Tv 时,B、M 和E中气态氢的 总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数

n2 =

p0 (VB + VM + VE ) RT0

(6)

假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体,则B中气态氢的摩尔数为

n2B =

p vVB RTv

(7)

在(7)式中,已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中,其中氢 气的摩尔数为

n2M + n2E =
根据要求有

pν (VM + VE ) RT0

(8)

n2B + n2M + n2E ≤ n2
解(6)、(7)、(8)、(9)各式得

(9)

VM + VE ≥
代入有关数据得

p vT0 ? p 0Tv V ( p0 ? p v )Tv B

(10)

VM + VE ≥ 18VB
五、答案与评分标准: 答案与评分标准: 答案与评分标准

(11)

1.

2 2 +1

= 2 ? 2 = 0.59 (3 分)

2

(2 分)

2.如图(15 分.代表电流的每一线段 3 分,其中线段端点的横坐标占 1 分,线段的长度占 1 分,线段的纵坐标 占 1 分) 4 3 2 1 O -1 -2 -3 -4 六、参考解答: 参考解答: 参考解答 如果电流有衰减,意味着线圈有电阻,设其电阻为R,则在一年时间 t 内电流通过线圈因发热而损失的 能量为 0.83 1.17 1 2.00 2 2.83 3 4.00 4 x/s I/nev

?E = I 2 Rt
以ρ 表示铅的电阻率,S表示铅丝的横截面积,l 表示铅丝的长度,则有

(1)

R=ρ

l S

(2)

电流是铅丝中导电电子定向运动形成的,设导电电子的平均速率为v,根据电流的定义有

I = S vne

(3)

所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化,并不等于电流一定没有变化,但这变化不会超过电流检 测仪器的精度?I,即电流变化的上限为 ?I = 1.0mA .由于导电电子的数密度 n 是不变的,电流的变小是电 子平均速率变小的结果,一年内平均速率由v变为 v-?v,对应的电流变化

?I = neS ?v

(4)

导电电子平均速率的变小,使导电电子的平均动能减少,铅丝中所有导电电子减少的平均动能为

1 2? ?1 ?Ek = lSn ? mv 2 ? m ( v ? ?v ) ? 2 ?2 ? ≈ lSnmv?v
(5)

由于?I<<I,所以?v<<v,式中?v的平方项已被略去.由(3)式解出 v,(4)式解出 ?v,代入(5)式得

?Ek =

lmI ?I ne2 S

(6)

铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量,即

?E k = ?E
由(1)、(2)、(6)、(7)式解得

(7)

ρ=
式中

m?I ne 2 It

(8)

t = 365 × 24 × 3600s=3.15 ×107 s
在(8)式中代入有关数据得

(9)

ρ = 1.4 × 10?26 ? m
所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到

(10)

ρ ≤ 1.4 × 10 ?26 ? m
七、参考解答: 参考解答 按照斯特藩-玻尔兹曼定律,在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为

(11)

Ws = σ Ts4

(1)

其中 σ 为斯特藩-玻尔兹曼常量,Ts 为太阳表面的绝对温度.若太阳的半径为 Rs,则单位时间内整个太阳表 面向外辐射的能量为

Ps = 4πRs2Ws

(2)

单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是 Ps .设太阳到地球的距离为 rse,考虑到地球周围 大气的吸收,地面附近半径为 R 的透镜接收到的太阳辐射的能量为

P = πR 2 (1 ? α )

Ps 2 4πrse

(3)

薄凸透镜将把这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上,并被薄圆盘全部吸收. 另一方面,因为薄圆盘也向外辐射能量.设圆盘的半径为 RD ,温度为 TD ,注意到簿圆盘有两亇表面, 故圆盘在单位时间内辐射的能量为
2 4 PD = 2 ? πRD ? σ TD

(4)

显然,当

PD = P

(5)

即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时,圆盘达到稳定状态,其温度达到最高. 由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得

? R2 R2 ? 4 TD = ?(1 ? α ) 2 s2 ? Ts 2rse RD ? ?

1

(6)

依题意,薄圆盘半径为太阳的像的半径 Rs′ 的 2 倍,即 RD = 2 Rs .由透镜成像公式知 ′

Rs′ Rs = f rse
于是有

(7)

RD = 2
把(8)式代入(6)式得

Rs f rse

(8)

? R2 ? 4 TD = ?(1 ? α ) 2 ? Ts 8f ? ?
代入已知数据,注意到 Ts = (273.15 + ts ) K, TD=1.4×103K 即有

1

(9)

(10)

tD = TD ? 273.15 = 1.1× 103 o C
八、参考解答: 参考解答: 参考解答 1.根据爱因斯坦质能关系,3H 和 3He 的结合能差为

(11)

?B = ( mn ? mp ? m 3 H + m 3 He ) c 2
代入数据,可得

(1)

(2) 2. He 的两个质子之间有库仑排斥能,而 H 没有.所以 H 与 He 的结合能差主要来自它们的库仑能
3 3 3 3

?B = 0.763 MeV

差.依题意,质子的半径为 rN ,则 3He 核中两个质子间的库仑排斥能为

EC = k

e2 2 rN

(3)

若这个库仑能等于上述结合能差, EC = ?B ,则有

rN =
代入数据,可得

ke 2 2?B

(4)

rN = 0.944 fm
3

(5)

3.粗略地说,原子核中每个核子占据的空间体积是 (2 rN ) .根据这个简单的模型,核子数为 A 的原 子核的体积近似为

V = A(2rN )3 = 8 ArN 3
另一方面,当 A 较大时,有

(6)

V=

4π 3 R 3
1/ 3

(7)

由(6)式和(7)式可得 R 和 A 的关系为

?6? R=? ? ?π?
其中系数

rN A1/ 3 = r0 A1/ 3

(8)

?6? r0 = ? ? ?π?
把(5)式代入(9)式得

1/ 3

rN

(9)

r0 = 1.17 fm
由(8)式和(10)式可以算出
208

(10)

Pb 的半径

RPb = 6.93fm


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