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2015步步高高中数学理科文档第十一章 11.1


第十一章 § 11.1

统计、统计案例 随机抽样

1.简单随机抽样 (1)定义:设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N), 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 就把这种抽样方法叫做简单随机 抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)先将总体的 N 个个体编号; N N (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段.当 (n 是样本容量)是整数时,取 k= ; n n (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l (l≤k); (4)按照一定的规则抽取样本.通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k),再加 k 得到第 3 个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本. 3.分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽 取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样. (2)分层抽样的应用范围: 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)简单随机抽样是一种不放回抽样. (2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关. (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样. ( √ ( × ( √ ) ) )

(4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本, 需要剔除 2 个学生, 这样对被剔除者不公平. ( × )

(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.

( ×

)

2.在某班的 50 名学生中,依次抽取学号为 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50 的 10 名学生进行作业检查,这种抽样方法是 A.随机抽样 C.系统抽样 答案 C 3.将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002,?,999,从中抽取一个容量为 50 的样本,按系统抽样的方法分为 50 组,如果第一组编号为 000,001,002,?,019,且 第一组随机抽取的编号为 015,则抽取的第 35 个编号为 A.700 答案 C 解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号 l=15, N 1 000 分段间隔数 k= = =20,则抽取的第 35 个编号为 a35=15+(35-1)×20=695. n 50 4.大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品 120 个、60 个、20 个,现在需从这三个盒子 中抽取一个样本容量为 25 的样本,较为恰当的抽样方法为________________. 答案 简单随机抽样 解析 因为三个盒子中装的是同一种产品, 且按比例抽取每盒中抽取的不是整数, 所以将 三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为适合. 5.一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人.若用分层抽样的方法从该队的全体运动员 中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为________. 答案 12 21 1 = , 48+36 4 1 所以应抽取男运动员 48× =12(人). 4 解析 样本的抽取比例为 B.669 C.695 D.676 ( ) B.分层抽样 D.以上都不是 ( )

题型一 简单随机抽样 例1 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?

(1)从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本. (2)盒子里共有 80 个零件,从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿 出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里. (3)从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验. (4)某班有 56 名同学,指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛. 思维启迪 判断一个抽样是否为简单随机抽样,要判断是否符合简单随机抽样的特征. 解 (1)不是简单随机抽样.因为被抽取的样本总体的个体数是无限的,而不是有限的.

(2)不是简单随机抽样.因为它是放回抽样. (3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取. (4)不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样. 思维升华 (1)简单随机抽样需满足:①被抽取的样本总体的个体数有限;②逐个抽取;

③是不放回抽取;④是等可能抽取. (2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较 多的情况). (2013· 江西)总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机 数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依 次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 3204 A.08 答案 D 解析 从第 1 行第 5 列、 第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次选出的数为 08,02,14,07,01, 所以第 5 个个体编号为 01. 题型二 系统抽样 例2 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002, ?, 600.采用系统抽样方法抽取一个容量 6572 9234 B.07 0802 4935 6314 8200 C.02 0702 3623 4369 4869 D.01 9728 6938 0198 7481 ( )

为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在 第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数 依次为 A.26,16,8 C.25,16,9 B.25,17,8 D.24,17,9 ( )

思维启迪 系统抽样又称“等距抽样”.可以根据“等距”确定各营区被抽中的人数. 答案 B 解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这 600 名学生按编号依次分成 50 组,每一组各 有 12 名学生,第 k(k∈N*)组抽中的号码是 3+12(k-1). 103 令 3+12(k-1)≤300 得 k≤ ,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是 25; 4 103 令 300<3+12(k-1)≤495 得 <k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是 42-25=17. 4 结合各选项知,选 B. 思维升华 (1)系统抽样的特点——机械抽样,又称等距抽样,所以依次抽取的样本对应

的号码就是一个等差数列,首项就是第 1 组所抽取的样本号码,公差为间隔数,根据等差 数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码. (2)系统抽样时,如果总体中的个体数不能被样本容量整除时,可以先用简单随机抽样从

总体中剔除几个个体,然后再按系统抽样进行. (2013· 陕西)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1,2, ?, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481,720]的人数为( A.11 答案 B 720-480 840 解析 由 =20, 即每 20 人抽取 1 人, 所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为 42 20 240 = =12(人). 20 题型三 分层抽样 例3 (2013· 湖南)某工厂甲、 乙、 丙三个车间生产了同一种产品, 数量分别为 120 件, 80 件, B.12 C.13 D.14 )

60 件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n 等于 A.9 B.10 C.12 D.13 ( )

思维启迪 分层抽样,抽样比是一个定值. 答案 D 3 n 解析 ∵ = ,∴n=13. 60 120+80+60 思维升华 在分层抽样的过程中, 为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的, 这就要求 各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比,即 ni∶Ni=n∶N. 某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽 取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应 在三年级抽取的学生人数为 一年级 女生 男生 A.24 答案 C 解析 依题意我们知道二年级的女生有 380 人, 那么三年级的学生人数应该是 2 000-373 -377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为 3∶3∶2,故在分层抽样中应在三 2 年级抽取的学生人数为 64× =16. 8 B.18 373 377 C.16 二年级 x 370 D.12 三年级 y z ( )

五审图表找规律

典例:(12 分)某单位有 2 000 名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生

产各部门中,如下表所示: 人数 老年 中年 青年 小计 管理 40 80 40 160 技术开发 40 120 160 320 营销 40 160 280 480 生产 80 240 720 1 040 共计 200 600 1 200 2 000

(1)若要抽取 40 人调查身体状况,则应怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人? (3)若要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?

抽取 40 人调查身体状况 ↓(观察图表中的人数分类统计情况) 样本人群应受年龄影响 ↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定) 要以老、中、青分层,用分层抽样 ↓ 要开一个 25 人的座谈会 ↓(讨论单位发展与薪金调整) 样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响 ↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定) 要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样 ↓ 要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解 ??可认为亚运会是大众体育盛会,一个单位人员对情况,了解相当? 将单位人员看作一个整体 ↓(从表中数据看总人数为 2 000 人) 人员较多,可采用系统抽样 规范解答 解 (1)按老年、中年、青年分层,用分层抽样法抽取, 40 1 抽取比例为 = . 2 000 50 故老年人,中年人,青年人各抽取 4 人,12 人,24 人. (2)按管理、技术开发、营销、生产分层,用分层抽样法抽取, 25 1 抽取比例为 = , 2 000 80 [1 分] [2 分] [4 分] [5 分] [6 分]

故管理,技术开发,营销,生产各抽取 2 人,4 人,6 人,13 人. (3)用系统抽样,

[8 分]

对全部 2 000 人随机编号,号码从 0001~2000,每 100 号分为一组,从第一组中用随机抽样 抽取一个号码,然后将这个号码分别加 100,200,?,1 900,共 20 人组成一个样本.[12 分] 温馨提醒 (1)本题审题的关键有两点,一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚;二 是对样本的功能要审视准确. (2)本题易错点是,对于第(2)问,由于对样本功能审视不准确,按老、中、青三层分层抽样.

方法与技巧 三种抽样方法的比较 类别 简单随机抽样 各自特点 从总体中逐个抽 取 将总体平均分成 系统抽样 几部分, 按事先确 定的规则分别在 各部分中抽取 相互联系 最基本的抽样方 法 在起始部分抽样 时, 采用简单随机 抽样 适用范围 总体中的个体数 较少 抽样过程 总体中的个体数 较多 中每个个 体被抽到 的可能性 总体由差异明显 的几部分组成 相等 共同点

将总体分成几层, 各层抽样时采用 分层抽样 按各层个体数之 比抽取 失误与防范 进行分层抽样时应注意几点: 简单随机抽样或 系统抽样

(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是层内样本的差异要小, 两层之间的样本差异要大,且互不重叠; (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同; (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1. (2012· 四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、 乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有

驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这 四个社区驾驶员的总人数 N 为 A.101 答案 B 解析 由题意知抽样比为 12 ,而四个社区一共抽取的驾驶员人数为 12+21+25+43= 96 B.808 C.1 212 D.2 012 ( )

101, 12 101 故有 = ,解得 N=808. 96 N 2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方 法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级 的学生中应抽取的人数为 A.6 答案 B 30 解析 设样本容量为 N,则 N× =6,∴N=14, 70 40 ∴高二年级所抽人数为 14× =8. 70 3.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 A.7 答案 B 解析 由 题意 知青 年 职工 人 数 ∶ 中年 职工 人 数 ∶ 老 年职 工人 数= 350∶250∶150 = B.15 C.25 D.35 ( ) B.8 C.10 D.12 ( )

7∶5∶3.由样本中青年职工为 7 人得样本容量为 15. 4.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名 学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 7 号、 33 号、46 号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应为 A.13 答案 C 解析 抽样间隔为 46-33=13, 故另一位同学的编号为 7+13=20,选 C. 5.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人,其中高三学生是高一学生的两倍, 1 高二学生比高一学生多 300 人,现在按 的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本,则高 100 一学生应抽取的人数为 A.8 答案 A B.11 C.16 D.10 ( ) B.19 C.20 D.51 ( )

解析 设高一学生有 x 人,则高三学生有 2x 人,高二学生有(x+300)人,学校共有 4x+ 1 300=3 500(人), 解得 x=800(人), 由此可得按 的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本, 100 1 高一学生应抽取的人数为 ×800=8(人),故应选 A. 100 二、填空题 6.(2012· 天津)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分层抽样的方法从这些 学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取________所学校,中学中抽 取________所学校. 答案 18 9 30 30 30 解析 150× =150× =18,75× =9. 250 250 150+75+25 7.将某班的 60 名学生编号为 01,02,?,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本, 且随机抽得的一个号码为 04,则剩下的四个号码依次是________. 答案 16,28,40,52 8.(2012· 福建)一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人,按男女比例用分层抽 样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是 ________. 答案 12 解析 依题意,女运动员有 98-56=42(人). 设应抽取女运动员 x 人,根据分层抽样特点, x 28 得 = ,解得 x=12. 42 98 9.课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数 分别为 4,12,8,若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为________. 答案 2 6 1 解析 由已知得抽样比为 = , 24 4 1 ∴丙组中应抽取的城市数为 8× =2. 4 10.用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1~160 编号, 按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若第 16 组抽出的号码 为 123,则第 2 组中应抽出个体的号码是____________________________. 答案 11 解析 由题意可知,系统抽样的组数为 20,间隔为 8,设第 1 组抽出的号码为 x,则由系 统抽样的法则可知,第 n 组抽出个体的号码应该为 x+(n-1)×8,所以第 16 组应抽出的 号码为 x+(16-1)×8=123, 解得 x=3, 所以第 2 组中应抽出个体的号码为 3+(2-1)×8 =11.

B 组 专项能力提升 1.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法 抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用 简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,?,270,使 用系统抽样时,将学生统一随机编号为 1,2,?,270,并将整个编号依次分为 10 段,如 果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270 关于上述样本的下列结论中,正确的是 A.②、③都不能为系统抽样 C.①、④都可能为系统抽样 答案 D 解析 因为③为系统抽样,所以选项 A 不对;因为②为分层抽样,所以选项 B 不对;因 为④不为系统抽样,所以选项 C 不对,故选 D. 2.(2012· 山东)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问 卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 A.7 答案 C 960 解析 由系统抽样的特点知: 抽取号码的间隔为 =30, 抽取的号码依次为 9,39,69, ?, 32 939.落入区间[451,750]的有 459,489,?,729,这些数构成首项为 459,公差为 30 的等 差数列,设有 n 项,显然有 729=459+(n-1)×30,解得 n=10.所以做问卷 B 的有 10 人. 3.为了解 1 200 名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为 30 的样本, 考虑采取系统抽样,则分段的间隔 k 为________. 答案 40 4. 200 名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取 40 名职工作样本,采用 系统抽样方法,按 1~200 编号分为 40 组,分别为 1~5,6~10,?, 196~200,第 5 组抽取号码为 22,第 8 组抽取号码为________.若 采用分层抽样,40 岁以下年龄段应抽取________人. 答案 37 20 解析 将 1~200 编号分为 40 组,则每组的间隔为 5,其中第 5 组抽取号码为 22,则第 8 B.9 C.10 D.15 ( ) B.②、④都不能为分层抽样 D.①、③都可能为分层抽样 ( )

组抽取的号码应为 22+3×5=37;由已知条件 200 名职工中 40 岁以下的职工人数为 200×50%=100,设在 40 岁以下年龄段中应抽取 x 人, 40 x 则 = ,解得 x=20. 200 100 5.一个总体中有 90 个个体,随机编号 0,1,2,?,89,依从小到大的编号顺序平均分成 9 个 小组,组号依次为 1,2,3,?,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为 9 的样本,规定如果在 第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相 同,若 m=8,则在第 8 组中抽取的号码是________. 答案 76 解析 由题意知:m=8,k=8,则 m+k=16,也就是第 8 组抽取的号码个位数字为 6, 十位数字为 8-1=7,故抽取的号码为 76. 6.某公路设计院有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取 n 个人参加市 里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果 参会人数增加 1 个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体,求 n. 解 总体容量为 6+12+18=36. 36 n 当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为 ,分层抽样的比例是 ,抽取的工程 n 36 n n n n n n 师人数为 ×6= ,技术员人数为 ×12= ,技工人数为 ×18= ,所以 n 应是 6 的倍 36 6 36 3 36 2 数,36 的约数,即 n=6,12,18. 35 35 当样本容量为(n+1)时,总体容量是 35 人,系统抽样的间隔为 ,因为 必须是整 n+1 n+1 数,所以 n 只能取 6.即样本容量 n=6.


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