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【优化方案】2016高考总复习课件(人教A版)高中数学 选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系_图文

选修4-1 几何证明选讲 第2讲 直线与圆的位置关系 1.圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理 (1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 一半 角的__________ . 它所对弧的度数 (2)圆心角定理:圆心角的度数等于_____________________ . 相等 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角__________ ; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等. 直角 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是__________ ;90°的圆 直径 . 周角所对的弦是__________ (3)弦切角定理 圆周角 . 弦切角等于它所夹的弧所对的__________ 推论:弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. 2.圆内接四边形的判定定理和性质定理 定理(或推论) 判定定理 判定定理的推 论 性质定理 内容 互补 如果一个四边形的对角__________ , 那么这 个四边形的四个顶点共圆 如果四边形的一个外角等于它的 内角的对角 , ______________ 那么这个四边形的四个顶 点共圆 圆的内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 3.圆的切线的性质及判定定理 定义、 定理 及推论 定义 判定定理 性质定理 性质定理 的推论 内容 如果一条直线与一个圆有唯一公共点, 则这条直 线叫做这个圆的切线,公共点叫做切点 外端 垂直于 这条半 经过半径的__________ 并且__________ 径的直线是圆的切线 垂直于 经过切点的半径 圆的切线__________ 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 __________ 经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 __________ 4.与圆有关的比例线段 定理 基本图形 条件 结论 应用 (1)在PA、 相交 弦定 理 (1)PA· PB= PB、PC、 弦AB、CD PC· PD __________ PD四线段 相交于圆 (2)△CAP∽ 中知三求 内点P △BDP __________ 一(2)求弦 长及角 名称 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 割线 定理 PAB、PCD 是⊙O的割 线 (1)PA· PB= PC· PD __________ (2)△PAC∽ △PDB __________ (1)求线段 PA、PB、 PC、PD(2) 应用相似求 AC、BD 定理 名称 切割 线定 理 基本图形 条件 结论 应用 (1)PA2= (1)PA、PB、 PA切⊙O于 PB· PC __________ PC知二可 A,PBC是 (2)△PAB∽ 求一(2)求 ⊙O的割线 △PCA 解AB、AC __________ 切线 长定 理 (1)PA= (1)证线段 PB PA、PB是 __________ 相等,已 ⊙O的切线 (2)∠OPA= 知PA,求 ∠OPB __________ PB(2)求角 考点一 圆周角、圆心角、弦切角和圆的切 线问题 考点二 圆内接四边形的判定及性质 考点三 与圆有关的比例线段 考点一 圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题 (1)(2014· 高考江苏卷) 如图,AB 是圆 O 的 直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两 点.证明:∠OCB=∠D. (2)(2015· 唐山市统考)如图,△ABC 内接于⊙O, AB=AC,点 D 在⊙O 上, AD⊥AB,AD 交 BC 于点 E,点 F 在 DA 的延长线 上,AF=AE,求证:BF 是⊙O 的切线. [证明] (1)因为 B,C 是圆 O 上的两点, 所以 OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D. (2)连接 BD. 因为 AD⊥AB,所以 BD 是⊙O 的直径. 因为 AE=AF,所以∠FBA=∠EBA. 又因为 AB=AC,所以∠FBA=∠C. 又因为∠C=∠D,∠D+∠ABD=90°, 所以∠FBA+∠ABD=90°,即∠FBD=90°, 所以 BF 是⊙O 的切线. [规律方法] (1)圆周角定理、 圆心角定理及推论、 弦切角定理 及推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似, 可求线段或角的大小. (2)判定切线通常有三种方法: ①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线; ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线; ③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. ︵ ︵ 1. 如图,已知圆上的弧AC=BD,过 C 点的圆的 切线与 BA 的延长线交于 E 点.求证: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE· CD. ︵ ︵ 证明:(1)因为AC=BD,所以∠BCD=∠ABC.又因为 EC 与 圆相切于点 C ,根据弦切角定理知∠ACE =∠ABC ,所以 ∠ACE=∠BCD. ︵ ︵ (2)因为∠ECA 等于AC所对的圆周角,∠ACB 等于AB所对的 ︵ 圆周角,所以∠ECB 等于 CAB 所对的圆周角,故∠ECB = ∠CDB,又由(1)知∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB, BC CD 故 = ,即 BC2=BE· CD. BE BC 考点二 圆内接四边形的判定及性质 (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB =CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC, 证明:△ADE 为等边三角形. [证明] (1)由题设知 A, B, C, D 四点共圆, 所以∠D=∠CBE, 由已知 CB=CE,得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)如图,设 BC 的中点为 N,连接

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