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高考数学--导数中二次求导的运用


高考数学--导数中二次求导的运用
【理·2010 全国卷一第 20 题】已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0

解析:先看第一问,首先由 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 可知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? , 易得 f ? ? x ? ? ln x ? ? x ? 1?
2

1 1 ? 1 ? ln x ? x x

则由 xf '( x) ? x ? ax ? 1 可知 x ? ln x ?

? ?

1? 2 ? ? x ? ax ? 1 ,化简得 x?

x ln x ? x 2 ? ax , 这时要观察一下这个不等式, 显然每一项都有因子 x , 而 x 又大于零,
所以两边同乘

1 可得 ln x ? x ? a ,所以有 a ? ln x ? x ,在对 g ? x ? ? ln x ? x 求导有 x 1 g? ? x ? ? ?1 , 即当 0 < x < 1 时,g? ? x ? >0,g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上为增函数; 当 x ?1 x

时, g ? x ? ? 0 ;当 1 < x 时, g? ? x ? <0, g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上为减函数。 所以 g ? x ? 在 x ? 1 时有最大值,即 g ? x ? ? ln x ? x ? g ?1? ? ?1 。又因为 a ? ln x ? x , 所以 a ? ?1 。 应该说第一问难度不算大,大多数同学一般都能做出来。再看第二问。 要证 ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,只须证当 0 < x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ;当 1 < x 时, f ? x ? > 0 即 可。

1 ,但用 f ? ? x ? 去分析 f ? x ? 的单调性受阻。我们可以尝试再对 x 1 1 1 f ? ? x ? ? ln x ? 求导,可得 f ?? ? x ? ? ? 2 ,显然当 0 < x ? 1 时, f ?? ? x ? ? 0 ;当 1 < x x x x 1 时, f ?? ? x ? > 0 ,即 f ? ? x ? ? ln x ? 在区间 ?1, ?? ? 上为减函数,所以有当 0 < x ? 1 时, x
由上知 f ? ? x ? ? ln x ?

f ? ? x ? ? f ? ?1? ? 1 , 我 们 通 过 二 次 求 导 分 析 f ? ? x ? 的 单 调 性 , 得 出 当 0 < x ? 1 时 f ? ? x? ? 1 , 则 f ? x ? 在 区 间 ? 0 , 1 ? 上 为 增 函 数 , 即 f ? x? ? f ?1? ? 0 , 此 时 , 则 有
( x ?1) f ( x) ? 0 成立。

下面我们在接着分析当 1 < x 时的情况,同理,当 1 < x 时, f ?? ? x ? > 0 ,即 f ? ? x ? 在 区 间 ?1, ?? ? 上 为 增 函 数 , 则 f ? ? x ? ? f ? ?1? ? 1 , 此 时 , f ? x ? 为 增 函 数 , 所 以

f ? x ? ? f ?1? ? 0 ,易得 ( x ?1) f ( x) ? 0 也成立。
综上, ( x ? 1) f ( x) ? 0 得证。

下面提供一个其他解法供参考比较。 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ln x ?

1 ,则 xf ? ? x ? ? x ln x ? 1 x

题设 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 等价于 ln x ? x ? a 。 令 g ? x ? ? ln x ? x ,则 g ? ? x ? ?

1 ?1 。 x

当 0 < x < 1 时, g? ? x ? > 0 ;当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 , x ? 1 是 g ? x ? 的最大值点,所 以 g ? x ? ? g ?1? ? ?1。 综上, a 的取值范围是 ? ?1, ?? ? 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ? x ? ? g ?1? ? ?1,即 ln x ? x ? 1 ? 0 。 当 0 < x < 1 时, f ? x ? ? ln x ? ? x ln x ? x ? 1? ? ln x ? x ? ln x ?

? ?

1 ? ? 1? x ?

? 1 1 ? ? ln x ? x ? ln ? ? 1? ? 0 ? x x ?
因为 x ? 1 <0,所以此时 ( x ? 1) f ( x) ? 0 。 当 x ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? ? x ln x ? x ? 1? ? ln x ? x ? ln 所以 ( x ? 1) f ( x) ? 0 比较上述两种解法,可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂,思路来得自然流 畅,难度降低,否则,另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论,而且运用了一些代数 变形的技巧,解法显得偏而怪,同学们不易想出。 不妨告诉同学们一个秘密: 熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武 器!

? ?

1 1 ? ? ? 1? ? 0 。 x x ?

【理·2010 安徽卷第 17 题】设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ex ? 2x ? 2a, x ? R 。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a > ln 2 ? 1 且 x > 0 时, e > x ? 2ax ? 1 。
x 2

解析: 第一问很常规, 我们直接看第二问。 首先要构造一个新函数 g ? x ? ? ex ? x2 ? 2ax ?1 , 如果这一着就想不到,那没辙了。然后求导,结果见下表。

g? ? x ? ? ex ? 2x ? 2a ,继续对 g? ? x ? 求导得 g?? ? x ? ? ex ? 2

? 0,ln 2?
g?? ? x ?
?


ln 2

? ln 2, ???
?


0
极小值

g? ? x ?

由上表可知 g? ? x ? ? g? ? ln 2? ,而

g? ? ln 2? ? eln2 ? 2ln 2 ? 2a ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 2 ? a ? ln 2 ?1? ,由 a > ln 2 ? 1 知 g? ? ln 2? > 0 ,所以 g? ? x ? > 0 ,即 g ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上为增函数。
于是有 g ? x ? > g ? 0 ? ,而 g ? 0? ? e0 ? 02 ? 2a ? 0 ?1 ? 0 , 故 g ? x ? > 0 ,即当 a > ln 2 ? 1 且 x > 0 时, e > x ? 2ax ? 1 。
x 2


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