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圆锥曲线基础必备


圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 2.0 版 --tobeenough 圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 -椭 圆 ( 修 正 版 ) 一、椭圆定义 口诀: 椭圆三定义,简称和比积. 注解: 1、 定 义 1: (和 )到 两 定 点 的 距 离 之 和 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 . 定 点 为 焦 点 , 定 值 为 长 轴 . ( 定 值 = 2a ? 2c = 焦 距 ) 如 图 ,设 P 为 椭 圆 上 一 点 , F1 和 F2 为 两 个定点,则:
PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2
(1 ? 1)

P F1 F2

(1 ? 1) 式 就 是 椭 圆 和 为 定 值 的 定 义 式 .

2、 定 义 2: (比 )到 定 点 和 到 定 直 线 的 距 离 之 比 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 .定 点 为 焦 点 , 定 直 线 为 准 线 , 定 值 为 离 心 率 .( 定 值 = e ? 1 ) 如图,设 P 为椭圆上一点, P 点到定直 线 ( 准 线 ) 的 距 离 为 PS ? p , P 点 到 定 点 ( 焦 点 ) F 的 距 离 为 PF , 则 :
PF ?e?1 PS
(1 ? 2 )

S F1

P F2

(1 ? 2 ) 式 就 是 椭 圆 比 为 定 值 的 定 义 式 .

3、 定 义 3: (积 )到 两 定 点 连 线 的 斜 率 之 积 为 定 值 的 点 的 轨 迹 是 椭 圆 . 定 点 为 短 轴 顶 点 , 定 值 为 负 值 . ( 定 值 k ? e2 ? 1 ) 如 图 , 设 P 为 椭 圆 上 一 点 ( A, B 除 外 ) , A, B 为 椭 圆 的 两 个 短 轴 顶 点 . 若 直 线 PA 的 斜 率 为 k1 ,直 线 PB 的 斜 率 为 k 2 ,则 : k1k2 ? e 2 ? 1
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(1 ? 3)

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

(1 ? 3) 式 就 是 椭 圆 积 为 定 值 的 定 义 式 .

证 明 : 设 P ( x, y ) , 则 A(0, b) 、 B(0, ?b) 则 直 线 PA 的 斜 率 为 : k1 ? 直 线 PB 的 斜 率 为 : k2 ? 那 么 : k ? k1 k 2 ?
yP ? y A y ? b ? xP ? x A x

A

y P ? yB y ? b ? xP ? xB x
B

P

y ? b y ? b y 2 ? b2 ? ? x x x2



x2 y2 x 2 y 2 ? b2 b2 y 2 ? b2 由 椭 圆 方 程 : 2 ? 2 ? 1, 即 : 2 ? ? 0,即: 2 ? ?0, a b a b2 a x2

即:

y 2 ? b2 b2 c 2 ? a 2 ? ? ? ? e2 ? 1 2 2 2 x a a



将 ② 代 入 ① 得 : k ? k1k2 ? e 2 ? 1 ? 0 . 二、椭圆的性质定理 口诀: 长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理① 准线方程准焦距, a 方、 b方除以 c ② 通径等于 2 e
p,切线方程用代替③

焦三角形计面积,半角正切连乘 b④ 注解: 1、 长 轴 短 轴 与 焦 距 , 形 似 勾 股 弦 定 理
2 2 2 长 轴 ? 2a , 短 轴 ? 2b , 焦 距 ? 2c , 则 : a ? b ? c

2、 准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c 准线方程: x ?

a2 c

( a 方除以 c ) ( b 方除以 c )

b2 准 焦 距 p : (焦 准 距 )焦 点 到 准 线 的 距 离 : p ? c
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圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

3、 通 径 等 于 2

e p,切线方程用代替

椭 圆 的 通 径 d :过 焦 点 垂 直 于 长 轴 的 直 线 与 椭 圆 的 两 交 点 之 间 的 距

c b 2 2b 2 离 称 为 椭 圆 的 通 径 . ( 通 径 d ? 2ep ? 2 ? ? ? ) a c a
过 椭 圆 上 ( x0 , y0 ) 点 的 切 线 方 程 , 用 ( x0 , y0 ) 等 效 代 替 椭 圆 方 程 得 到 . 等效代替后的是切线方程是:

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

4、 焦 三 角 形 计 面 积 , 半 角 正 切 连 乘 b 焦 三 角 形 :以 椭 圆 的 两 个 焦 点 F1 , F2 为 顶 点 ,另 一 个 顶 点 P 在 椭 圆 上 的三角形称为 焦三角形.
2 半 角 是 指 ? ? ?F1 PF2 的 一 半 . 则 焦 三 角 形 的 面 积 为 : S ? b tan

?
2

证 明 : 设 PF1 ? m , PF2 ? n , 则 m ? n ? 2a .
2 2 2 2 2 2 2 由 余 弦 定 理 : m ? n ? 2mn ? cos? ? 4c ? 4a ? 4b ? (m ? n) ? 4b

2 2 即 : ?2mn ? cos? ? 2mn ? 4b , 即 : 2b ? (1 ? cos? )mn .

2b 2 即 : mn ?| PF1 || PF2 |? 1 ? cos ?

y P

故 : S△F1 PF2

1 ? m ? n ? sin ? 2

m
F1
O

n
F2

x

1 2b 2 sin ? ? ? ? sin ? ? b 2 ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?
2 sin cos sin ? 2 2 ? tan ? ? 又: 1 ? cos ? ? 2 2 cos 2 2

?

?

2 所 以 : 椭 圆 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 S?F1 PF2 ? b tan 2 .

?

三、椭圆的相关公式
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口诀: 切线平分焦周角,称为弦切角定理① 切点连线求方程,极线定理须牢记② 弦与中线斜率积,准线去除准焦距③ 细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④ 注解: 1、 切 线 平 分 焦 周 角 , 称 为 弦 切 角 定 理 弦切角定理 :切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角. 焦周角 是焦点三角形中,焦距所对应的角. 弦 切 角 是 指 椭 圆 的 弦 与 其 切 线 相 交 于 椭 圆 上 时 它 们 的 夹 角 ,当 弦 为 焦点弦 时(过焦点的弦),那么 切线是两个焦点弦的角平分线 . 证明:如图所示,红色直线为切线. 设 P 点 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 则 :
x x y y 切 线 的 方 程 : 02 ? 02 ? 1 a b

P ? 1 ?2 F1 F2

b 2 x0 切线的斜率: k ? ? 2 a y0

PF1 的 斜 率 : k1 ?

y0 y yP ? y1 y ?y , PF2 的 斜 率 : k2 ? P 2 ? 0 ? x P ? x1 x0 ? c x P ? x2 x0 ? c

y0 b 2 x0 ? a 2 y0 2 ? b 2 x0 ( x0 ? c ) (a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 ) ? b 2 cx0 x0 ? c a 2 y0 k1 ? k ? ? 则 : tan ? 1 ? ? y0 b2 x a 2 y0 ( x0 ? c ) ? b 2 x0 y0 (a 2 x0 y0 ? b 2 x0 y0 ) ? a 2cy0 1 ? k1 k 1? ? 2 0 x0 ? c a y0

a 2 b 2 ? b 2 cx0 b 2 (a 2 ? cx0 ) b 2 ? 2 ? ? c x0 y0 ? a 2 cy0 cy0 (cx0 ? a 2 ) cy0
?



b 2 x0 y0 ? 2 b 2 x0 ( x0 ? c ) ? a 2 y0 2 a y0 x0 ? c k ? k2 ? ? 而 : tan ? 2 ? ? b2 x y a 2 y0 ( x0 ? c ) ? b 2 x0 y0 1 ? kk2 1? 2 0 ? 0 a y0 x0 ? c
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??

(b 2 x0 2 ? a 2 y0 2 ) ? b 2 cx0 a 2 b 2 ? b 2 cx0 b 2 (a 2 ? cx0 ) b 2 ? ? ? ? ? (a 2 x0 y0 ? b 2 x0 y0 ) ? a 2 cy0 c 2 x0 y0 ? a 2 cy0 cy0 (cx0 ? a 2 ) cy0



由 ① ② 式 可 得 : tan?1 ? tan? 2 , 即 : ? 1 ? ? 2 . 即:切线是两个焦点弦的角平分线 . 2、 切 点 连 线 求 方 程 , 极 线 定 理 须 牢 记 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 外 , 则 过 P0 作 椭 圆 的 两 条 切 线 , 切 点 为

P1 , P2 , 则 点 P0 和 切 点 弦 P1 , P2 分 别 称 为 椭 圆 的 极 点 和 极 线 .

切 点 弦 P1 P2 的 直 线 方 程 即 极 线 方 程 :
x0 x a
2

?

y0 y b2

P1

P0

? 1 (称 为 极 线 定 理 )
O P2

当 极 点 P0 在 椭 圆 上 时 ,该 点 的 切 线 就 是 极线,切线方程就是极线方程. 3、 弦 与 中 线 斜 率 积 , 准 线 去 除 准 焦 距

弦 指 椭 圆 内 的 一 弦 AB . 中 线 指 弦 AB 的 中 点 M 与 原 点 O 的 连 线 , 即
?OAB 得 中 线 . 这 两 条 直 线 的 斜 率 的 乘 积 , 等 于 准 线 距 离 xc ? ?
a2 去 c

p b b2 ?? 2 除 准 焦 距 ( 焦 准 距 ) p ? , 其 结 果 是 : k AB ? kOM ? xc a c
证 明 : 如 图 所 示 , 因 为 A, B 在 椭 圆 上 , 故 :
x A2 yA2 xB 2 yB 2 ? ? 1 ? 2 ?1 , a2 b2 a2 b
O A M
2 2 2

2

x ?x y ?y 上面两式相减得: A 2 B ? A 2 B ? 0 a b
2

B

即:

y A 2 ? yB 2 b2 ? ? x A 2 ? xB 2 a2





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直 线 AB 的 斜 率 为 : k AB ? 中点 M 的坐标为: (

y A ? yB x A ? xB



x A ? xB y A ? yB , ) 2 2

则 中 线 OM 的 斜 率 为 : kOM ? 由 ② ③ 得 : k AB kOM

y A ? yB x A ? xB

③ ④

y A ? yB y A ? yB y A 2 ? yB 2 ? ? ? x A ? xB x A ? xB x A 2 ? xB 2 b2 p . 证毕. ? 2 a xc

由 ① ④ 得 : k AB kOM ? ?

4、 细 看 中 点 弦 方 程 , 恰 似 弦 中 点 轨 迹 中 点 弦 AB 的 方 程 :在 椭 圆 中 ,若 弦 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) , 弦 AB 称
x0 x y0 y x0 2 y0 2 为 中 点 弦 , 则 中 点 弦 的 方 程 就 是 a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 , 是 直 线 方

程. 5 、 中 点 弦 AB 的 方 程 的 证 明 : A> 设 椭 圆 方 程 为 :
x2 y2 ? ?1 a 2 b2

① ②

中 点 弦 AB 的 方 程 为 : y ? kx ? m

两 者 相 交 于 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) , 则 AB 的 中 点 M ( x0 , y0 ) 坐 标 满 足 :
x0 ? x1 ? x 2 y ?y , y0 ? 1 2 2 2



则 : y0 ? kx0 ? m 故 : m ? y0 ? kx0 ④
x 2 ( kx ? m )2 ? ?1 a2 b2

B> 将 ② 代 入 ① 得 :

1 k 2 2 2kmx m 2 ? b 2 ?0 即 : ( 2 ? 2 )x ? 2 ? a b b b2
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圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

即: (

b2 ? k 2 ) x 2 ? 2kmx ? ( m 2 ? b 2 ) ? 0 2 a
2km b2 ? k2 2 a


?? 2kma 2 b2 ? k 2a 2

C> 由 韦 达 定 理 得 : x1 ? x2 ? ?

故 : x0 ?

x1 ? x2 kma 2 ?? 2 2 b ? k 2a 2

即 : (b2 ? k 2 a 2 ) x0 ? ? ka 2 m



D> 将 ④ 代 入 ⑥ 式 得 : (b2 ? k 2 a 2 ) x0 ? ? ka 2 ( y0 ? kx0 ) 即 : b2 x0 ? k 2a 2 x0 ? ?ka 2 y0 ? k 2 a 2 x0 , 即 : b2 x0 ? ? ka 2 y0 故: k ? ?
b 2 x0 a 2 y0



E> 将 ⑦ 代 入 ④ 式 得 :
m ? y0 ? kx0 ? y0 ? b 2 x0 2 a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 ? a 2 y0 a 2 y0



将⑦⑧代入②式得: y ? ?

b 2 x0 a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 x ? a 2 y0 a 2 y0

即 : a 2 y0 y ? ?b2 x0 x ? a 2 y0 2 ? b2 x0 2 即 : b2 x0 x ? a 2 y0 y ? b2 x0 2 ? a 2 y0 2
x0 x y0 y x0 2 y0 2 即: 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b a b

证毕.

弦 中 点 M 的 轨 迹 方 程 :在 椭 圆 中 ,过 椭 圆 内 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 弦 AB ,其
x0 x y0 y x2 y2 ? ? ? 中 点 M 的 方 程 就 是 a2 b2 a2 b2 , 仍 为 椭 圆 .

6、 弦 中 点 M 的 轨 迹 方 程 的 证 明 :
x2 y2 A> 设 椭 圆 方 程 为 : 2 ? 2 ? 1 a b



过 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 方 程 为 : y ? y0 ? k ( x ? x0 )
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即 : y ? kx ? ( y0 ? kx0 ) , 记 : m ? y0 ? kx0 则 : y ? kx ? m ③



B> 设 AB 中 点 M 的 坐 标 为 ( xM , yM ) 则 : yM ? kxM ? m ④
kma 2 b2 ? k 2a 2

借 用 上 题 的 结 果 : xM ? ?

ka 2 将 ④ 代 入 上 式 得 : xM ? ? 2 2 2 ( yM ? kxM ) b ?k a

即 : b2 xM ? k 2a 2 xM ? ?ka 2 yM ? k 2a 2 xM 即 : b2 xM ? ?ka 2 yM , 故 : k ? ?
b2 xM a 2 yM



b2 xM b2 xM C> 将 ⑤ 和 ② 代 入 ④ 式 得 : yM ? ? 2 xM ? ( y0 ? 2 x0 ) a yM a yM

即 : a 2 yM 2 ? ?b2 xM 2 ? a 2 yM y0 ? b2 xM x0 , 即 : a 2 yM 2 ? b2 xM 2 ? a 2 yM y0 ? b2 xM x0 即:
yM 2 xM 2 yM y0 x M x0 ? 2 ? ? 2 b2 a b2 a



⑥式就是弦中点 M 的轨迹方程. 证毕. 中 点 弦 方 程 和 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 ,这 两 个 方 程 有 些 相 似 ,要 擦 亮 眼 睛,千万不要搞混了.

圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 2.0 版 --tobeenough 圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 -双 曲 线 (修 正 版 ) 一、双曲线定义 口诀: 双曲线有四定义,差比交线反比例
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注解: 1 、 定 义 1 : ( 差 ) 平 面 内 , 到 两 个 定 点 F1 ,F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 定 值

2a ? F1 F2 的 点 的 轨 迹 称 为 双 曲 线 .
定 点 F1 ,F2 叫 双 曲 线 的 焦 点 . 即 : PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2
( 2 ? 1)

P

F1

O

F2

( 2 ? 1) 就 是 差 为 定 值 的 双 曲 线 的 定 义 式 .

2、 定 义 2: (比 )平 面 内 , 到 给 定 一 点 及 一 直 线 的 距离之比 为定值 e ? 1的点的轨迹称为 双 曲 线 . 定 点 F1 ,F2 叫 双 曲 线 的 焦 点 . 定直线 L叫双曲线的 准线. 如图所示,
PF2 PS ?e?1
( 2 ? 2)

P S F1 O L F2

( 2 ? 2) 式 就 是 比 为 定 值 的 双 曲 线 定 义 式 .

3 、定 义 3 :( 交 线 ) 一 平 面 截 一 圆 锥 面 ,当 截 面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面 的 两 个 圆 锥 都 相 交 时 ,交 线 称 为 双 曲 线 . 如图所示,蓝色线为圆锥面,红色线为 平面,红色面与蓝色面的交线就是 双曲 线. 这就是本双曲线的定义. 实际上,椭圆和抛物线 也有这样的定 义,所以将它们统一称为“ 圆锥曲线”. 4、 定 义 4: (反 比 例 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 反 比 例 函 数

y?

k 的图象称为双曲线. x
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证明:反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.

x2 y2 证 明 :因 为 xy ? k 的 对 称 轴 是 y ? x , y ? ? x ,而 2 ? 2 ? 1 的 对 称 轴 是 a b

x 轴 , y 轴 , 所 以 应 该 旋 转 45 o .
设旋转的角度为 ? ( ? ?0,顺时针) 则 有 : X ? x cos ? ? y sin ? , Y ? ? x sin ? ? y cos ? 取 ? ? 45 o , 则 :

X 2 ? Y 2 ? ( x cos 45 o ? y sin 45 o )2 ? ( x sin 45 o ? y cos 45 o )2
? 1? 2 2 x ? y ? ? ? x ? y ? ? ? 2 xy ? ? 2?

而 xy ? k , 所 以 , X 2 ? Y 2 ? 2 xy ? 2k
X2 Y2 ? ? 1 ( k ? 0 )或 即: 2k 2k
Y2 X2 ? ?1 (k ?0) ( ?2k ) ( ?2k )

由 此 证 得 , 反 比 例 函 数 其 实 就 是 双 曲 线 的 一 种 形 式 ,只 不 过 是 双 曲 线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式. 二、双曲线的性质定理 口诀: 实轴虚轴与焦距,形似勾股弦定理① 准线方程准焦距, a 方、 b方除以 c ② 通径等于 2

e p,切线方程用代替③

焦三角形计面积,半角余切连乘 b④ 注解: 1、 实 轴 虚 轴 与 焦 距 : 形 似 勾 股 弦 定 理
2 2 2 实 轴 ? 2a , 虚 轴 ? 2b , 焦 距 ? 2c , 则 : a ? b ? c

与勾股弦定理形似.
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2、 准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c

a2 准线方程: x ? ? c

( a 方除以 c )

b2 准 焦 距 (焦 准 距 ) p : 焦 点 到 准 线 的 距 离 : p ? ( b 方除以 c ) c
3、 通 径 等 于 2

e p,切线方程用代替

双 曲 线 的 通 径 d :过 焦 点 垂 直 于 长 轴 的 直 线 与 双 曲 线 的 两 交 点 之 间

c b 2 2b 2 的 距 离 称 为 双 曲 线 的 通 径 . ( 通 径 d ? 2ep ? 2 ? ? ? ) a c a
过 双 曲 线 上 P0 ( x0 , y0 ) 点 的 切 线 方 程 ,用 P0 ( x0 , y0 ) 等 效 代 替 双 曲 线 方 程 得到,等效代替后的是切线方程是: 4、 焦 三 角 形 计 面 积 , 半 角 余 切 连 乘 b 焦 三 角 形 :以 双 曲 线 的 两 个 焦 点 F1 , F2 为 顶 点 ,另 一 个 顶 点 P 在 椭 圆 上 的 三 角 形 称 为 焦 三 角 形 . 半 角 是 指 ? ? ?F1 PF2 的 一 半 .
x2 y2 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , a b

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

点 P 为 双 曲 线 上 异 于 顶 点 任 意 一 点
?F1 PF2 ? ?

,则双曲线的焦点三角形满足:

2b 2 PF1 PF2 ? 1 ? cos ?
2 其 面 积 为 ; S?F1 PF2 ? b co t 2 .

?

证 明 : 设 PF1 ? m, PF2 ? n , 则 m ? n ? 2a 在 ?F1 PF2 中 , 由 余 弦 定 理 得 :
PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ? ? F1 F2
第 11
2 2 2



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2 2 2 2 2 2 2 即 : m ? n ? 2mn ? cos ? ? 4c ? 4a ? 4b ? (m ? n) ? 4b 2 即 : 2mn ? 2mn ? cos ? ? 4b

2 即 : 2b ? mn(1 ? cos ? )

2b 2 即 : mn ? 1 ? cos ?
即 : PF1 PF2 ?
2b 2 1 ? cos ?

那么,焦点三角形的面积为:
S?F1 PF2

1 2b 2 1 ? ? ? sin ? ? mn ? sin ? 2 1 ? cos ? 2

2 sin cos b sin ? 2 2 2 ? 2 ? ?b ? ? b cot ? 1 ? cos ? 2 2 sin 2 2
2

?

?

2 故: S?F1 PF2 ? b cot 2

?

同 时 : S?F1 PF2

1 b2 ? ? F1 F2 ? yP ? c ? yP , 故 : y p ? ? ? cot 2 c 2
?
2

2 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 : S?F1 PF2 ? b co t

.

三、双曲线的相关公式 口诀: 切线平分焦周角,称为弦切角定理① 切点连线求方程,极线定理须牢记② 弦与中线斜率积,准线去除准焦距③ 细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④ 注解:
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1、 切 线 平 分 焦 周 角 , 称 为 弦 切 角 定 理 弦切角定理 :切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角. 焦周角 是焦点三角形中,焦距所对应的角. 弦 切 角 是 指 双 曲 线 的 弦 与 其 切 线 相 交 于 双 曲 线 上 时 它 们 的 夹 角 ,当 弦为焦点弦时(过焦点的弦),则: 切线是两个焦点弦的角平分线 . 如 图 , ?F1 PF2 是 焦 点 三 角 形 , ?F1 PF2 为 焦 周 角 , PT 为 双 曲 线 的 切 线 . 则 PT 平 分 ?F1 PF2 . 证 明 : 设 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 即 : b2 x0 2 ? a 2 y0 2 ? a 2 b2
x0 2 y0 2 x2 y2 上 , 则 : ? ? 1 ? 2 ?1 a 2 b2 a2 b

y

P

F1

T

F2

x


x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

P ( x0 , y0 ) 点 的 切 线 方 程 为 :

切 线 PT 的 斜 率 为 : k ?
PF1 的 斜 率 为 : k1 ? PF2 的 斜 率 为 : k2 ?

b 2 x0 a 2 y0

② ③ ④

y0 yP ? y1 ? x P ? x1 x0 ? c y0 y P ? y2 ? x P ? x2 x0 ? c

设 直 线 PT 与 PF1 的 夹 角 为 ? 1 , 直 线 PT 与 PF2 的 夹 角 为 ? 2 则 : tan ? 1 ?
k ? k1 1 ? kk1



将②③代入⑤得:
b 2 x0 y0 ? 2 b 2 x0 2 ? a 2 y0 2 ? b 2 cx0 a y0 x0 ? c b 2 x0 ( x0 ? c ) ? a 2 y0 2 ? tan ? 1 ? ? b 2 x0 y0 a 2 y0 ( x0 ? c ) ? b 2 x0 y0 a 2 x0 y0 ? b 2 x0 y0 ? a 2 cy0 1? 2 ? a y0 x0 ? c
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圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

将 ① 式 和 a 2 ? b2 ? c 2 代 入 上 式 得 :
tan ? 1 ? a 2 b 2 ? b 2 cx0 b 2 (a 2 ? cx0 ) b 2 ? ? c 2 x0 y0 ? a 2 cy0 cy0 (cx0 ? a 2 ) cy0



而 : tan ? 2 ?

k2 ? k 1 ? k2 k



将②④代入⑦式得:
y0 b2 x ? 2 0 a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 ? b 2 cx0 x ? c a y0 a 2 y0 2 ? b 2 x0 ( x0 ? c ) ? tan ? 2 ? 0 ? y0 b 2 x0 a 2 y0 ( x0 ? c ) ? b 2 x0 y0 a 2 x0 y0 ? b 2 x0 y0 ? a 2 cy0 1? ? x0 ? c a 2 y0

将 ① 式 和 a 2 ? b2 ? c 2 代 入 上 式 得 :
? a 2 b 2 ? b 2 cx0 b 2 (cx0 ? a 2 ) b 2 tan ? 2 ? 2 ? ? c x0 y0 ? a 2 cy0 cy0 (cx0 ? a 2 ) cy0



由 ⑥ 和 ⑧ 式 得 : tan?1 ? tan? 2 由 于 ?1 ,? 2 ? (0, ? ) , 故 : ? 1 ? ? 2 即:切线是两个焦点弦的角平分线 . 证毕. 2、 切 点 连 线 求 方 程 , 极 线 定 理 须 牢 记 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1外,以包
y

P1 P0

含 焦 点 的 区 域 为 内 ,不 包 含 焦 点 的 区 域 为 外 ,则 过 P0 作 双 曲 选 的 两 条 切 线 ,切 点 为 P1 、 P2 , 则 点 P0 和 切 点 弦 P1 P2 分 别 称 为 双 曲 线 的 极 点 和 极 线 , 切 点 弦 P1 P2 的直线方程即 极线方程 是:
x0 x a2 ? y0 y b2 ? 1(称为 极线定理 )

F1

O

P2

F2

x

3、 弦 与 中 线 斜 率 积 , 准 线 去 除 准 焦 距
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圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

弦 指 双 曲 线 内 的 一 弦 AB . 中 线 指 弦 AB 的 中 点 M 与 原 点 O 的 连 线 , 即 ?OAB 得 中 线 . 这两条直线的斜率的乘积,等于准线距
a2 b2 x ? 离 c 去 除 准 焦 距 (焦 准 距 ) p ? c c
F1
A
O

y
M

B

F2 x

其 结 果 是 : k AB ? kOM ?

p b2 ? xc a 2

证 明 : 如 图 所 示 , 因 为 A, B 在 双 曲 线 上 , 故:
x A2 yA2 xB 2 yB 2 , ? ? 1 ? 2 ?1 a2 b2 a2 b
A

y
M

B

x 2?x 2 y 2?y 2 上面两式相减得: A 2 B ? A 2 B ? 0 a b

即:

y A 2 ? yB 2 b 2 ? x A 2 ? xB 2 a 2

F1

O

F2 x


y A ? yB x A ? xB

直 线 AB 的 斜 率 为 : k AB ? 中点 M 的坐标为: (



x A ? xB y A ? yB , ) 2 2

则 中 线 OM 的 斜 率 为 : kOM ? 由 ② ③ 得 : k AB kOM ? 由 ① ④ 得 : k AB kOM

y A ? yB x A ? xB

③ ④

y A ? yB y A ? yB y A 2 ? yB 2 ? ? x A ? xB x A ? xB x A 2 ? xB 2

b2 p ? 2 ? . 证毕. a xc

4、 细 看 中 点 弦 方 程 , 恰 似 弦 中 点 轨 迹 中 点 弦 AB 的 方 程 :在 双 曲 线 中 ,若 弦 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) ,称 弦 AB 为中点弦,则中点弦的方程就是:
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圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

x0 x a2

?

y0 y b2

?

2 x0

a2

?

2 y0

b2

,它是直线方程.

弦 中 点 M 的 轨 迹 方 程 : 在 双 曲 线 中 , 过 双 曲 线 外 一 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 弦

AB , 其 AB 中 点 M 的 方 程 就 是 :
x0 x y0 y x2 y2 ? ? ? ,仍为双曲线. a2 b2 a2 b2

这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不要搞混了. 5 、 中 点 弦 AB 的 方 程 的 证 明 : A> 设 双 曲 线 方 程 为 :
x2 y2 ? ?1 a 2 b2

① M ② A B

中 点 弦 AB 的 方 程 为 : y ? kx ? m 两 者 相 交 于 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 则 AB 的 中 点 M ( x0 , y0 ) 坐 标 满 足 :
x0 ? x1 ? x 2 y ?y , y0 ? 1 2 2 2

O

③ ④

则 : y0 ? kx0 ? m , 故 : m ? y0 ? kx0 B> 将 ② 代 入 ① 得 :
x 2 ( kx ? m )2 ? ?1 a2 b2

1 k 2 2 2kmx m 2 ? b 2 ?0 即 : ( 2 ? 2 )x ? 2 ? a b b b2

即: (

b2 ? k 2 ) x 2 ? 2kmx ? ( m 2 ? b 2 ) ? 0 2 a
2km b2 ? k2 a2 ?


2kma 2 b2 ? k 2a 2

C> 由 韦 达 定 理 得 : x1 ? x2 ?

x1 ? x2 kma 2 ? 2 故 : x0 ? 2 b ? k 2a 2

即 : (b2 ? k 2 a 2 ) x0 ? ka 2 m


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圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

D> 将 ④ 代 入 ⑥ 式 得 : (b2 ? k 2 a 2 ) x0 ? ka 2 ( y0 ? kx0 ) 即 : b2 x0 ? k 2a 2 x0 ? ka 2 y0 ? k 2a 2 x0 即 : b2 x0 ? ka 2 y0 故: k ?
b 2 x0 a 2 y0



E> 将 ⑦ 代 入 ④ 式 得 :
m ? y0 ? kx0 ? y0 ? b 2 x0 2 a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 ? a 2 y0 a 2 y0



将⑦⑧代入②式得: y ?

b 2 x0 a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 x ? a 2 y0 a 2 y0

即 : a 2 y0 y ? b2 x0 x ? a 2 y0 2 ? b2 x0 2 即 : b2 x0 x ? a 2 y0 y ? b2 x0 2 ? a 2 y0 2
x0 x y0 y x0 2 y0 2 即: 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b a b

证毕.

6、 弦 中 点 M 的 轨 迹 方 程 的 证 明 : A> 设 双 曲 线 方 程 为 :
x2 y2 ? ?1 a 2 b2



过 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 方 程 为 : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 即 : y ? kx ? ( y0 ? kx0 ) 记 : m ? y0 ? kx0 则 : y ? kx ? m ② ③

B> 设 AB 中 点 M 的 坐 标 为 ( xM , yM ) 则 : yM ? kxM ? m ④

kma 2 借 用 上 题 的 结 果 : xM ? 2 2 2 b ?k a



17



圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

将 ④ 代 入 上 式 得 : xM ?

ka 2 ( y ? kxM ) b2 ? k 2a 2 M

即 : b2 xM ? k 2a 2 xM ? ka 2 yM ? k 2a 2 xM 即 : b2 xM ? ka 2 yM
b2 xM 故: k ? 2 a yM


b2 xM b2 xM x ? ( y ? x ) 0 a 2 yM M a 2 yM 0

C> 将 ⑤ 和 ② 代 入 ④ 式 得 : yM ?

即 : a 2 yM 2 ? b2 xM 2 ? a 2 yM y0 ? b2 xM x0 即 : a 2 yM 2 ? b2 xM 2 ? a 2 yM y0 ? b2 xM x0 即:
yM 2 xM 2 yM y0 xM x0 ? 2 ? ? 2 b2 a a2 b



⑥式就是弦中点 M 的轨迹方程. 证毕.

圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 2.0 版 --tobeenough 圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 -抛 物 线 (修 正 版 ) 一、抛 物 线 定义 口诀: 抛物线,有定义,定点定线等距离 注解: 1 、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为 抛物线 . 定点为抛物线的 焦点 , 定直线为抛物线的 准线 . 2 、二次函数的图象是 抛物线 . 3 、平面与圆锥相截,除了圆、椭圆、双曲线外,还 有 抛物线 .
第 18 页

?

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

二、抛物线性质 口诀: 焦点准线极点线①,两臂点乘积不变② 焦弦切线成直角,切点就是两端点③ 端点投影在准线,连结焦点垂直线④ 焦弦垂直极焦线⑤,切线是角平分线⑥ 直角梯形对角线,交点就是本原点⑦ 焦弦三角计面积,半个 p 方除正弦⑧ 注解: 1 、 焦点准线极点线 抛物线的焦点和准线是一对极点和极线 . 抛物线方程: y 2 ? 2 px ,焦点 F ( , 0 ) ,准线 x p ? ?
p 2 p 2 p 2 p 2

抛物线的顶点 O(0, 0 ) 到定点 F ( , 0 ) 和定直线 x p ? ? 距离相等 . 所以, p 称为 焦准距 ,是焦点到准线的距离 . 焦弦 :过焦点的直线与抛物线相交于两点 A 和 B , 则 AB 称为 焦弦 . 弦中点 M ( xM , yM ) , x M ?
p 2 x A ? xB y ?y , yM ? A B 2 2

A
?

F

B

焦弦方程 : y ? k ( x ? ) , k 为斜率 . 2 、 两臂点乘积不变 焦点三角形两边 OA 和 OB 的点乘积为定值,且夹角是钝角 . 证明: A> 焦弦 AB 满足的条件
第 19 页

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

抛物线方程: y 2 ? 2 px
p 2

① A

因为焦弦 AB 过焦点 F ( , 0 ) , 故其方程: y ? k ( x ? )
p 2

② O B ③
p2 4
p ? ? p2 2

p 由①②消去 y 得: k 2 ( x ? )2 ? 2 px 2

?

F

即: k 2 x 2 ? (k 2 ? 2 ) px ?

k p ?0 4

2 2

B> 方程③由韦达定理得: x A xB ?

则: y A yB ? ? 2 px A ? 2 pxB ? ?2 p x A xB ? ?2 p ? 则: y A yB ? ? p2
2

① ②
3 4

p2 且 2 p x A xB ? p ,即: x A xB ? 4
??? ? ??? ?

且: OA ? OB ? ( x A , y A ) ? ( xB , yB ) ? x A xB ? y A yB ? ? p 2 ? 0 . 故: 焦点三角形两边之点乘积为定值 . 3 、 焦弦切线成直角,切点就是两端点 即: 焦弦两端点 A, B 的切线互相垂直 . 证明: 如图,由抛物线方程: y 2 ? 2 px 求导数: yy ' ? p ,即: y ' ? 故斜率: k AE ?
p p , k BE ? yA yB
p p p2 ? ? y A yB y A yB
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D E F
C

A M B

p y

于是: k AE ? kBE ?

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

由上题①式 y A yB ? ? p2 代入上式得: k AE ? kBE ? ?1 即: AE ? BE
???? ????

故: 在焦弦端点 A, B 的切线互相垂直 . 4 、 端点投影在准线,连结焦点垂直线 即: 焦弦端点 A, B 在准线的投影点 D, C 与焦点 F 构成直角三角形 . 证明:准线方程 x ? ?
p 2

p p 故坐标 C ( ? , yB ) , D( ? , y A ) 2 2

D E F
C

A M B

p 因为焦点 F ( , 0 ) 2 ???? ???? 故: CF ? ( p, ? yB ) , DF ? ( p, ? y A )

于是: CF ? DF ? p2 ? y A yB 将上题①式 y A yB ? ? p2 代入上式得: CF ? DF ? 0 故: CF ? DF
???? ???? ???? ???? ???? ????

???? ????

即:焦弦端点 A, B 在准线的投影点 D, C ,则 CF ? DF . 即: 焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形 . 5 、 焦弦垂直极焦线⑤,切线是角平分线⑥ 若焦弦 AB 对应的极点 E ,则 EF 为 极焦线 ,于是: EF ? AB . 证明: A> 因为极线 AB 过焦点 F , 焦点与准线是一对 极点和极线,而 E 点是 AB 的极点,所以由 自极三点形 可知: E 点在准线上 . 切线 AE 的斜率为: k AE ? y ' y ?
0

D E F M

A

p y0



C

B

焦弦 AB 的斜率为:
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圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

k AB ?

y0 2 y0 2 py0 2 py y A ? yF ? ? ? ? 2 02 2 x A ? xF x ? p 2 x0 ? p 2 px0 ? p y0 ? p 0 2

p y0 2k AE ? ? 2 p 1 ? k AE 2 1? 2 y0 2



由①②可知, AE 平分 ?DAB ,即: ?DAE ? ?EAB 故: 切线是角平分线⑥ B> 由抛物线定义知: AD ? AF 故: ED ? EF 同理: EC ? EF ⑤ ⑥ ⑦ ④



则: E 为 CD 的中点 , 故: ED ? EF ? EC

C> 设抛物线方程: y 2 ? 2 px ,直线 AB 方程: y ? k ( x ? ) 则: x ? ?
y k p 2
y k p 2 2 py ? p2 k

p 2

故 A, B 点满足的方程为: y 2 ? 2 px ? 2 p( ? ) ? 即: y 2 ?
2 py ? p2 ? 0 k
2p k

由韦达定理得: y A ? yB ? 由于 E (? ,
????



p p y A ? yB p p ) ? (? , ) , F ( , 0 ) 2 2 2 2 k p k

所以 EF ? ( p, ? ) ,而 AB ? T (1, k ) 故: EF ? AB ? T ( p, ? ) ? (1, k ) ? 0 故: 焦弦垂直极焦线⑤ . 证毕 . 6 、 直角梯形对角线,交点就是本原点
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????

???? ????

p k

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

即: 直角梯形 ABCD 对角线相交于原点 即: A, O, C 三点共线; B, O, D 三点共线 . 用向量法证明: OA / / CO , OB / / DO 证明: 向量法 ,如图
2 2 yA yB 由坐标 A( , y A ) , B( , yB ) 2p 2p

??? ?

??? ?

??? ?

????

D E F
C

A M

B

C (?

p p , y B ) , D( ? , y A ) 2 2
2 ??? ? yA p , y A ) , CO ? ( , ? yB ) 2 2p

向量: OA ? (

??? ?

2 yA ??? ? ??? ? 2 2 (OA) y (OA) x 2 p y A y yA ? ? A ? 各分量之比: ???? ? ? 2 , ??? p p (CO ) x (CO ) y ? yB ? y A yB 2

由 两臂点乘积不变 得: y A yB ? ? p2
??? ? 2 (OA) y yA y2 代入上式得: ???? ? ? A 2 (CO ) y ? y A yB p ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (OA) x (OA) y OA 故: ???? ? ???? ? ???? ,即: OA / / CO (CO ) x (CO ) y CO

则: A, O, C 三点共线 . 同理: OB / / DO . B, O, D 三点共线 . 故: 直角梯形 ABCD 对角线相交于原点 . 8 、 焦弦三角计面积,半个 p 方除正弦 即: 焦弦三角形的面积为: S?AOB ? 证明:如图
AB ? AF ? BF ? AD ? BC
第 23 页

??? ?

????

p2 2 sin ?

( ? 为焦弦的倾角 )

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

? xA ?

p p ? xB ? ? x A ? xB ? p 2 2 p ) ? 2 EM 2

? 2( x M ?



D E F
CE

A M

如下图: 焦准距 GF ? 2 OF ? p 则: EM ?
EF GF 1 p ? ? ? sin ? sin ? sin ? sin 2 ?
2p sin 2 ?

?
O

B

? ?

M

于是,代入①得: AB ?

G

F

因为 ? 为底边 AB 与 OF 的夹角,故面积 S?AOB ? 故: S?AOB ?

1 OF AB sin ? 2

1 p 2p p2 1 OF AB sin ? ? ? ? 2 ? sin ? ? 2 2 sin ? 2 sin ? 2

即: 焦弦三角计面积,半个 p 方除正弦

圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 2.0 版 --tobeenough 附 : 圆 锥 曲 线 必 背 -- 极 坐 标 ( 修 正 版 ) 一、 极坐标通式 圆锥曲线的极坐标以 焦准距 p 和 离心率 e 来表示常量, 以 极径 ? 和 极角
? 来表示变量 . ? ? 0 , ? ? [0, 360 o )

以 焦点 F (0,? ) 为极点 ( 原点 O ) ,以 椭圆长轴 、 抛物线对称轴 、 双曲线 实轴 为 极轴 的建立极坐标系 . 故 准线 是到极点距离为 焦准距 p 、且垂直于 极轴 的直线 L . 极坐标系与直角坐标系的换算关系是: ? ? x 2 ? y 2 , ? ? arctan
y x



24



圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

或者: x ? ? cos? , y ? ? sin? 特别注意 :极坐标系中,以焦点为极点 ( 原点 ) ,而直角坐标系中以对称 点为原点得到标准方程 . 如图,O 为极点, L 为准线,则依据 定义, 到 定 点 ( 极点 ) 和 到 定 直 线 ( 准线 ) 的 距 离 之 比 为 定 值 (定 值 e )的 点 的 轨迹为圆锥曲线 . 所以,对极坐标系,请记住: ⑴极坐标系的极点 O 是 椭圆的左焦 点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点 ; ⑵曲线上的点 P ( ? ,? ) 到焦点 F 的距离是 ? ,到准线的距离是 p ? ? cos? ,根 据定义: e ? 即: ? ?
? ,即: ep ? e ? cos? ? ? ,即: ep ? ? ? e ? cos? p ? ? cos ?
ep 1 ? e cos ?
O

L

x

(F )

e?1 e?1

e?1



这就是极坐标下, 圆锥曲线的通式 . ⑶对应不同的 e ,呈现不同的曲线 . 对双曲线,只是右边的一支 ; 对抛物线,开口向右 . 二、 极轴旋转 180 o 将极轴旋转 180 o ,将极角加 180 o 到 ? 角 上,代入①式得:
ep ?? 1 ? e cos ?
O

L

x

(F )



此时的极坐标系下,此时有:
第 25 页

e?1 e?1

e?1

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

⑴极坐标系的极点 O 是 椭圆的右焦点 、抛物线的焦点 、双曲线的左焦点 ; ⑵对应不同的 e ,呈现不同的曲线 . 对双曲线,只是左边的一支 ;对抛物 线,开口向左 . 三、 极轴旋转 90 o ⑴将极轴顺时针旋转 90 o ,将极角 加 90 o 到 ? 角上,则情况如图 . 圆锥曲线的方程为:
??
ep 1 ? e sin ?
O (F )

e?1

e?1 e?1
x


L

此时的极坐标系下: 对应于直角坐标系下,焦点在 y 轴的情况,且极点 O 对应于 椭圆下方的 焦点 , 双曲线上方的焦点 , 抛物线的焦点 . 对双曲线,只是 y 轴上边的一支 ; 对抛物线,开口向上 . ⑵如果将极轴逆时针旋转 90 o ,将 ?90 o 加到极角上代入①式,则情况如图 . 圆锥曲线的方程为: ? ? 此时的极坐标系下: 对应于直角坐标系下, 焦点在 y 轴的情况, 且对应于 椭圆上方的焦点 ,双曲线下方的 焦点 , 抛物线的焦点 . 对双曲线,只是 y 轴下边的一支 ; 对抛物线,开口向下 . 所记要点: 极轴右转 90 o ,极角相加 90 o ; 极轴右转 180 o ,极角相加 180 o .
第 26 页

ep 1 ? e sin ?



e?1
O

L

x

(F )

e?1 e?1

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

右转即是顺时针旋转 . 四、 坐标变换 ⑴在极坐标系中,圆锥曲线的通式为: ? = 即: ? ? e? cos? ? ep ,即: ? ? ep ? e? cos? 即: ? 2 ? (ep ? e ? cos? )2 ? e 2 p2 ? e 2 ( ? cos? )2 ? 2e 2 p( ? cos? ) 将 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? cos? ? x 代入②式得:
x 2 ? y 2 ? e 2 p2 ? e 2 x 2 ? 2e 2 px
ep 1 ? e cos ?





即: (1 ? e 2 ) x 2 ? 2e 2 px ? y 2 ? e 2 p2 当 e ? 1时 : 有: (1 ? e 2 )[ x 2 ? 2 即: (1 ? e )( x ?
2



e2 p 1? e
2

x?(

e2 p 1? e

)2 ] ? y 2 ? e 2 p 2 ? (1 ? e 2 )( 2 e2 1 ? e2 )? e 2 p2 1 ? e2

e2 p 1? e
2

)2

e2 p 1 ? e2

) ? y ? e p (1 ?

2

2

2 2

即:

(x ?

e2 p
2

1? e e 2 p2

)2 ?

y2 e 2 p2 1 ? e2

?1



(1 ? e 2 )2

⑴当 e ? 1时: 令 a2 ?
e 2 p2 (1 ? e 2 )2

, b2 ?
e 2 p2

e 2 p2 1? e

,c? 2
?

e2 p 1 ? e2
[1 ? (1 ? e 2 )] ? 2 e 4 p2 (1 ? e 2 )2

则: a 2 ? b 2 ? 而: c ? (
2

(1 ? e 2 )2 ) ?
2

?

e 2 p2 1 ? e2

e 2 p2 (1 ? e 2 )

e2 p 1? e
2

e 4 p2 (1 ? e )
?
2 2

? a 2 ? b2

代入④式得:

( x ? c )2 a2

y2 b2

?1



这是标准的椭圆方程 .
第 27 页

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

⑵当 e ? 1时: 令 a2 ?
e 2 p2 (e 2 ? 1)2

, b2 ?
e 2 p2

e 2 p2 e2 ? 1

,c?
?

e2 p e2 ? 1
[1 ? (e 2 ? 1)] ? 2 e 4 p2 (e 2 ? 1)2

则: a 2 ? b 2 ? 而: c ? (
2

(e 2 ? 1)2 ) ?
2

?

e 2 p2 e2 ? 1

e 2 p2 (e 2 ? 1)

e2 p e ?1
2

e 4 p2 (e ? 1)
?
2 2

? a 2 ? b2

代入④式得:

( x ? c )2 a2

y2 b2

?1



这是标准的双曲线方程 . ⑶ 当 e ? 1时 : 由③式 (1 ? e 2 ) x 2 ? 2e 2 px ? y 2 ? e 2 p2 得:
?2 px ? y 2 ? p 2

即: y 2 ? 2 px ? p 2 ? 2 p( x ? ) 即: y 2 ? 2 p( x ? )
p 2

p 2



这是标准的抛物线方程 . 五、 直线在极坐标中的方程 设在直角坐标系中的 直线方程 为: y ? kx ? m ①

先将原点平移到焦点上,对于椭圆左移 c ,对于双曲线右移 c ,对于抛物 线右移 ,则平移后的直线方程为:
y ? k ( x ? c ) ? m ( 椭圆 ) ; y ? k ( x ? c ) ? m ( 双曲线 ) ;

p 2

p y ? k ( x ? ) ? m ( 抛物线 ) 2

然后将 x ? ? cos? , y ? ? sin? 代入得到极坐标的 直线方程 .
第 28 页

圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

这里特别注意的是:在极坐标中,对于直线,最重要的数据是极点到直 线的距离,对于直线 f ( x ) ? 0 ,可采用 d ?
f ( x0 ) 1 ? k2

公式计算 .

圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 2.0 版 --tobeenough 附 : 圆 锥 曲 线 必 背 — 参 数 法 (修 正 版 ) 圆锥曲线的 参数法 一般要求是:将参数代入圆锥曲线方程后得到一个 含参恒等式,一般是一个 三角恒等式 . 所以对三角恒等式必须熟悉 . 如果采用消参法,消参后得到一个圆锥曲线方程 . 一、 椭圆
x2 y2 椭圆的标准方程是: 2 ? 2 ? 1 a b

采用的参数方程一般是: x ? a cos? , y ? b sin? 这样代入上式得: cos2 ? ? sin2 ? ? 1 这是一个恒等式,相当于 cos ? ? , sin ? ?
x a y b

即将椭圆的轴缩放成都是 1 ,椭圆缩放成圆 . 对于圆的方程: x 2 ? y 2 ? R2 采用的参数方程一般是: x ? R cos? , y ? R sin? 与椭圆参数方程相似 . 二、 双曲线 双曲的标准方程是:
x2 y2 ? ?1 a 2 b2
1 cos 2 ?
29 页

由 cos2 ? ? sin2 ? ? 1 得: 1 ? tan 2 ? ?


圆锥曲线必备 2.0 版--tobeenough

即:

1 ? tan 2 ? ? 1 2 cos ? a , y ? b tan? cos ?

采用的参数方程一般是: x ? 这样代入上式得: 也是一个恒等式 . 三、 抛物线

1 ? tan 2 ? ? 1 2 cos ?

抛物线的标准方程是: y 2 ? 2 px 若经过变换后的抛物线方程为: 2 y 2 ? 4 px ? 1 则由于有 2 cos2 ? ? cos 2? ? 1 故可以采用参数方程为: y ? cos? , x ? 这样代入上式得: 2 cos2 ? ? cos 2? ? 1 这个也是一个恒等式 . 一般很少采用抛物线的参数方程,大多采用消参的抛物线方程,就是 消参后得到一个抛物线方程 .
1 cos 2? 4p



30




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圆锥曲线基础练习题(文科) - 1.椭圆 C : 1 x2 y2 ? 2 ? 1

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高考复习_圆锥曲线基础练习题 - 综合练习题 x2 y2 ? ? 1 表示双曲线

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