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材料力学期末总复习_图文

Mechanics of Materials

复习概要
? 材力知识体系归纳 ? 重要知识回顾 ? 考试题型及所涉知识点

单向应力

最大应力 强度条件 由强度理论 得相当应力

应力分析
复杂应力

外力分析 (静平衡)

内力分析

变形分析

刚度条件

临界力
动荷载和交变应力。。。。

稳定条件

框架梳理
? 见板书

重要知识点回顾

内力的求法 —— 截面法 (method of sections ) 步骤 ( procedures for analysis)

① 截开 (cutting ):
在所求内力的截面处, 假想地用截面将杆件 一分为二。
m m

应力 垂直于截面的应力称为“正应力” (The stress acting normal to section is called the ―Normal Stress‖);

ΔF dF ? ? lim ? ΔA?0 ΔA dA

p

?
M

?

位于截面内的应力称为“剪(切)应力”(The stress acting tangent to section is called the ― Shear Stress‖)

Δ T dT ? ? lim ? dA Δ A?0 Δ A

变形和位移( deformation and displacement)
1)变形(deformation) 在外力作用下物体形状和尺寸发生改变 2)位移( displacement) 物体变形前后一点位置的变化 3)应变 (strain) 度量构件一点处的变形程度

?u ? ? lim 线应变 (normal strain) ? s?0 ? s

?u ? ? 平均线应变 ?s (mean normal strain)

B?

A ? ? s ? ?u A ?s B

角应变 (shearing strain,切应变)

? ?? ??

dy ?

?
dx

(Axial Tension & Compression,shear)

平面假设 (plane assumption):
变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍 垂直于轴线。( Plane sections before axial tension & compression remain plane after axial tension & compression)

内力的分布(the distribution of internal force)
均匀分布 (uniform distribution)

F

?
N ? ?。

FN
F A

等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式

(Axial Tension & Compression,shear)

斜截面上的应力(stress on an inclined plane)
p? 为斜截面K—K上

的 全应力(total stress)

k

F
?

F

p? ?

FN ?

A?
k

k

A ? A? ? cos ? 故有

n
?
p?

FN ? FN p? ? ? ? cos? ? ? cos? A? A
F ? ? N 为横截面上的应力 A

F

x

k

例题 图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN,F2=35kN,
F3=35kN。l1=l3=300mm,l2=400mm。d1=12mm,d2=16mm, d3=24mm。试求: (1) Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的轴力并作轴力图 (2) 杆的最大正应力?max (3) B截面的位移及AD杆的变形
Ⅲ Ⅱ Ⅰ

F3
D Ⅲ l3 C l2 Ⅱ B

F2
Ⅰ l1 A

F1







FR
C

F3
D
Ⅲ l3

F2

l2

F1

A

B
l1

解:求支座反力

FR = -50kN

FN1

(1) Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ

F1

截面的轴力并作轴力图

F1 ? FN1 ? 0 FN1 ? 20kN ( ? )







FR
C

F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B

F2
Ⅰ l1 A

F1

FR

FN3 FN2

F2

F1

FN 3 ? FR ? 0 FN 3 ? ?50kN ( ?)

F1 ? F2 ? FN 2 ? 0 FN 2 ? ?15kN ( ? )







FR
C

F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B

F2
Ⅰ l1 A

F1

20

+

50

15

FN1 =20kN (+) FN2 =-15kN (-)

FN图 (单位:kN)

FN3 =- 50kN (-)







FR
C

F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B

F2
Ⅰ l1 A

F1

(2) 杆的最大正应力?max

FN1 ? AB ? ? 176.8MPa ( ? ) A1 F BC段: ? BC ? N 2 ? 74.6MPa ( ? ) A2 FN 3 DC段: ? DC ? ? 110.5MPa ( ? ) A3
AB段:

FN1 =20kN (+) FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )

?max = 176.8MPa
发生在AB段。







FR
C

F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B

F2
Ⅰ l1

F1
A

(3) B截面的位移及AD杆的变形

Δl AB
ΔlCD

FN1l1 FN 2 l2 -4 -4 ? ? 2.53 ? 10 m Δl BC ? ? ?1.42 ? 10 m EA1 EA2 FN 3 l3 ? ? ?1.58 ? 10-4 m ? B ? Δl CD ? Δl BC ? -0.3mm EA3

Δl AD ? Δl AB ? Δl BC ? ΔlCD ? -0.47 ? 10-4 mm

?轴向拉伸与压缩时内力、应力与变形等的求解 ?拉伸和压缩时材料的力学性能

(Axial Tension & Compression,shear)

1、G点是强化阶段的
最高点

σ?

F A

2 1

3

G

4

σb

强度极限
(ultimate Strength)

D

?b ?C

A B

?S ?P

?
?
?? ?l l

2、无明显屈服极限的塑性材料 (ductile materials having no ??0.2 clearingdefined yield point) 名义屈服应力(offset yielding stress): 用?0.2 表示。 3、铸铁拉伸时的机械性能

(Axial Tension & Compression,shear) ?

????

0.2
脆 性 材 料

(mechanical properties for
a cast iron in tension )
?bt ---铸铁拉伸强度极限 Brittle

E ? tg? ; 割线斜率

(Axial Tension & Compression,shear)

虎克定律 (Hooke’s law)
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段,在此弹性 范围内,正应力与线应变成正比。

? ? E?
FN l ?l ? EA

FN ?? A

?l ?? l

上式改写为

式中 E 称为 弹性模量(modulus of elasticity) ,EA称为

抗拉(压)刚度 [tensile (compressive) rigidity]。

(Axial Tension & Compression,shear)
因变形很小,故可过 A1,A2 分别做两杆的垂线,相交于 A? 可认为

AA' ? AA"

B
1
? ?

C
2
1 A 2

A2
A

? ?

A1

A"
A'

A"

(Axial Tension & Compression,shear) B
1

D
3 ? ? 2

C

1
?

3
?

2

A

Δl1

A

Δl3

??

F
A'

F

1

?

F

2

F1 cos? ? F2 cos? ? F3 ? F ? 0

补充方程? F 1 ? F 3

2 cos ? EA
3 3

EA

F F3 ? 3 2 EA 1? E cos ? A 3 3 .......

(Axial Tension & Compression,shear)

连接处破坏三种形式:

(three types of failure in connections) (合力) F ①剪切破坏(shearing failure) n 铆钉的剪切面剪断,如沿n– n面

n F (合力) 剪切面

②挤压破坏(bearing failure) 铆钉与钢板在相互接触面上 FS (shearing plane) n F

(孔洞)因挤压而使溃压连接松动,n

③拉伸破坏(tension failure) 钢板在受铆钉孔削弱的截面处,应力增大,易在连接处拉断。

(Axial Tension & Compression,shear) 当接触面为圆柱面时, 挤压面积 AbS为实际接触面在直径平面 上的投影面积(projected area)
实际接 触面

h
直 径 投 影 面

AbS ? d ? h
挤压现象的实际受力如图 c 所示。

d

图c

(torsion)

§3扭转
一、 外力偶矩的计算 (calculation of external moment)

W ? me?
P

W m? P ? ? ? m? t t
Me2 Me1

P ? 103 me ? ? ? 2n? / 60

n

Me3

me ? 9549

P
n

( N .m)

从动轮

主动轮

从动轮

Me——作用在轴上的力偶矩,( N.m )
P——轴传递的功率, (kW)

n——轴的转速, ( r/min )

(torsion)

?
? max ?
T

?

?

T?

二 ? max的计算 Calculation of ? max

I

p

?
IP

T
max

?

?

T IP
max

T ? Wp

?max
o

dA

??
r

?

(Maximum Shear-Stress Formula)

?
dA

??

Wp ?

?

I

p

m ax

Wp 称作抗扭截面系数,单位为 mm3 或 m3。

(torsion)

圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件 (torsional deformation of circular bars & stiffness condition)
一、扭转变形 (torsional deformation)
1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 ? 来度量的

d? ? dx

T

GI

p

(Torque-Twist Equation)

其中 d? 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。 长为 l 的一段杆(T、G、IP是常数)两端面间的相对扭转角 ? 可按下式计算

? ? ?l d? ? ?l

T

GI

TL dx ? GI P p

(Internal Forces in Beams) 公式的几何意义 = q(x) 剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小

dFs(x) dx

dM(x) = Fs(x) dx d2M(x) dx
2

= q(x)

弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。

表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
向下的均布 荷载 q<0 无荷载 集中力
F C

一段梁上 的外力情 况

集中力偶 m
C

剪力图的特征

向下倾斜的 直线

水平直线

在C处有突变

在C处无变化 C

弯矩图的特征 上凸的二次 抛物线

一般斜直线 或

在C处有转折

在C处有突变 m

最大弯矩所在 在Fs=0的截 截面的可能位 面 置

在剪力突变 的截面

在紧靠C的某 一侧截面

( Stresses in Beams)

My ?? Iz
式中:
M

(Flexure Formula)

该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式

横截面上的弯矩(bending moment in the beam)

Iz y

横截面对中性轴的惯性矩 (moment of inertia of the cross section of the beam) 求应力的点到中性轴的距离 (distance from the
neutral axis of the beam to the fibers)

( Stresses in Beams)

FS S * z ? ? I zb

Iz

Z

整个横截面对中性轴的惯性矩 (moment of inertia of the entire cross- sectional area about the neutral axis)

y

b
* z

矩型截面的宽度 (width of the section cut)

A

*

S

距中性轴为 y 的横线以外部分横截面面积对中性轴的 静矩(static moment of the area above(or below) the cut)

?几种简单截面(中性轴为对称轴)的弯曲截面系数
3 I ? d 实心圆截面:W ? z ? 64 ? d d 32 2 2

?d 4

d z y

b

bh 3 2 I bh 矩形截面:W ? z ? 12 ? h h 6 2 2
?D 4
Iz 空心圆截面: W ? ? 64 D D 2 2 (1 ? ? 4 ) ?

h

z
y D d

?D 3
32

(1 ? ? )
4

d α? D
y

z

M max ? [? ] 强度条件: ? max ? W ?强度条件的应用
M M max max (2) 设计截面: W ? (1) 强度校核: ? [? ] [? ] W (3) 确定许可载荷: M max ? W [? ]
对于铸铁等脆性材料制成的梁,由于材料的 [? t ] ? [? c ],且梁
横截面的中性轴一般也不是对称轴,所以梁的 ? t ,max ? ? c ,max (两者有时并不发生在同一横截面上),要求分别不超过材料的 许用拉应力和许用压应力 :? t ,max ? [? t ] , ? c ,max ? [? c ] 。

例题 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉 许用应力为 [?t] = 30MPa ,抗压许用应力为[?c] =160MPa。已

知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁
的强度。
F1=9kN F2=4kN
80

A
1m

z
C
1m

y1

20

B
1m

D y2
120

20

FRA A
1m

F1=9kN

FRB

F2=4kN

解: FRA ? 2.5kN FRB ? 10.5kN

C
1m

B
1m 4kN

最大正弯矩在截面C上,最 D 大负弯矩在截面B上:

M C ? 2.5kN ? m M B ? 4kN ? m

+
80

2.5kN

z

y1

20

y2
20

120

B截面: M B y1 ? 27.2MPa ? [? t ] ? t ,max ? Iz M B y2 ? 46.2MPa ? [? c ] ? c, max ? Iz M C y2 ? 28.8MPa ? [? t ] ? t, C截面: max ? Iz M C y1 ? 17.0MPa ? [? c ] ? c, max ? Iz
因此,强度足够。

弯曲变形
一、挠曲线的微分方程

M ? ? EI z

1

EIz v??( x) ? M ( x)

二、 用积分法求弯曲变形
M ( x) ? ? v ? ? ?? dx? dx ? Cx ? D ? EI z ?
C、D积分常数,由边界条件确定。

该梁的两类边界条件为
连续条件:

? ? w2 ?,w1=w2 在x=a处 w1 C1 ? C2, D1 ? D2

b x2 b x 2 F ?x ? a ? ? ? F ? ? C1 ? ? F ?3 ? EIw1 EIw2 ? C2 3 lb 2 b l x 2 F ?x ? 2 a? x3 EIw2 ? F ? ? ? C2 x EIw ? ? C1 x ? D1 1 ? F l 6 6 3 3 bl x 36 b x F ?x ? a ? EIw1 ? F ? ? C1 x ? D1 ? D EIw2 ? F 2 ? ? ? C2 x ? D2 l 6 l 6 6 支座约束条件:在x=0处 w1=0,在 x=l 处 w2=0 3 b l 3 F ?l ? a ? EIw2 | x ?l ? F Fb ? 2 ? 2 ? C2 l ? 0 C1 ? C2 ? ? l 6l ? b 6 D1 ? 0 从而也有 D2 ? 0
2

? 6l

?

三、 用叠加法求弯曲变形
多个载荷作用,弯矩图可以叠加, 变形 也可以叠加。 —— 利用已有的结果

四、简单静不定问题
? 静不定问题 ? 基本静定基: ? 1)悬臂梁

2)简支梁

3)外伸梁

解题的基本方法:变形比较法

(Analysis of stress-state and strain-state)

?? ? ?? ?

?x ? ? y 2 ?x ? ? y 2

?

?x ? ? y 2

cos 2? ? ? x sin 2?

sin 2? ? ? x cos 2?

二、主应力和主平面 ? 平面应力状态分析的解析法 (principal stress& principal plane & analysis of plane state of stresses with equation)

1 、求正应力的极值(calculating extreme value for normal 令: stress)

d? ?
d?

?? ? ? ?2[
x

y

2

sin 2? ?

?

x

cos 2? ] ? ?2? ? ? 0

(Analysis of stress-state and strain-state)

tg 2? 0 ? ? 2? x ? x ?? y

? α ? α ? 90
α1
2 1

0

1、?1 和 ?2 确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力 (maximum normal stress)所在的平面,另一个是最小正应力 (minimum stress)所在的平面。
2、正应力达到极值的面上,剪应力必等于零。 此平面为主平面(principal plane)。正应力的极值为主应力 (principal stress)。

(Analysis of stress-state and strain-state)

由公式

tg 2

?

?? 0

? ??
x

2?

x

y

求出 ?0 就可确定主平面的位置 (direction of principle plane) 。 代入角度求出极值大小:

?max ?min

}

?? ? ?
x

y

2

?

(

? x ?? y
2

2

)

?? xy
2

同理,得到广义胡克定律:

1 ? ? ? 1 ? E ?? 1 ? ?(? 2 ? ? 3 ) ? ? ? 1 ?? 2 ? ?? 2 ? ?(? 3 ? ? 1 ) ? E ? ? 1 ?? 3 ? ?? 3 ? ?(? 1 ? ? 2 ) ? E ?

强度理论与相当应力(equivalent stress)
把各种强度理论的强度条件写成统一形式

? ? [? ]
r

?r 称为复杂应力状态的相当应力 (equivalent stress in general stress-state)

? r1 ? ?1
? r 2 ? ?1 ? ?(? 2 ? ?3) ? r 3 ? ?1 ? ?3
?r 4 ? 1 2 2 2 ??1 ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? 3 ? ? ?? 3 ? ?1 ? 2

?

?

工程计算中对于弯一拉组合变形的构件可不计轴向拉力产 生的弯矩应用叠加原理来计算杆中的应力。

M FN ?? ? W A

按哪个强度理论计算相当应力,在不同设计规范中并不一致。

发生扭-弯变形的圆截面杆,WP=2W:

??

M W

T T ?? ? Wp 2W
2 2

将上式代入式(a),(b)可得:
?M ? ? T ? ? r 3 ? ? ? ? 4? ? ? ?W ? ? 2W ? M 2 ?T 2 W
M 2 ? 0.75T 2 W

? r4

?M ? ? T ? ? ? ? ? 3? ? ? ?W ? ? 2W ?

2

2

W为圆截面的弯曲截面系数。

压杆临界应力计算
大柔度杆: ? cr
2 =? 2 E/??????

?cr ? =? cr u ?cr=a-b? ?u ?p
A B

?1

C

?cr=?2E/?2
D

中柔度杆: ?cr =a-b??????????? 1 2 小柔度杆:
?? ? ys 延性 ?cr?? u? ???2 ? ? ? b 脆性
o
小柔 度杆

?s
中柔度杆

?p
大柔度杆

?

方 已知材料 1、? 2 法 求???

? p??

?p

E

??? s =a-b? u

计算压 杆柔度 ???l/i

由临界应力总 图判定压杆类 型,计算临界 应力。

临界应力计算方法:
已知材料 p、? s 求???
? p??

已知l、i ???l/i

由临界应力总图 判定压杆类型, 计算临界应力。 校核压杆类型 假设的正确性 Fcr n ? ? n st F

?p

E

??? s =a-b? u

已知F、A ?cr?F/A
Fcr ? F n ?[ F ] st

已知F、l,假定压杆类型,求A?

稳定性条件:

压杆的稳定性设计计算:稳定性校核、杆的 几何尺寸设计确定许用载荷、选材料等等。

§10动荷载

动静法的应用 Ⅰ. 构件作加速运动时,构件内各质点将产生惯性力, 方向与加速度的方向相反。

? ? FI ? ?ma

Ⅱ. 动静法:在任一瞬时,作用在构件上的荷载,惯性力 和约束力,构成平衡力系。当构件的加速度已知时,可用动 静法求解其动应力。

第一类:平动
例 1 一钢索起吊重物M(图a),以等加速度a提升。重物M的 重量为P,钢索的横截面面积为A,不计钢索的重量。试求钢索 横截面上的动应力?d 。
P a(↓)(图b),由重 M 的惯性力为 g

解:设钢索的动轴力为FNd ,重物

物M 的平衡方程可得( a向上为正)
P a FNd ? P ? a ? P (1 ? ) g g a 令 K d ? 1 ? (动荷因数) g

(1) (2) (3)



FN d ? Kd P

冲击:

Fd ? Kd P ? Kd Fst

Δd ? Kd Δst

? d ? Kd? st

特例 2h 2 T 竖直冲击 K ? 1 ? 1 ? K ? 1 ? 1 ? d d Δst 自由落体冲击 P? st

Kd公式中,T为接触处冲击物的动能,h为自由落体的高度,
Δ st为把冲击物作为静荷载置于被冲击物的冲击点处,被冲击
物的冲击点沿冲击方向的静位移。 h = 0 时, Kd=2 (骤加荷载)

由于不考虑冲击过程中的能量损失,Kd值偏大,以上计算 偏于安全。

由机械能守恒定律,即

Pv2 1 3EI 2 ? ( 3 ) Δd 2g 2 a
解得
Δd ? Δst v2 gΔst

式中

Pa3 (把P作为静荷载置于C 截面时,C 处的静位移)。 Δst ? 3EI
Δ Kd ? d ? Δst v2 (水平冲击时的冲击动荷因数P331g式)。 gΔst
Pa ? Kd 。 W

? d ,max ? K d? st ,max

考试题型及所涉知识点
一、是非题(共16分)

知识点:刚度、强度与稳定性,主平面与主应力的
概念,位移与变形概念、弯扭组合实验应力状态分析、
材料的破坏形式、强度理论的适用范围。 二、单项选择题(共16分) 知识点:拉伸和压缩时材料的力学性能、可变形固体 的基本假设,轴向拉伸时应力分析、变形求解。积分

法求梁弯曲变形时积分常数的确定、应力分析 ,中性
轴,正应力(σ)、正应变(ε)、弹性模量( E )、泊松比(μ)、 四种强度理论。

三、画图题(12分) 知识点:梁或刚架的内力图
四、大题(4题,共56分) 知识点: 1、轴力图、最大正应力(?max)、拉压变形计算; 2、强制装配; 3、剪力图、弯矩图、最大拉压应力(?t,max、 ?c,max) 、 弯曲变形强度条件的应用; 4、应力状态与广义胡克定理; 5、组合变形强度条件。 代表题型:P209 6.39
P285 8.13


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