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高一数学同步测试(7)—函数的单调性、奇偶性


函数的单调性、奇偶性练习题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号 填在题后的括号内。

1.设 f ? x ? 为定义在 R 上的奇函数,满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,当 0 ? x ? 1 时 f ? x ? ? x ,则

f ?7 . 5 ? 等于
A. 0.5 B. ?0.5 C. 1.5 D. ?1.5





2 2.设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则 f ? ?2? 与 f a ? 2a ? 3

?

?


( a ? R )的大小关系是

? C. f ? ?2? > f ? a
A. f ? x ? ? 0

A. f ? ?2? < f a ? 2a ? 3
2
2

? ? 2a ? 3 ?

B. f ? ?2? ≥ f a ? 2a ? 3
2

?

?



D.与 a 的取值无关 ( ) B. f ? x ? ? 0 D. f ? x ? - f ? ? x ? ? 0

3.若函数 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1,则当 x ? 0 时,有 C. f ? x ? f ? ? x ? ≤0
2

4.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 5.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0? , g ? x ? ? ? x ? 1?
2 ? ?? x ? x h ? x? ? ? 2 x ?x ? ?



x ?1 , x ?1
( )

? x ? 0? ,则 ? x ? 0?

f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为
B.奇函数,奇函数,偶函数 D.奇函数,非奇非偶函数,奇函数

A.奇函数,偶函数,奇函数 C.奇函数,奇函数,奇函数
2 2

6.已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? b ? b ? 1? a, b ? R ? 对任意实数 x 都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立,若当 x ?? ?1,1? 时, f ? x ? ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是 A. ?1 ? b ? 0 7.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 ,那么
2 2





?

B. b ? 2

?

C. b ? ?1或b ? 2 D.不能确定 ( )

A. y ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上是增函数 B . y ? f ? x ? 在 区 间 ? ??, ?1? 上 是 增 函 数 C. y ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上是减函数 D. y ? f ? x ? 在区间 ? ??, ?1? 上是减函数 是
1

8.函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上是增函数,函数 y ? f ? x ? 2? 是偶函数,则下列结论中正确的 ( )

?5? ?7? ?5? ?7? B. f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ?7? ?5? ?7? ?5? C. f ? ? ? f ? ? ? f ?1? D. f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? x 9.设函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 3 ,则 f ? ?2? 等于(
A. f ?1? ? f ? ? ? f ? ? A. ? 1 B.



11 11 C.1 D. ? 4 4 10.函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的定义域相同,且对定义域中任何 x 有 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 ,

g ? ?x ? g ? x ? ? 1 ,若 g ? x ? ? 1 的解集是 ?0? ,则函数 F ? x ? ?
A.奇函数 C.既奇又偶函数 二、填空题:请把答案填在题中横线上。 11.设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f 别为 ; B.偶函数 D.非奇非偶函数

2 f ? x? ? f ? x ? 是( g ? x ? ?1



12. 已知 f ? x ? 为偶函数,g ? x ? 是奇函数, 且 f ? x ? ?g ? x ? ? x ? x ? 2 , 则 f ? x ? 、g ? x ? 分
2

? x ? 3 ? 的单调递减区间为

;

13.定义在 ? ?1,1? 上的奇函数 f ? x ? ?

x?m ,则常数 m ? x ? nx ? 1
2

,n ?



14.一般地,家庭用电量 y(千瓦)与气温 x(℃)有函数关系 y ? f ( x) 。图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温,图(2)表示某家庭在 12 个月中每月的用电量. 试在数集

A ? {x | 5 ? x ? 30, x 是 2.5 的 整 数 倍 } 中 确 定 一 个 最 小 值 x1 和 最 大 值 x2 , 使

y ? f ( x)是[ x1 , x2 ] 上的增函数,则区间[ x1 ,x2]=

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.求函数 y ?

1 的单调区间. x2

2

16.已知 f ? x ? ? x ?

1? ? 1 ? ? ? x ? 0? , x ? 2 ?1 2 ? ⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵证明 f ? x ? ? 0 .

17.⑴已知 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ,且 2 f ( x ) ? f ( ) ? x ,试判断 f ( x ) 的奇偶性。 ⑵函数 f ( x ) 定义域为 R ,且对于一切实数 x , y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),试判断

1 x

f ( x) 的奇偶性。

18.若 f ( x ) 是定义在 ? 0, ?? ? 上的增函数,且 f ?

?x? ? ? f ? x? ? f ? y ? ? y? ?1? ⑴求 f ?1? 的值;⑵若 f ? 6? ? 1,解不等式 f ? x ? 3? ? f ? ? ? 2 . ? x?

3

2 19.已知 f ? x ? ? x2 ? c ,且 f ? ? f ? x ?? ? ? f x ?1 。

?

?

⑵设 ? ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ,问是否存在实数 ? ,使 ? ? x ? 在 ? ??, ?1? 上是减函数,并且 在

⑴设 g ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? ,求 g ? x ? 的解析式;

? ?1,0? 上是增函数.

20.已知

1 2 ≤ a ≤1,若函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? 1在区间[1,3]上的最大值为 M ? a ? ,最小值 3 为 N ? a ? ,令 g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? . 1 ,1]上的单调性,并求出 g ? a ? 的最小值 . 3

(1)求 g ? a ? 的函数表达式; (2)判断函数 g ? a ? 在区间[

4

高一数学同步测试(7)参考答案
一、选择题:BBCAD 二、填空题: 三、解答题: 而t 11.

?3, ?? ?

CCDAB ; 12. x
2

? 2, x ;

13. 0,

0;

14.

?20,27.5?.

15.解:令 t

? x2 ( t ? 0 ) ,

?y?

1 在 (0,??) 上为减函数, t

? x 2 在 (??,0) 上为减函数,在 (0,??) 上是增函数, 1 ∴ y ? 2 在 ( ??,0) 上为增函数,在 (0,??) 上为减函数. x 说明:复合函数的单调性的判断:设 y ? f ( x) ,u ? g ( x) , x ? [ a, b] ,u ? [m, n] 都是单调函数, 则 y ? f [ g ( x)] 在 [ a, b] 上也是单调函数。 ①若 y ? f ( x) 是 [m, n] 上的增函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在 [ a, b] 上的函数 u ? g ( x) 的单调性相同. ②若 y ? f ( x) 是 [m, n] 上的减函数,则 y ? f [g (x )] 与定义在 [ a, b] 上的函数 u ? g ( x) 的单调性相同.
即复合函数的单调性为:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相 反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” ) . 16.解:⑴
x 1 ? x ? 2 ? 1? ? 1 f ? x? ? x ? x ? ?? ? x ? 0? ? 2 ? 1 2 ? 2 ? 2 x ? 1?

f ? x ? 的定义域为 ? ??,0?

? 0, ??? ,它关于原点对称,又



f ? ?x? ?

? x ? 2? x ? 1? 2 ? 2? x ? 1?

?

2 ? 2 x ? 1?

x ? 2 x ? 1?

? f ? x ? ,∴ f ? x ? 为偶函数;

⑵证明:∵当 x 当x 又

? 0 时, 2x ? 1,

? 0 时, ? x ? 0 ,∴

1? ? 1 2x ?1 ? 0 ,∴ f ? x ? ? x ? x ? ? ? 0 ; ? 2 ?1 2 ? f ? ?x? ? 0 .

f ? x ? 为偶函数,∴ f ? ?x ? ? f ? x ? ,故当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 .

综上可得: 17.解:⑴∵

f ? x ? ? 0 成立.

1 f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ,且 2 f ( x) ? f ( ) ? x ① x 1 1 1 令①式中 x 为 得: 2 f ( ) ? f ( x ) ? ② x x x 2 x2 ?1 解①、②得 f ( x ) ? , ∵定义域为 {x | x ? 0} 关于原点对称, 3x 2 x2 ?1 2(? x)2 ? 1 2 x2 ?1 ? ? f ( x) ,∴ f ( x) ? 又∵ f (? x) ? 是奇函数. ?? 3x 3(? x) 3x ⑵∵定义域关于原点对称, 又∵令 x ? y ? 0 的 f (0) ? f (0) ? f (0) 则 f (0) ? 0 , 再令 y ? ? x 得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) , ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,∴原函数为奇函数.

18.分析:此题的关键是

f ? ?? ? 2 ,然后再利用已知条件和函数的单调性.
5

解:⑴在等式中令 x ? ⑵在等式中令 x

y ? 0 ,则 f ?1? ? 0 ;

? 36 ? ? 36, y ? 6 则 f ? ? ? f ? 36 ? ? f ? 6 ? , f ?36? ? 2 f ? 6? ? 2 , ? 6 ? 1 故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f ? x( x ? 3)? ? f (36) , x ?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 又 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,故原不等式等价于: ? ? 0 . ?0? x? 2 ?x ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36
19.解:⑴ g ( x) ?

x4 ? 2x ? 2 ;
4

(2)? ( x) ? g( x) ? ? f ( x) ? x ? (2 ? ?) x2 ? (2 ? ?) , 2 ? ( x2 ) ? ? ( x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ( x2 ? x1 )[ x12 ? x2 ? (2 ? ?)]
2 1 2 2

① ②

设 ?? ? x1 ? x2 ? ?1, 则( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ? 0, x ? x ? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? 由①、②知, 当4 ? ? ? 0 即? ? 4时 , ? ( x)在(??, ?1)上是减函数 ; 同理当 ? ? 4 时, ? ( x) 在(-1,0)上是增函数。 于是有,当 ? ? 4时, ? ( x) 在(-∞,-1)上是减函数,且在(-1,0)上是增函数。 1 1 20.解: (1)∵ ? a ? 1,? f ( x ) 的图像为开口向上的抛物线,且对称轴为 x ? ? [1,3]. 3 a 1 ∴ f ? x ? 有最小值 N ( a ) ? 1 ? . a 1 1 1 当 2≤ ≤3 时, a ?[ , ], f ( x) 有最大值 M ? a ? ? f ?1? ? a ?1; a 3 2 1 1 当 1≤ <2 时,a∈( ,1], f ( x ) 有最大值 M(a)=f(3)=9a-5; a 2 1 1 1 ? a ? 2 ? ( ? a ? ), ? ? a 3 2 ? g (a) ? ? ?9a ? 6 ? 1 ( 1 ? a ? 1). ? a 2 ? 1 1 1 ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ), (2)设 ? a1 ? a2 ? , 则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(1 ? 3 2 a1a2 1 1 ? g (a )在[ , ] 上是减函数. 3 2 1 1 设 ? a1 ? a2 ? 1, 则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(9 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ), 2 a1a2 1 1 1 ? g ? a1 ? 在( ,1] 上是增函数.∴当 a ? 时, g ? a ? 有最小值 . 2 2 2

6

7


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