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深圳市2018届高三年级第一次调研考试理科数学试题(有答案)

绝密★启用前 深圳市 2018 届高三年级第一次调研考试 数学(理科) 2018.3 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={xlog2x<1},B={xl x ? 1 },则 A ? B= A.(0,3] B.[1,2) C.[-1,2) D.[-3,2)

a+ i 2.已知 a ? R,i 为虚数单位,若复数 z = , z = 1 则 a= 1- i
A. ±

2

B.1 C.2

D. ± 1

3.已知 sin( - x) = A.

1 4

p 6 3 B. 4

1 19p 2p - x) + sin 2 (+ x) = ,则 sin( 2 6 3 1 1 C. D. 4 2

4.夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华舞回游到长江,历经三千多公里的溯流博击,回 到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到 15 厘米左右,又携带它们旅居外海。一个环保 组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗, 该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为 0.15, 雌性 个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为 0.05, 若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外 浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为 A.0.05 B.0.0075 C

1 3

D.

1 6

5.已知双曲线

y 2 x2 a2 2 2 = 1 x + ( y a ) = 的一条渐近线与圆 , 则 a 2 b2 9

该双曲线的离心率为 A.3 B. 3 c.

3 2 2

D.

3 2 4

6.设有下面四个命题: p1: $ n ? N ,n2>2n; p2:x ? R,“x>1”是“x>2”的充分不必要条件; P3:命题“若 x=y,则 sin x=siny”的逆否命题是“若 sin x ? siny,则 x ? y”; P4: 若“pVq”是真命题,则 p 一定是真命题。 其中为真命题的是 A.p1,p2 B.p2,p3 C.p2,p4 D.p1,p3 7.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日 自半,竹日自倍,松竹何日而长等。意思是现有松树高 5 尺,竹子高 2 尺,松树每天长自己 高度的一半,竹子每天长自己高度的一倍,问在第几天会出现松树和竹子一般高?

1

如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 x=5,y=2,输出的 n 为 4 ,则 程序 框图 中的 中应填入 A. y < x B. y ? x C. x ? y D. x = y 8.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 某几何体的三视圈如图所示, 则该几何体的外接球表面积为

16 p 9 C. 16p
A.

25 p 4 D. 25p
B.

9.在 D ABC 中 AB ^ AC, AC =

??? ? 2, BC =
D.

??? ? ???? ??? ? 3 BD, 则AD?AC =

A.

2 6 3

B. 2 2

C. 2 3

2 3 3

10.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (0, + ? )上有 3 f ( x) + xf '( x) > 0

恒成立,若 g ( x) = x3 f ( x) ,令 a = g (log 2 ( )) , b = g (log5 2) , c = g (e A. a < b < c B. b < a < c C. b < c < a D. c < b < a

1 e

-

1 2

)则

11.设等差数列 {an }满足:3a7 = 5a13 ,cos2 a4 - cos2 a4 sin2 a7 + sin2 a4 cos2 a7 - sin2 a4

= - cos(a5 + a6 ) 公差 d ? ( 2,0) ,则数列 {an }的前项和 Sn 的最大值为
A.100 p B.54 p C.77 p D.300 p 12.一个等腰三角形的周长为 10, 四个这样相同等腰三角 形底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋 转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成 的四棱锥的体积的最大值为

A.

500 2 81

B.

500 2 27

C. 5 3

D. 15 2 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每道试题考生都必须作 答,第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

2

ì 2x + y + 2 ? 0 ? ? ? 13.若实数 x,y 满足约束条件 í x + 2 y - 2 ? 0 ,则 z = 2 x - y 的最小值为 ? ? ? ? ? x- y- 2? 0
14. (x2 + 1)(2x + 1)6 展开式的 x 的系数是
3

.

.

15.已知 F 为抛物线 y2 = 4 3x 的焦点, 过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若 AF = 3FB , 则 AB = . 16. 如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AC=2CB= 2 3 ,P 是△ABC 内一动 点,∠BPC=120° ,则 AP 的最小值为 .

??? ?

??? ?

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。请将解答过程书写在答题纸上,并 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设数列 {an }的前 n 项和为 Sn , a1 = 2 , an+ 1 = 2 + Sn ,(n ? N*). (I)求数列 {an }的通项公式; (Ⅱ)设 b n = 1+ log 2 ( an ) 2 ,求数列 镲 睚

禳 镲 1 1 的前 n 项和 Tn < 镲 6 bnbn+ 1 镲 铪

18.(本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面 ABC 为边长为 2 2 等边三角形, BB1=4, AC1⊥BB1, 且∠A1B1B=45° . (I)证明:平面 BCC1B1⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求 B-AC-A1 二面角的余弦值。

3

19. (本小题满分 12 分) 某重点中学将全部高一新生分成 A,B 两个成绩相当(成绩的均值、方差都相同)的级部, A 级部采用传统形式的教学方式,B 级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式. 期末考试后分别从两个级部中各随机抽取 100 名学生的数学成绩进行统计, 得到如下频率分 布直方图:

若记成绩不低于 130 分者为“优秀”。 (I) 根据频率分布直方图, 分别求出 A,B 两个级部的中位数和众数的估计值 (精确到 0.01); 请根据这些数据初步分析 A,B 两个级部的数学成绩的优劣. (Ⅱ)填写下面的列联表, 并根据列联表判断是否有 99%的把握认为“优秀”与教学方式有关? 级部 级部 是否优秀 A部 B部 合计 (Ⅲ)①现从所抽取的 B 级部的 100 人中利用分层抽样的方法再抽取 25 人,再从这 25 人 中随机抽出 2 人去参加“信息化的自主学习”的学习体会座谈, 求抽出的两人中至少有一个为 “优秀”的概率; ②将频率视为概率,从 B 级部所有学生中随机抽取 25 人去参加“信息化的自主学习”的学习 体会座谈,记其中为“优秀”的人数为 X,求 X 的数学期望和方差。 优秀 不优秀 合计

n(ad - bc)2 K = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
2

4

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C

1 x2 y 2 + 2 = 1(a>b>0)的离心率为 ,直线 l :x+2y=4 与椭圆有且只有一个交点 2 2 a b

T. (I)求椭圆 C 的方程和点 T 的坐标; (Ⅱ)O 为坐标原点,与 OT 平行的直线 l ' 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,直线 l ' 与直线 l 交于点 P,试判断

PT

2

PA ×PB

是否为定值,若是请求出定值,若不是请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

已 知 函 数 f ( x)= a x x- y + b = 0 .
(I)求 a , b 的值;

b ( + x 1 ) l n (+ x

1 +), 曲 1 线 在 点 ( 0 ,f ( 0 ) )的切线方程为 处

(Ⅱ)若当 x ? 0 时,关于 x 的不等式 f ( x) ? kx2

x + 1 恒成立,求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第 1 题计分。作签时。 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

ì 3 ? ? x= a+ t ? ? 5 (t 为参数).在以 O 为极点、 在直角坐标系 xOy 中,直线/的参数方程为 í ? 4 ? y = 1+ t ? ? 5 ? ?
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程为 r cos q + 8cos q - r = 0 (I)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知点 P(a,1),设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A,B,若 PA = 3 PB .求 a 的值。
2

5

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 2 .
2 2

1 4 + 2 ? | 2 x 1| - | x - 1| 恒成立,求 x 的取值范围; 2 a b 1 1 5 5 (Ⅱ)证明: ( + )( a + b ) ≥4. a b
(I)若是

6

7

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