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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题实验班理

1 拿到试卷:熟悉试卷 刚拿到试卷一般心情比较紧张, 建议拿到卷子以后看看考卷一共几页,有多少道 题,了解试卷结构,通览全卷是克服“前面难题做不出,后面易题没时间做”的有 效措施,也从根本上防止了“漏做题” 。 2 答题顺序:从卷首依次开始 一般来讲,全卷大致是先易后难的排列。所以,正确的做法是从卷首开始依次做 题,先易后难,最后攻坚。但也不是坚决地“依次”做题,虽然考卷大致是先易后 难, 但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的, 执着程度适当, 才能绕过难题, 先做好有保证的题,才能尽量多得分。 3 答题策略 答题策略一共有三点:1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、熟悉的题,再做 综合题、难题。2. 先小后大。先做容易拿分的小题,再做耗时又复杂的大题。 3. 先局部后整体。把疑难问题划分成一系列的步骤,一步一步的解决,每解决 一步就能得到一步的分数。 4 学会分段得分 会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学,防止被“分段扣点分” 。不会做的 题目我们可以先承认中间结论,往后推,看能否得到结论。如果不能,说明这个途径不 对,立即改变方向;如果能得出预期结论,就回过头来,集中力量攻克这一“卡壳处” 。如 果题目有多个问题,也可以跳步作答,先回答自己会的问题。 5 立足中下题目,力争高水平 考试时,因为时间和个别题目的难度,多数学生很难做完、做对全部题目,所以在答卷 中要立足中下题目。中下题目通常占全卷的 80%以上,是试题的主要构成,学生能拿下 这些题目,实际上就是有了胜利在握的心理,对攻克高档题会更放得开。 6 确保运算正确,立足一次性成功 在答卷时,要在以快为上的前提下,稳扎稳打,步步准确,尽量一次性成功。不 能为追求速度而丢掉准确度, 甚至丢掉重要的得分步骤。试题做完后要认真做好 解后检查,看是否有空题,答卷是否准确,格式是否规范。 7 要学会“挤”分 考试试题大多分步给分,所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置,文科尽量 把要点写清晰,作文尤其要注意开头和结尾。考试时,每一道题都认真思考,能做几步 就做几步,对于考生来说就是能做几分是几分,这是考试中最好的策略。 8 检查后的涂改方式要讲究 发现错误后要划掉重新写,忌原地用涂黑的方式改,这会使阅卷老师看不清。如果对现有的 题解不满意想重新写,要先写出正确的,再划去错误的。有的同学先把原来写的题解涂抹了, 写新题解的时间又不够,本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事,莫慌乱! 不管是大型考试还是平时的检测,或多或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎 么办?为防患于未然, 老师家长们应该在考前给孩子讲清楚应急措施, 告诉孩子遇事不慌乱, 沉重冷静,必要时可以向监考老师寻求帮助。
1

育才学校 2018-2019 学年度上学期期末考试 高二(实验班)理科数学
(考试时间:120 分钟 ,满分:150 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知命题 p : ?x2 ? x1 , 2 x2 ? 2 x1 ,则 ? p 是( A. ?x2 ? x1 , 2 x2 ? 2 x1 C. ?x2 ? x1 , 2 x2 ? 2 x1 B. ?x2 ? x1 , 2 x2 ? 2 x1 D. ?x2 ? x1 , 2 x2 ? 2 x1 ).

2.已知 m 为正数,则“ m ? 1 ”是“ A. 充分不必要条件 件

1 1 ? lg ? 1 ”的 ( m m
C. 充要条件

) D. 既不充分也不必要条

B. 必要不充分条件

3.已知向量 a ? ? 2, ?1,3? , b ? ? ?4, 2, x ? ,使 a ? b 成立的 x 与使 a / / b 成立的 x 分别为 ( ) A. B. C. D.

4.下列说法中正确的是 A. “ f ? 0? ? 0 ”是“函数 f ? x ? 是奇函数”的必要条件 B. 若 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ?1 ? 0
2 2

C. 若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 D. 命题“若 ? ? 5.已知 到直线 A. 1

?
6

,则 sin? ?

1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin? ? ” 2 6 2
上,若 ( ,线段 ) 的中点

两点均在焦点为 的抛物线 的距离为 1,则 的值为 B. 1 或 3 C. 2 D. 2 或 6

6.设点 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上一点, F1 , F2 分别是左右焦点, I 是 a 2 b2
2

?PF1F2 的内心,若 ?IPF1 , ?IPF2 , ?IF1F2 的面积 S1 , S2 , S3 满足 2 ? S1 ? S2 ? ? S3 ,则
双曲线的离心率为( A. 2 4 D. ) B.

3

C.

2
x2 ? y 2 ? 1 于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 1,则 16

7.直线 x ? 4 y ? m ? 0 交椭圆

m?(
A. -2 D. 2

) B. -1 C. 1

8.如图,60°的二面角的棱上有 A, B 两点,直线 AC , BD 分别在这个二面角的两个半平面 内,且都垂直于 AB .已知 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8 ,则 CD 的长为( )

A. D. 9

17

B. 7

C. 2 17

9.在空间直角坐标系 O ? xyz , A ? 0,1,0 ? , B ?1,1,1? , C ? 0,2,1? 确定的平面记为 ? , 不经过点 A 的平面 ? 的一个法向量为 n ? ? 2,2, ?2? ,则( A. ? / / ? B. ? ? ? C. ? , ? 相交但不垂直 )

D. ? , ? 所成的锐二面角为 60 0

10.已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交抛物线 C 于点 B , 若 FA ? 3FB ,则 AF ? ( ) A. 3 D. 7 11.如图,面 ACD ? ? ,B 为 AC 的中点, AC ? 2, ?CBD ? 60 , P为?内的动点 , B. 4 C. 6

3

且 P 到直线 BD 的距离为 3 则 ?APC 的最大值为(



A. 30° C. 90° 12. 椭圆

B. 60° D. 120°

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A. 关于原点的对称点为 B , F 为其右焦点,若 a 2 b2
?? ? ? , ,则该椭圆离心率的取值范围为 ( ?12 4 ? ?
B. ? )

AF ? BF ,设 ?ABF ? ? , 且 ? ? ?

A. ?

? 2 ? ,1? ? 2 ? ?

? 2 6? , ? 2 3 ? ?

C. ?

? 6 ? ,1? ? 3 ? ?

D. ?

? 2 3? , ? ? 2 2 ?
x?2 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值 x?a

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.条件 p : ?2 ? x ? 5 ,条件 q : 范围是______________. 14.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 引圆 x2 ? y 2 ? 16 的切线,切点为 T ,延长 FT 1 交双曲 16 25

线右支于 P 点.设 M 为线段 F1 P 的中点, O 为坐标原点,则 MO ? MT ? __________. 15.若直线 l 的方向向量 a ? (1,1,1) ,平面 ? 的一个法向量 n ? (2, ?1,1) ,则直线 l 与平面 ? 所成角的正弦值等于_________。 16. 已知 P 为椭圆
2 x2 y 2 ? ? 1 上任意一点, EF 为圆 N : ? x ? 1? ? y2 ? 4 的任意一条直 16 15

径,则 PE ? PF 的取值范围是__________. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分)

4

17.(10 分)已知命题 p : 方程:

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q : 双曲 2m 9 ? m

线

? 6 ? y 2 x2 p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求 , 2 ? ? 1 的离心率 e ? ? ? ? 2 ? ,若“ 5 m ? ?

m 的取值范围.
x2 y 2 18.(12 分)已知圆 O : x ? y ? 4 恰好经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点和 a b
2 2

两个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 经过原点的直线 l (不与坐标轴重合)交椭圆 C 于 A, B 两点, AM ? x 轴, 垂足为 M , 连接 BM 并延长 BM 交椭圆 C 于 N ,证明:以线段 BN 为直径的圆经过点 A . 19. (12 分)双曲线 (1)若双曲线的一条渐近线方程为 (2)以原点 且 的右焦点为 .

,求双曲线的方程;

为圆心, 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A ,过 A 作

圆的切线,斜率为 ? 3 ,求双曲线的离心率.

1 , b ? ? y, cosx ? 且 a b . 20. (12 分)已知 a ? 2cosx ? 2 3sinx ,
(1)将 y 表示成 x 的函数 f ? x ? ,并求 f ? x ? 的最小正周期. (2)记 f ? x ? 的最大值为 M , a , b , 边长,若 f ?

?

?

c 分别为 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对应的

? A? ? ? M 且 a ? 2 ,求 bc 的最大值. ?2?

21. (12 分)已知过点 A(?4, 0) 的动直线 l 与抛物线 G : x2 ? 2 py( p ? 0) 相交于 B, C 两 点.当直线 l 的斜率是

1 时, AC ? 4 AB . 2

(1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b ,求 b 的取值范围. 22. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB ⊥AD,AB=1,AD=2, AC ? CD ? 5 .
5

(1)求证:PD⊥平面 PAB; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

6

参考答案与解析 1.B 【解析】命题 p 是全称命题,其否定为特称命题,所以 ?p : “ ?x2 ? x1 , 2 x2 ? 2 x1 ”.故 选B . 2.C

1 1 1 ? lg ? ? lgx( x ? 0) ,则 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减。 x x x 1 1 1 若 m ? 1 ,则 f ? m ? ? ? lgm ? f ?1? ? 1 ,即 ? lg ? 1; m m m 1 1 1 若 ? lg ? 1,即 f ? m ? ? ? lgm ? f ?1? ? 1 ,则有 m ? 1 。 m m m 1 1 综上可得“ m ? 1 ”是“ ? lg ? 1 ”的充要条件。选 C。 m m
【解析】2.设 f ? x ? ? 3.A 【解析】向量 a ? ? 2, ?1,3 ? , b ? ? ?4, 2, x ? , 若 a ? b ,则 a b ? ?8 ? 2 ? 3? x ? ?10 ? 3x ? 0 ,解得 x ? 若 a / / b ,则 4.D 【解析】对于 A 中,如函数 f ? x ? ? x ?

10 . 3

?4 2 x ? ? ,解得 x ? ?6 .故选 A. 2 ?1 3 1 是奇函数,但 f ? 0? ? 0 ,所以不正确;B 中,命 x

2 2 ? 0 ,所以不正确;C 中,若 p ? q 题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p :?x? R ,x ? x ? 1

为假命题,则 p , q 应至少有一个假命题,所以不正确; D 中,命题“若 ? ?

?
6

,则

sin? ?
5.B

1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin? ? ”是正确的,故选 D. 2 6 2

【解析】 因为线段 B. 6.A 的中点到直线 的距离为 1,所以 ,选

7

【解析】

, F, G , 连 接 如 图 , 设 圆 I 与 ?PF 1 F2 的 三 边 F 1 F2 、 PF 1 、 PF2 分 别 相 切 于 点 E .
I E、 I F 、 IG ,
则 IE ? F 1F2 , IF ? PF 1 , IG ? PF2 , 它们分别是 ?IF1F2 , ?IPF 1 , ?IPF2 的高, ∴ S1 ?

1 1 PF1 ? IF ? PF1 r , 2 2

S2 ? S3 ?

1 1 PF2 ? IG ? PF2 r , 2 2 1 1 F1F2 ? IE ? F1F2 r , 2 2

其中 r 是 ?IF1F2 的内切圆的半径。 ∵ 2 ? S1 ? S2 ? ? S3 ,

1 F1 F2 r , 2 1 两边约去 r 得: PF1 ? PF2 ? F1 F2 , 2
∴ PF 1 r ? PF 2 r = 根据双曲线定义,得 PF 1 ? PF 2 ? 2a, F 1F 2 ? 2c , ∴ 2a ? c ? 离心率为 e ? 7.A 【解析】

c ? 2 .故选:A. a 1 m x? 4 4

x ? 4y ? m ? 0 , ? y ? ?

设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ?

8

x12 ? y12 ? 1 16 { 2 ,两式相减, x2 2 ? y2 ? 1 16

y1 ? y2 x1 ? x2 1 ?? ?? x1 ? x2 16 ? y1 ? y2 ? 4
AB 中点的横坐标为 1
则纵坐标为

1 4

, ? 代入直线 y ? ? 将 ?1
8.C

? 1? ? 4?

1 m x ? ,解得 m ? ?2 4 4

【解析】 ∵ CA ? AB , BD ? AB , ∴ CA ? AB ? 0, ∵C DB ? AB ? 0 , D ? C A A ? B B D ? ∴
2 2 2 2



CD ? CA ? AB ? BD ? 2CA ? AB ? 2CA ? BD ? 2 AB ? BD

? 62 ? 42 ? 82 ? 2 ? 6 ? 8cos120? ? 68 ,∴ CD ? 2 17 ,故选 C.
9.A 【解析】∵ A ? 0,1,0 ? , B ?1,1,1? , C ? 0,2,1? )确定的平面记为 α , ∴ AB ? ?1,0,1? , AC ? ? 0,1,1? , 设平面 α 的法向量 m ? ? x, y, z ? , 则{

m AB ? x ? z ? 0 m AC ? y ? z ? 0

,不妨令 x=1,得 m ? ?1,1, ?1? ,

∵不经过点 A 的平面 β 的一个法向量为 n→=(2,2,? 2),

n ? ? 2,2, ?2? ? 2m ,
∴α ∥β .。故选:A. 10.B

9

【解析】

由 已 知

B



AF

的 三 等 分 , 作

BH ? l 于 H

, 如 图 , 则

BH ?
11.B

2 4 4 FK ? ,? BF ? BH ? , ? AF ? 3 BF ? 4 ,故选 B. 3 3 3

【解析】∵ P 到直线 BD 的距离为 3 ∴空间中到直线 BD 的距离为 3 的点构成一个圆柱面,它和面 ? 相交得一椭圆,即点 P 在

? 内的轨迹为一个椭圆, B 为椭圆中心, b ? 3 , a ?
∴ A,B 为椭圆的焦点 ∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 ∴ ?APC 的最大值为 60 ? 。故选 B 12.B

3 ? 2 ,则 c ? 1 sin60?

x2 y 2 【解析】已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦点在 x 轴上, a b
椭圆上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,设左焦点为 F1, 则:连接 AF,AF1,AF,BF 所以:四边形 AFF1B 为长方形. 根据椭圆的定义:|AF|+|AF1|=2a, ∠ABF=α ,则:∠AF1F=α . ∴2a=2ccosα +2csinα ,即 a=(cosα +sinα )c,

1 c 1 ? ?, 由椭圆的离心率 e= = = ? 2sin ? ? ? ? a sinα ? cosα 4? ?

10

由? ? ?

? ?? ? ? ?? ? ? , ? ,, ? ? ? ? , ? , 4 ?3 2? ?12 4 ?
? 3 )∈[ ,1], 4 2
2 ],

sin(α +

?? ? 2sin ? ? ? ? ∈[ 6 , 4? ? 2

1 ? 2 6? , ? ? ∈? ,故选:B. ? 2sin ? ? ? ? ? 2 3 ? ? 4? ?
13. a ? 5 【解析】

p 是 q 的充分不必要条件,

??2 ? x ? 5 是不等式
故a ? 5 14.1

x?2 ? 0 的解集的真子集 x?a

【解析】设 F ? 是双曲线的右焦点,连接 PF ?

M ,O 分别为 F1P , F1F ? 的中点
? MO ? 1 PF ? 2
2 2

FT ? OF1 ? OT ? 5 1

? 由双曲线定义得, F 1P ? PF ? 8
故 MO ? MT ?

1 1 PF ? ? MF1 ? FT ? ? PF ? ? F1P ? ? FT ? ?4 ? 5 ? 1 1 1 2 2

15.

2 3

【解析】设直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? . 所以 sin ? ? cos a, n ? 16.[5,21] 【解析】因为 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ? NE ? NF ? NP ? NE ? NF ? NP

a?n a?n

?

2 ?1 ? 1 3? 6

?

2 . 3

?

??

?

?

?

2

11

? ? NE ? NF ?cos? ? 0 ? NP |2 ? ?4 ? NP |2 .
又因为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, b ? 15,c ? 1 , 16 15

N(1,0)为椭圆的右焦点,
∴ NP ? a ? c, a ? c ? 3,5 ∴ PE ? PF ? ?5, 21? . 故答案为:[5,21]. 17.实 m 的取值范围是 0 ? m ?

?

? ? ?

5 或3 ? m ? 5 . 2

【解析】若 p 真,则有 9-m>2m>0 即 0<m<3 若 真,则有 m>0 且 ,解得

因为“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,则 p ,q 一真一假。 ①若 P 真 q 假,则 0<m<3,且 m ②若 P 假 q 真,则 m 3 或 m 0 且 综上,实 m 的取值范围是 即 0<m 即 3 m<5

0?m?

5 或3 ? m ? 5 . 2

18.(1)

x2 y 2 ? ? 1 ;(2)见解析 8 4

【解析】(1)由题意可知, b ? c ? 2 , a ? b2 ? c2 ? 2 2 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 8 4

(2)证明:设直线 l 的斜率为 k ? k ? 0? , A ? x0 , y0 ?? x0 ? 0? ,在直线 l 的方程为 y ? kx ,

B ? ?x0 , ? y0 ? , M ? x0 ,0? .
直线 BM 的斜率为

? y0 ?kx0 k k ? ? ,所以直线 BM 的方程为 y ? ? x ? x0 ? , ?2 x0 ?2 x0 2 2

12

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 8 4 联立 { 得 ? k ? 2 ? x ? 2k x0 x ? k x0 ? 16 ? 0 , k y ? ? x ? x0 ? 2
记 B, N 横坐标分別为 ? xB , yB ? , ? xN , yN ? .由韦达定理知: xB ? xN ? ? x0 ? xN ?

2k 2 x0 , k2 ? 2

所以 xN ?

2k 2 x0 k 2 x0 ,于是 , ? x0 yN ? 2 k2 ? 2 k ?2

k 2 x0 ? kx0 y N ? y0 k 2 ? 2 1 ? ?? , 所以直线 AN 的斜率为 2 2k x0 xN ? x0 k 2 k ?2
因为 k ? ? ?

? 1? ? ? ?1.所以 AN ? BN , ? k?

所以以线段 BN 为直径的圆一定经过点 A . 19.(1) x2 ? y 2 ? 2 ;(2) 2 . 【解析】(1)由题意,

b ? 1, c ? 2, a 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 , ? 所求双曲线方程为 a

x2 ? y 2 ? 2
(2) 由题意, 设 A ? m, n ? , 则 kOA ?

? 3 c? 3 3 , 从而 n ? m , m2 ? n 2 ? c 2 , ? A ? ? 2 c, 2 ? ? 3 3 ? ?

将 A? ?

? 3 c? x2 y 2 3c 2 c 2 2 2 2 2 2 c, ? 代入双曲线 得: ? ? 1 ? 2 ? 1 ? c ? 3b ? a ? ? 4a b 2 2 2 ? 2 2 a b 4a 4b ? ?

2 2 且 c 2 ? a 2 ? b2 ? a ? b

?

?? 3b

2

? a 2 ? 4a 2b 2 ? 3b 4 ? 2a 2b 2 ? a 4 ? 0
从而

?

20.(1) f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ,函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? .(2)4. 6?

【解析】(1)由 a b 得 2cos2 x ? 2 3sinxcosx ? y ? 0

13

即 y ? 2cos x ? 2 3sinxcosx ? cos2 x ? 3sin2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ?
2

? ?

??

? ?1 6?

所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

2? 2? ? ?? ? ? 1 ,又 T ? 6? ? 2

所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? . (2)由(1)易得 M ? 3 于是由 f ?

?? ?? ? A? ? ? ? ? M ? 3 ,即 2sin ? A ? ? ? 1 ? 3 ? sin ? A ? ? ? 1 , 6? 6? ?2? ? ?
?
3

因为 A 为三角形的内角,故 A ?

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bccosA 得 4 ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc 解得 bc ? 4 ,于是当且仅当 b ? c ? 2 时, bc 的最大值为 4 . 21.(1)x =4y;(2)b∈(2,+∞). 1 1 【解析】 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是2时,l 的方程为 y=2(x+4),即 x=2y-4.
2

? x 2 ? 2 py 2 由? 得 2y -(8+p)y+8=0, x ? 2 y ? 4 ?
∴ y1 y2 ? 4 ①, y1 ? y2 ?

8? p ② 2

又∵ AC ? 4 AB ,∴y2=4y1,③ 由①②③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2,得抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),

? x2 ? 4 y 由? 得 x2-4kx-16k=0,④ y ? k ( x ? 4) ?
xC ? xB ? 2k ,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 2 1 ∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=- (x-2k), k
∴ x0 ? ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程④,由 Δ =16k2+64k>0 得 k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞).

14

22.(1)见解析;(2) sin? ?

3 3

【解析】(1)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, AB⊥AD, ∴ AB ? 平面 PAD, ∵ PD ? 平面 PAD, ∴ AB ? PD , 又 PD ? PA, PA ? AB ? A , ∴ PD⊥平面 PAB。 (2)取 AD 的中点 O,连 PO,CO。 ∵ AC ? CD ? 5 , ∴CO⊥AD, ∵PA=PD, ∴PO⊥AD, ∴OP,OA,OC 两两垂直, 以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,

则 P ? 0,0,1? , B ?1,1,0? , C ? 2,0,0? , D ?0, ?1,0 ? 。 ∴ PB ? ?1,1, ?1? 。 设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? , 由{

n ? PD ? ? x, y, z ? ? ? 0, ?1, ?1? ? ? y ? z ? 0 n ? PC ? ? x, y, z ? ? ? 2, 0, ?1? ? 2 x ? z ? 0

,得 {

y ? ?2 x z ? 2x



令 x ? 1 ,则 n ? ?1, ?2, 2? 。 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,

15

则 sin? ? cos n, PB ?

n ? PB n PB

?

3 3 ? . 3 3? 3
3 。 3

∴直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

16


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