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2018-2019学年高二数学苏教版选修1-1课件:第2章 2.2.2 椭圆的几何性质_图文

第2章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 椭圆的几何性质 学习目标:1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质.(重点) 2.感受如何运 用方程研究曲线的几何性质(难点) 3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一 些简单的实际问题.(重点、难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 -a≤x≤a 且-b≤y≤b (± a,0),(0,± b) -b≤x≤b 且-a≤y≤a (± b,0),(0,± a) 长轴长= 2a ,短轴长= 2b (± c,0) F1F2= 2c 对称轴 x轴、y轴 e= c (0<e<1) a ,对称中心 (0,0) (0,± c) [基础自测] 1.判断正误: x2 y2 (1)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的长轴长等于a.( (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.( (3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆.( ) ) ) x2 y 2 【解析】 (1)×.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的长轴长等于2a. (2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c. c (3)√.离心率e=a越小c就越小,这时b就越接近于a,椭圆就越圆. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ x2 y2 2.椭圆 + =1 的离心率是________. 16 25 【解析】 c 3 ∴e=a=5. 由方程可知a2=25,a=5,c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3, 3 【答案】 5 [合 作 探 究· 攻 重 难] 已知椭圆方程求其几何性质 3 已知椭圆x +(m+3)y =m(m>0)的离心率e= 2 ,求m的值及椭圆 2 2 的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. [思路探究] → 求性质 把椭圆方程标准化 → 利用离心率求m的值 → 求a,b,c 【自主解答】 x2 y2 椭圆方程可化为m+ m =1. m+3 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> , m+3 m+3 m+3 m 即a =m,b = ,c= a2-b2= m+3 2 2 m?m+2? . m+3 3 由e= 2 得 m+2 3 = 2 ,∴m=1. m+3 2 y ∴椭圆的标准方程为x2+ 1 =1. 4 1 3 ∴a=1,b=2,c= 2 . ∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1; ? 两焦点分别为F1? ?- ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? , F , 0 , 0 2? ? ?; 2 2 ? ? ? ? ? 1? 1? 四个顶点分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1?0,-2?,B2?0,2?. ? ? ? ? [规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤 将椭圆方程化为标准形式 ? 焦点位置 ? 求出a,b,c ? 写出椭圆的几何性质 [跟踪训练] 1.求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 【解】 x2 y2 把已知方程化成标准方程 16 + 9 =1,于是a=4,b=3,c= c 16-9 = 7 ,∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率e= a = 7 4, 两个焦点坐标分别是(- 7,0),( 7,0), 四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3),(0,3). 由椭圆的几何性质求方程 ? 5? x2 y 2 2 (1)已知椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率为 3 ,点C ?2,3? 在椭圆 ? ? 上,则椭圆的标准方程为__________. (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形;且焦点到同侧顶点 的距离为 3,则椭圆的标准方程为________. [思路探究] 解决问题的关键是根据已知条件求出a2 和b2. c 2 c2 4 【自主解答】 (1)由e=a=3得a2=9,又c2=a2-b2, a2-b2 4 b2 5 所以 a2 =9得a2=9. ? 5? 4 25 ? ? 2 , 又点C 3?在椭圆上得a2+9b2=1, ? ① ② 由①,②解得a2=9,b2=5. x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 9 + 5 =1. ? ?a=2c, (2)由已知? ? ?a-c= 3, ? ?a=2 3, ∴? ? ?c= 3. 从而b2=9, x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为12+ 9 =1或 9 +12=1. x2 y2 x2 y2 x2 y2 【答案】 (1) 9 + 5 =1 (2)12+ 9 =1或 9 +12=1. [规律方法] 1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法. 2.根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”,一般 步骤是:(1)求出a2,b2的值;(2)确定焦点所在的坐标轴;(3)写出标准方程. [跟踪训练] x2 y2 2.直线x-2y+2=0过椭圆 a2 + b2 =1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的 方程为________. 【解析】 故c=2. 直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点, 直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的顶点,故b=1.故a2=b2 2 x +c2=5,椭圆方程为 5 +y2=1. x2 2 【答案】 5 +y =1 求椭圆的离心率 x2 y2 (1)椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个 交点P的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为________. (2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,它到x轴的距离等于短半轴长 2 的3,则椭圆的离心率为________. [思路探究] (1)求出点P的坐标,利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程 构建关于离心率e的方程,解方程可得离心率. (2)在焦点三角形PF1F2中

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