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高二数学寒假作业(4)


高二数学寒假作业 4
1. 若 a, b ? R , i 为虚数单位,且 (a ? i )i ? b ? i ,则 a ? b ? .

x2 ? y 2 ? 1 的长轴长等于 2. 椭圆 4

.

3. 曲线 C: f ( x) ? sin x ? 2 x 在 x ? 0 处的切线斜率为 4. 已知双曲线

. .

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为 2 3 a b

5. 已知不等式 kx 2 ? kx ? 1 ? 0 对一切 x ? R 都恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 6. 函数 y ? 2 ? 3x ?

4 ( x ? 0) 的最大值为_______。 x

7. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a n ?1 ?
2

an ,则由 a1 , a2 , a3 归纳出 an ? 1 ? an
. .

.

8. 已知抛物线 y ? 4 x 上一点P(3,y),则点P到抛物线焦点的距离为 9. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ? 10.函数 f ( x) ? e x ? x ? 1 的单调递减区间为 .

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是 11. 椭圆 9 4
_____________. 12. 若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 13. 已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,两焦点为 F1 , F2 ,过 F2 作 x 轴的垂线交双曲线于 A, B 两点,且 ?ABF 1 a 2 b2
.

内切圆的半 径为 a ,则此双曲线的离心率为

14. 若 存 在 实 常 数 k 和 b , 使 函 数 f ( x ) 和 g ( x) 对 其 定 义 域 上 的 任 意 实 数 x 恒 有 : f ( x) ? kx ? b 和

g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直线”.已知 h( x) ? x2 ,? ( x) ? 2e ln x ,则可推
知 h( x),? ( x) 的“隔离直线”方程为 .

15. (12分)已知三点 P ? , ? ? 、 A (-2,0) 、 B (2,0) 。 (1)求以 A 、 B 为焦点且过点 P 的椭 圆的标准 方程; (2)求以 A 、 B 为顶点且以( 1)中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程 .

?5 ?2

3? 2?

16. (14 分)设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值; (2)若对于
3 2

任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

参考答案
一、填空题: (共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分) 1. ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ;2. 11 m / s ;3. 2 x ? y ? 2 ? 0 ;4. x ? y ? 1 ? 0 ; 5.2 或 0; 6.5 或 3;7. 3 ;8. y 2 ? x 或 x 2 ? ?8 y ;9. ( ?2,
2 2 2 2

1 ? 2) ; e

10.2;11. ?x ? 6? ? ? y ? 3? ? 52 或 ?x ? 14? ? ? y ? 7? ? 244 ;12.②③. 二、解答题: 13.解: (1)可知
2

c 9 4 3 2 2 2 ,又 a ? b ? c , ? 2 ? 1, = 2 a 3 a b
2

解得 a ? 15 , b ? 10 ,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 …………………… ……4 分 15 10

( 2 ) 可 知 , 此 时 直 线 PA 应 经 过 圆 心 M ?8,6? , 且 直 线 PA 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 PA 的 方 程 为 :

y ? 6 ? k ?x ? 8? ,…………………………5 分
因为直线 PA 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 10 相切,所以 解得 k ?

6 ? 8k k 2 ?1

? 10 ,

1 13 或k ? ,…………………………7 分[来源:Z.xx.k.Com] 3 9

所以,直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 10 ? 0 或 13x ? 9 y ? 50 ? 0 ……………………8 分 (3)设 ?AOB ? 2? , 则 OA ? OB =10 cos 2? = 10 2 cos

??? ? ??? ?

?

2

? ? 1?= 10?

? 20 ? ? 1? ,………………10 分 2 ? PO ?

因为 OM=10,所以 10 ? 2 ? PO ? 10 ? 2 , 所以, OA ? OB 的最大值为 ? 14.解: (1) f ?( x) ?

??? ? ??? ?

? ??? ? 55 ??? 155 , OA ? OB 的最小值为 ? ………………………12 分 8 18

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e 2 ] . x

若 a ? ?2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?( x) ? 0 ) , 故函数 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 .………………2 分 若 ? 2e 2 ? a ? ?2 ,当 x ?

?a 时, f ?( x) ? 0 ; 2

当1 ? x ?

?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是减函数 ; 2



?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数. 2 ?a a a a ) ? ln(? ) ? .………………4 分 2 2 2 2

故 [ f ( x)] min ? f (

若 a ? ?2e 2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e 2 ,x=e 时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e] 上是减函数, 此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e 2 .………………6 分

综上可知, [ f ( x)]min

?1 (a ? ?2) ?a a a ? ? ? ln(? ) ? (?2e 2 ? a ? ?2) ………………7 分 2 2 ?2 2 2 ? ?a ? e (a ? ?2e )

(3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ?

x 2 ? 2x ( x ?[1, e] )………………9 分 x ? ln x
x 2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ?[1, e] ) ,又 g ?( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 g ( x) ?

当 x ?[1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数,………………1 1 分 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [?1,??) .………………12 分


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