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【优化方案】2012高考数学总复习 第8章§8.2空间几何体的表面积与体积精品课件 理 北师大版


§8.2 空间几何体的表面积与体积

§ 8.2 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理

柱、锥、台与球的侧面积和体积

圆柱

面积 S 侧= ________ 2πrh

体积 V=Sh=_______ πr2h 1 1 2 V= Sh= πr h 3 3 1 2 2 2 = πr l -r 3 1 V= (S 上+S 下+ S上·下)h S 3 1 2 2 = π(r1+r2+r1r2)h 3

圆锥

πrl S 侧=_____

圆台

S 侧= π(r1+r2)l __________

直棱柱 正棱锥 正棱台 球

体积 Sh V=_____ 1 Sh V=______ 3 1 1 (c+c′)h′ V= (S 上+S 下+ 2 3 S 侧=_________ S上·下)h S 4 3 2 πR S 球面=4πR V=______ 3

面积 ch S 侧=___ 1 S 侧= ch′ 2

思考感悟 对不规则的几何体应如何求体积?

提示:对于求一些不规则的几何体的体积常用割
补的方法,转化为已知体积公式的几何体进行解 决.

课前热身 1.(教材习题改编)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径 为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个钢球完 全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5 cm,则钢球 的半径为( )

A.1 cm

B.1.2 cm
C.1.5 cm

D.2 cm
答案:C

2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的 截面面积为 π,则球的体积为( ) 8π 8 2π A. B. 3 3 32π C.8 2π D. 3
答案:B

3.(2011年蚌埠质检)如图,一个空间几何体的主 视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体 的表面积为( )

3+ 3 A. 2 1 C. 6

B.3+ 3 3 D. 2

答案:A

4. 如图是一个几何体的三视图. 若它的体积是 3 3,则 a=______.

答案: 3

5.(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直 角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋 转一周所成的几何体体积是________.

8π 答案: 3

考点探究?挑战高考

考点突破 几何体的表面积 求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征 几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形, 棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长 等几何元素间的桥梁,从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系;求球的表 面积关键是求其半径;旋转体的侧面积就是它们侧 面展开图的面积.

(2010 年高考课标全国卷)设三棱柱的侧 棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一 个球面上,则该球的表面积为( ) 7 2 2 A.πa B. πa 3 11 2 C. πa D.5πa2 3
【思路点拨】 根据图形特征,球心为三棱柱上、 下底面的中心连线的中点,构造三角形可求得球 的半径,代入公式可求得表面积.

例1

【解析】

三棱柱如图所示,

由题意可知:球心在三棱柱上、下底面的中心 O1、 2 的连线的中点 O 处, O 连接 O1B、 1O、 O OB, 2 其中 OB 即为球的半径 R,由题意知:O1B= 3 3a 3a 3a 2 7a2 a2 × = ,所以半径 R2=( ) +( )= , 2 3 2 3 12 2 7πa 2 所以球的表面积 S=4πR = ,故选 B. 3
【答案】 B

【名师点评】

求几何体的表面积要抓住关键量,

如多面体的高,底面边长及几何体特征,旋转体的

高、底面半径及几何特征,球的半径,同时注意整
体思维的运用,以减少计算量.

变式训练1 (2009年高考海南、宁夏卷)一个棱锥 的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2) 为( )

A.48+12 2 C.36+12 2

B.48+24 2 D.36+24 2

解析:选A.由三视图可知原棱锥为三棱锥,记 为P-ABC(如图),且底面为直角三角形,顶点P 在底面的射影为底边AC的中点,

且由已知可知 AB=BC=6,PD=4. 1 1 1 则全面积为 S= ×6×6+2× ×6×5+ 2 2 2 ×4×6 2 =48+12 2.故选 A.

几何体的体积

计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出
相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的

截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面
问题求解.

例2 (2010年高考陕西卷)如图,在四棱锥

P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中 点. (1)证明:EF∥平面PAD; (2)求三棱锥E-ABC的体积V.

【思路点拨】 EF∥平面 PAD.

(1)由线面平行的判定定理易证

(2)由图形特征易求得三棱锥 E-ABC 的底面积及高 1 PA,代入体积公式可求 V. 2

【解】 (1)证明:在△PBC 中,E,F 分别是 PB, PC 的中点, ∴EF∥BC. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

(2)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA,交 AB 于点 G, 1 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA. 2 在△PAB 中, AP=AB, ∠PAB=90° BP=2, ,

2 ∴AP=AB= 2,EG= . 2 1 ∴S△ABC= AB· BC 2 1 = × 2×2= 2, 2 1 ∴VE-ABC= S△ ABC· EG 3 1 2 1 = × 2× = . 3 2 3

【名师点评】

求锥体的体积,要选择适当的底面 1 积和高,然后应用公式 V= Sh 进行计算即可.常用 3 方法:割补法和等积变换法. (1)割补法:求一个几何体的体积可以将这个几何体 分割成几个柱体、锥体,分别求出锥体和柱体的体 积,从而得出几何体的体积. (2)等积变换法:①利用三棱锥的任一个面可作为三 棱锥的底面.求体积时,可选择容易计算的方式来 计算;②利用“等积性”可求“点到面的距离”.

变式训练2

有一根木料,形状为直三棱柱形,

高为6 cm,横截面三角形的三边长分别为3 cm、 4 cm、5 cm,将其削成一个圆柱形积木,求该木 料被削去部分体积的最小值.

解:如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱 柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大, 削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半 径为R,圆柱的高即为直三棱柱的高.

在△ABC 中,令 AB=3,BC=4,AC=5, ∴△ABC 为直角三角形. 根据直角三角形内切圆的性质可得 7-2R=5, ∴R=1. ∴V 圆柱=πR2· h=6π(cm3). 1 而 三 棱 柱 的 体 积 为 V 三 棱 柱 = ×3×4×6 = 2 36(cm3). 3 ∴削去部分的体积为 36-6π=6(6-π)(cm ). 即削去部分体积的最小值为 6(6-π)cm3.

几何体的折叠与展开 几何体的表面积,除球以外,都是利用展开图求得 的,利用了空间问题平面化的思想.把一个平面图 形折叠成一个几何体,再研究其性质,是考查空间 想象能力的常用方法,所以几何体的展开与折叠是

高考的一个热点.

(1)有一根长为3π cm、底面半径为1 cm的圆 柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁 丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝 的最短长度为多少? (2)把长、宽分别为4π cm和3π cm的矩形卷成圆柱, 如何卷能使体积最大? 【思路点拨】 把圆柱沿着铁丝的两个端点落在的 那条母线展开,将问题转化为平面上两点间的最短 距离.

例3

【解】 (1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开, 在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC= 3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、 止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长 度.

AC= AB +BC =5π cm, 故铁丝的最短长度为 5π cm. (2)以 3π cm 为高时, 4π 2 2 3 圆柱的体积为 π( ) · 3π=12π (cm ), 2π 所以,以 4π cm 为高时, 3π 2 圆柱的体积为 π( ) · 4π=9π2(cm3), 2π 所以,以 4π cm 为底面周长,以 3π cm 为高时卷成 的圆柱体积最大.

2

2

【规律小结】

几何体的展开图

方法感悟
方法技巧 1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、 棱台与球的表面积的问题,要结合它们的结构特 点与平面几何知识来解决.(如例1) 2.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无 法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条件中的 已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的 技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台), 或化离散为集中,给解题提供便利.(如例2)

3.有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,
应以公式为基础,充分利用几何体中的直角三 角形、直角梯形求有关的几何元素.

失误防范 1.面积、体积的计算中应注意的问题 (1)柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的 面积,因此,弄清侧面展开图的形状及各线段的 位置关系,是求侧面积及解决有关问题的关键. (2)计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底 面积和高.充分运用多面体的截面及旋转体的轴 截面,将空间问题转化成平面问题.

(3)球的有关问题,注意球半径与截面圆半径, 球心到截面距离构成直角三角形. (4)有关几何体展开图与平面图形折成几何体 问题,在解决的过程中注意按什么线作轴来展 或折,还要坚持被展或被折的平面,变换前、 后在该面内的大小关系与位置关系不变.在完 成展或折后,要注意条件的转化对解题也很重 要.

2.与球有关的组合体问题 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外 接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的 位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适 的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各 个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外 接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体 的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合, 通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组 合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、 “接点”作出截面图.

考向瞭望?把脉高考

考情分析 空间几何体的表面积、体积是高考的必考知识点 之一.题型既有选择题、填空题,又有解答题, 难度为中、低档.客观题主要考查由三视图得出 几何体的直观图,求其表面积、体积或由几何体 的表面积、体积得出某些量;主观题考查比较全 面,其中一步往往设置为表面积、体积问题,无 论是何种题型都考查学生的空间想象能力.

预测2012年高考仍将以空间几何体的表面积、 体积为主要考查点,重点考查学生的空间想 象能力、运算能力及逻辑推理能力.

规范解答 (本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)如 图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的 高.


(1)证明:平面 PAC⊥平面 PBD; (2)若 AB= 6,∠APB=∠ADB=60° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
【解】 (1)证明:因为PH是四棱锥P-ABCD的 高, 所以AC⊥PH.又AC⊥BD,PH、BD都在平面 PBD内,且PH∩BD=H, 所以AC⊥平面PBD,又AC?平面PAC, 故平面PAC⊥平面PBD.6分

(2)因为四边形 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AC ⊥BD,AB= 6, 所以 HA=HB= 3.8 分 因为∠APB=∠ADB=60° , 所以 PA=PB= 6,HD=HC=1. 可得 PH= 3,AC=BD= 3+1,10 分 1 等腰梯形 ABCD 的面积为 S= AC×BD=2+ 3. 2 3+2 3 1 所以四棱锥的体积 V= ×(2+ 3)× 3= . 3 3 12 分

【名师点评】 (1)本题易失误的是:①不会转化思 想的应用,一看到梯形就定向思维以致求不出底面 积;②用错锥体体积的计算公式. (2)计算空间几何体的体积时要注意:①分析清楚空 间几何体的结构,搞清楚该几何体的各个部分的构 成特点;②进行合理的转化和一些必要的等积变换, 如三棱锥的体积计算就可以通过“换顶点”的方法进 行等积变换;③正确选用体积计算公式.在体积计 算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外), 因此体积计算中的关键一步就是求出这个量.在计 算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转 体中的轴截面.

名师预测 如图所示(单位:cm),求图中阴影部分绕AB旋 转一周所形成的几何体的体积.

解:由图中数据,根据圆台和球的体积公式,得 1 V 圆台= ×π(22+2×5+52)×4 3 =52π(cm3), 4 1 16 3 V 半球= π×2 × = π(cm3). 3 2 3 所以,旋转体的体积为 16 140 3 V 圆台-V 半球=52π- π= π(cm ). 3 3


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