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2018版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案新人教A版必修4


2.4.2 学习目标 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程, 能运用数量积的坐标表示进行向量 数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.3.能根 据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量. 思考 1 i·i,j·j,i·j 分别是多少? 答案 i·i=1×1×cos 0=1,j·j=1×1×cos 0=1,i·j=0. 思考 2 取 i,j 为坐标平面内的一组基底,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),试将 a,b 用 i,j 表示,并计算 a·b. 答案 ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i +(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j =x1x2+y1y2. 思考 3 若 a⊥b,则 a,b 坐标间有何关系? 答案 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 梳理 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ . 数量积 向量垂直 2 2 a·b=x1x2+y1y2 a⊥b?x1x2+y1y2=0 知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考 1 若 a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a=xi+yj,x,y∈R, ∴a =(xi+yj) =(xi) +2xy i·j+(yj) =x i +2xy i·j+y j . 又∵i =1,j =1,i·j=0, ∴a =x +y ,∴|a| =x +y , ∴|a|= x +y . → 思考 2 若 A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算向量AB的模? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → → → 答案 ∵AB=OB-OA =(x2,y2)-(x1,y1) =(x2-x1,y2-y1), → 2 2 ∴|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? . 梳理 向量 模长 |a|= x +y 2 2 a=(x,y) → 以 A(x1,y1),B(x2,y2)为端点的向量AB → 2 2 |AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? 知识点三 平面向量夹角的坐标表示 思考 设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,那么 cos θ 如何用坐标表示? 答案 cos θ = a·b x1x2+y1y2 = 2 . 2 2 |a||b| x1+y1 x2 2+y2 类型一 平面向量数量积的坐标表示 例 1 已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a(b·c)及(a·b)c. 解 (1)设 a=λ b=(λ ,2λ )(λ >0),则有 a·b=λ +4λ =10,∴λ =2,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10, ∴a(b·c)=0a=0, (a·b)c=10(2,-1)=(20,-10). 反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设向量一 般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设向量,还可以验证一般情况 下(a·b)·c≠a·(b·c),即向量运算结合律一般不成立. 跟踪训练 1 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则

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