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3.1.1变化率问题(采用)_图文

课前检测:
下面是一家公司的工资发放情况,其中,工资的年薪 s(单 位:10元)与时间t(单位:年)成函数关系。计算每年的平 均工资增长率y.试分析公司的效益发展趋势?
年份 年 薪s 1 2 3 4 5

2000

2100

2300

2600

3000

第1年到第2年的平均工资增长率:
s (2) ? s (1) y1 ? ? 100 2 ?1

3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题

问题一:气球膨胀率

问题1:我们都吹过气球回忆一下
吹气球的过程,可以发现,随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

0.62dm

第 一 次
0.16dm

观察小新接连两次 吹气球时, 气球的膨胀程度。

第 二 次

?

气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm)

之间的函数关系是

4 3 V(r) = πr 3

?如果将半径r表示为体积V的函数,那么

3V r(V) = 3 4π

?当V从0增加到1时,气球半径增加 r(1) - r(0) ? 0.62(dm)

气球的平均膨胀率为

r(1) - r(0) ? 0.62(dm / L) 1- 0
r(2) - r(1) ? 0.16(dm)

?当V从1增加到2时,气球半径增加

气球的平均膨胀率为

r(2) - r(1) ? 0.16(dm / L) 2 -1
显然

0.62>0.16

问题2:当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水

想想运 动员跳水的 过程?

问题二:在高台跳水运动中,运动员相对于
水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位: 秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗略地描 述其运动状态?

请计算

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度 :

在0 ? t ? 0.5这段时间里的平均速度 :

h(0.5) - h(0) v= = 4.05 (m / s) 0.5 - 0
在1 ? t ? 2这段时间里的平均速度 :

h(2) - h(1) v= = -8.2 (m / s) 2 -1

h(t)=-4.9t2+6.5t+10
?当时间从t1增加到t2时,运动员

的平均平均速度是多少?

h(t2 ) ? h(t1 ) v? t2 ? t1

探 65 究 计算:运动员在 0 ? t ? 49 ? 这段时间内的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗?

如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像
h

65 h( ) ? h(0) v ? 49 ? 0( s / m) 65 ?0 49

98 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 49 这段时间里的平均速度

O t ? 65 65

t

为 0(s / m),但实际情况是运动员仍然运动,并非 静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员 的运动状态.

在例1中:对于函数 r(V) = 当空气容量 从V1增加到V2时,气球的

3

3V 4π

平均膨胀率
在例2中:对于函数h=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在0s到0.5s内的

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

平均速度

h(t2 ) ? h(t1 ) v? t2 ? t1

f(x ) f(x ) 2 1 一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的 平均变化率 x 2 - x1

以上两个问题都是求变化率, 我们可以用函数关系式y=f(x)来表 示. 那么变化率为 f(x 2 ) - f(x1 )

x 2 - x1
上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

一.平均变化率的定义:
f(x2 ) ? f ( x1 ) 1.函数f(x)从x1到x2的平均变化率 x2 ? x1
2.习惯上记: △x=x
2-x1

△y=f(x2)-f(x1)


3.因 x2=x1 +△x
则平均变化率为

f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?x

例1: 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 [ –3 , –1]上的平均变化率 ;
(1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2

?

?y 4 ? ?2 ?x 2

求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 △y f(x 2 ) - f(x1 ) . = x 2 - x1 △x

变式:

已知函数 f

(x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x

分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.

(1) [ –3 , –1] ;

(2) [ 0 , 5 ] .

问题二:平均变化率的几何意义 y
y ? f ?x ? f ?x 2 ? f ?x 1 ?

B A
f ?x2 ? ? f ?x1 ?
x 2 ? x1

? 观察函数f(x)的图象

f(x 2 ) - f(x1 ) 平均变化率 x 2 - x1
表示什么?
直线AB的斜率

O

x1

x2

x

图1.1 ? 1

平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。

例.过曲线f(x)=x3上两点P(1,1)

和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,
求出当Δx=0.1时割线的斜率.

? [解析]

?

∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1 =(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,

Δy ∴割线 PQ 的斜率 k= Δx (Δx)3+ 3(Δx)2+ 3Δx 2 = =(Δx) +3Δx+3. Δx 设 Δx= 0.1 时割线的斜率为 k1,则 k1= 0.12+3× 0.1 + 3=3.31.

本节小结:
? 1.函数的平均变化率
?

2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量:Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率: 3.平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。

目标检测
1.已知函数 f(x),当自变量由 x0变化到x1时 函数值的增量与相应的自变量的增量比是 函数( A ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化率 D.以上结论都不对

2 、函数 f ? x ? = x 在区间 ?-1, 3?
2

上的平均变化率是(B )
A.4
1 C. 4
2

B.2
3 D. 4

Δy 3 -1 解: = =2 Δx 3 - (-1)

3.质点运动规律为s(t)=t2+3, 则从3到3+Δ t的平均速度为(
A.6+Δt C.3+Δt 9 B.6+Δt+ Δt D.9+Δt

A

)


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