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第三章 三角恒等变换 第三章 3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第三章 3.1.1 两角差的余弦公式 课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业 课前自主预习 温故知新 1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=________. [答案] x1x2+y1y2 2.sin30° =________,cos30° =________,sin45° = ________,cos45° =________,sin60° =________,cos60° = ________. 1 [答案] 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 3.A=cos60° cos30° -sin60° sin30° ,B=cos90° ,A与B的 关系如何? [答案] A=B 新课引入 大千世界的事物都是发展变化的,有的变化是发生了本 质的改变,也有更多的变化是形式改变了,但本质却没 变.数学中也存在着若干的等价变化,本节我们从cos(α-β) 的计算来研究三角的恒等变换. 两角和差的正余弦公式是三角恒等变换的基础,其中角 的和、差、倍、分之间的三角函数的变换蕴含着重要的转化 与化归的思想方法,学习时应认真品味,悉心领悟. 两角和差的三角公式与三角函数中的诱导公式有怎样的 联系呢? 自主预习 阅读教材P124-127回答下列问题. 两角差的余弦公式 (1)cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ (2)此公式简记作C(α-β). . [总结]对两角差的余弦公式的理解: ①公式中的α,β都是任意角. ②差角的余弦公式不能按分配律展开,即一般情况下, cos(α-β)≠cosα-cosβ. ③公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用,在很多时 候,逆用更能简洁地处理问题.如由cos50° cos20° + sin50° sin20° 能迅速地想到cos50° cos20° +sin50° sin20° =cos(50° -20° )=cos30° = 3 ;又如cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ= 2 cos[(α+β)-β]=cosα. ④记忆:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接 符号与左边角的连接符号相反. cos105° =________. 2- 6 4 将105° 表示成150° -45° ,再用公式C(α-β)计算, [答案] [解析] cos105° =cos(150° -45° )=cos150° cos45° +sin150° sin45° =- 2- 6 3 2 1 2 2 × 2 +2× 2 = 4 . cos(30° -45° )等于( 2 A. 2 2+ 3 C. 4 ) 3 B. 2 2+ 6 D. 4 [答案] D [解析] 3 cos(30° -45° )=cos30° cos45° +sin30° sin45° = 2 2+ 6 2 1 2 × + × = . 2 2 2 4 课堂典例讲练 思路方法技巧 命题方向1 公式的直接应用 计算(1)cos15° cos105° +sin15° sin105° ; (2)cos(35° -α)cos(25° +α)+sin(α-35° )sin(25° +α). [分析] 逆用公式时,要查名称、查角、查运算符号是否 符合公式的要求,不符合的要先变形调整. [解析] (1)原式=cos(15° -105° ) =cos(-90° )=0; (2)原式=cos[(α-35° )-(25° +α)] 1 =cos(-60° )=cos60° =2. 3 4 已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ= ,求coa(α-β)的值. 5 5 [解析] 2 3 4 ∵sinα+sinβ= ,cosα+cosβ= ,∴(sinα+ 5 5 3 2 4 2 9 2 sinβ) =( 5 ) ,(cosα+cosβ) =( 5 ) ,即1+2sinαsinβ= 25 ,1+ 16 2cosαcosβ= 25 .两式两边分别相加,得2+2(sinαsinβ+cosαcosβ) 1 =1,即2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=- . 2 探索延拓创新 命题方向2 角的变换 π 3π 12 已知 2 <β<α< 4 ,cos(α-β)= 13 ,sin(α+β)=- 3 5,求cos2β. [分析] 从条件和待求的问题中发现角与角之间的关系: 2β=(α+β)-(α-β). [解析] π 3π ∵2<β<α< 4 , π 3π ∴0<α-β<4,π<α+β< 2 . ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β? = ?12? 5 2 ? ? 1- 13 =13, ? ? cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? =- ? 3? 4 2 ? ? - 1- 5 =-5, ? ? cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 4 12 ? 3? 5 63 =-5×13+?-5?×13=-65. ? ? 规律总结:(1)利用差角的余弦公式求值时,不能机械 地从表面去套公式,而要变通地从本质上使用公式,即把所 求的角分解成某两个角的差,并且这两个角的正、余弦函数 值是已知的或可求的,再代入公式即可求解. (2)在将所求角分解成某两角的差时,应注意如下变换:α 1 =(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α= 2 [(α+ 1 β)+(α-β)],α=2[(β+α)-(β-α)]等. ? π? π (3)本例易出现不求α+ 4 的范围,直接求cos ?α+4? 而出现 ? ? 两个值的错误. 1 11 π 已知cosα= 7 ,cos(α+β)=- 14 ,且α、β∈(0, 2 ),求 cos

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