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2017-2018学年高中数学北师大必修2教学案:复习课(一)立体几何初步 Word版含解析

复习课(二) 解析几何初步 直线的方程 直线方程的求法一直是考查重点,多以解答题形式考查,常涉及距离、平行、垂直等 知识,有时与对称问题相结合,难度中档以上. [考点精要] 1.直线方程的五种形式 名称 一般 点 斜 式 斜截式 y=kx+b y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1 情况 方程 y-y0= k(x-x0) 常数的几何意义 (x0,y0)是直线上的一个定点, k 是斜率 k 是斜率,b 是直线在 y 轴上 的截距 (x1,y1),(x2,y2)是直线上的 两个定点 适用条件 直线不垂 直于 x 轴 直线不垂 直于 x 轴 直线不垂 直于 x 轴 和y轴 直线不垂 截距式 x y + =1 a b a,b 分别是直线在 x 轴,y 轴 上的两个非零截距 直于 x 轴 和 y 轴,且 不过原点 一般式 Ax+By+C=0 A,B 不同时为 0 A,B,C 为系数 任何情况 一般 情况 两 点 式 2.常见的直线系方程 (1)经过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程为 A1x +B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中 λ 是待定系数.在这个方程中,无论 λ 取什么实数, 都不能得到 A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线 l2. (2)平行直线系方程:与直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)平行的直线系方程是 Ax +By+λ=0(λ≠C). (3)垂直直线系方程:与直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)垂直的直线系方程是 Bx -Ay+λ=0. [典例] 过点 A(3, -1)作直线 l 交 x 轴于点 B, 交直线 l1: y=2x 于点 C, 若|BC|=2|AB|, 求直线 l 的方程. [解] 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l:x=3, ∴B(3,0),C(3,6). 此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|, ∴直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y+1=k(x-3), 显然 k≠0 且 k≠2. 1 令 y=0,得 x=3+ , k 1 ? ∴B? ?3+k,0?, 由? ? ?y=2x, 3k+1 得点 C 的横坐标 xC= . k-2 ?y+1=k?x-3?, ? ∵|BC|=2|AB|,∴|xB-xC|=2|xA-xB|, ?3k+1 1 ? ?1? - -3?=2 ∴? k k , ? k-2 ? ? ? 3k+1 1 2 3k+1 1 2 ∴ - -3= 或 - -3=- , k k-2 k k k-2 k 3 1 解得 k=- 或 k= . 2 4 ∴所求直线 l 的方程为 3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0. [类题通法] 求直线方程时,要根据给定条件,选择恰当的方程,常用以下两种方法求解: (1)直接法:直接选取适当的直线方程的形式,写出结果; (2)待定系数法:先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程,再由直线满足的另一 个条件求出待定系数,从而求得方程. [题组训练] 1.倾斜角为 150°,在 x 轴上的截距为-1 的直线方程是( A. 3x-3y+1=0 C. 3x+3y- 3=0 B. 3x-3y- 3=0 D. 3x+3y+ 3=0 ) 解析:选 D 由于倾斜角为 150°,故斜率 k=- 为 y=- 3 (x+1),即 3x+3y+ 3=0. 3 3 .又直线过点(-1,0),所以直线方程 3 2.已知直线 l1:3x-2y-1=0 和 l2:3x-2y-13=0,直线 l 与 l1,l2 的距离分别是 d1, d2,若 d1∶d2=2∶1,求直线 l 的方程. 解:由直线 l1,l2 的方程知 l1∥l2,又由题意知,直线 l 与 l1,l2 均平行(否则 d1=0 或 d2 =0,不符合题意). 设直线 l:3x-2y+m=0(m≠-1 且 m≠-13),由两平行直线间的距离公式,得 d1= |m+1| |m+13| ,d2= ,又 d1∶d2=2∶1,所以|m+1|=2|m+13|,解得 m=-25 或 m=-9. 13 13 故所求直线 l 的方程为 3x-2y-25=0 或 3x-2y-9=0. 两直线的位置关系 两直线的位置关系是常考点.主要以选择、填空题形式考查,多涉及求参数与直线方 程求法,难度中档以下. [考点精要] 1.求直线斜率的基本方法 (1)定义法:已知直线的倾斜角为 α,且 α≠90°,则斜率 k=tan α. y2-y1 (2)公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 x1≠x2,则斜率 k= . x2-x1 2.判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都存在,且分别为 k1,k2,则 k1=k2?l1∥l2. (2)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都不存在,其倾斜角都为 90°,则 l1∥l2. 3.判断两直线垂直的方法 (1)若直线 l1 与 l2 的斜率都存在,且分别为 k1,k2,则 k1· k2=-1?l1⊥l2. (2)已知直线 l1 与 l2,若其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,则 l1⊥l2. [典例] 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2 且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. [解] (1)∵l1⊥l2, ∴a(a-1)-b=0,① 又 l1 过点(-3,-1), ∴-3a+b+4=0.② ? ?a=2, 解①②组成的方程组得? ?b=2. ? (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2, ∴直线 l1 的斜率存在. a ∴k1=k2,即b=1-a.③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2, ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反

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