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2012广州一模试题及参考答案(理科数学)WORD版(欢迎关注@高考直通车 )

试卷类型:A

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2012.3 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 答卷前, 1. 考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 试室号、 座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ? 方差 s ?
2

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

2 2 2 1? x ? x ? ? ? xn x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? ,其中 x ? 1 2 . ? ? ? n? n

?

? ?

?

?

?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. ?2 B. ?1 C.0 D.2

2.已知全集 U ? R ,函数 y ?

1 的定义域为集合 A ,函数 y ? log2 ? x ? 2? 的定义域 x ?1

为集合 B ,则集合 ? A ? B ? U A. ? ?2, ?1? B. ? ?2, ?1? C. ? ??, ?2? 3.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A.3B.6C.12 D.24
1

?

?

D. ? ?1, ?? ?

? ?

? ?? ? ?? ? 0? 的相邻两个零点之间的距离为 12 ,则 ? 的值为 6?

2 2 2 4 . 已 知 点 P ? a,b ? ( ab ? 0 ) 是 圆 O : x ? y ? r 内 一 点 , 直 线 l 的 方 程 为

ax ? by ? r 2 ? 0 ,那么直线 l 与圆 O 的位置关系是
A.相离 B.相切 C.相交 5.已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ,对于任意正数 D.不确定

a , x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知两个非零向量

a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.若

a = ? ?3, 4? , b = ? 0,2? ,则 a ? b 的值为
A. ?8 B. ?6 C.8 D.6

? 7.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD

为钝角三角形的概率为 A.

1 1 1 2 B. C. D. 6 3 2 3

8.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐 标系中的点的坐标 ? x, y, z ? ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件的点的个数为 A.252B.216C.72 D.42 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 2 9.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为. 10.已知 2≤

2 2

2 2

2

? ? kx ? 1?dx≤4 ,则实数 k 的取值范围为.
2 1

正(主)视图

侧(左)视图

11.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

?

?

m2 ? 6

在区间 ? 0,??? 上单调递增, 2

则实数 m 的值为. 12.已知集合 A ? x 1≤x≤2 , B ? x x ? a ≤1 ,若 A I B ? A ,

?

?

?

?

2 图1

俯视图 则实数 a 的取值范围为. 13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的 实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第 2 个 五 角 形 数 记 作 a2 ? 5 , 第 3 个 五 角 形 数 记 作 a3 ? 12 , 第 4 个 五 角 形 数 记 作

a4 ? 22 ,……,若按此规律继续下去,则 a5 ? ,若 an ? 145 ,则 n ? .

2

1

5

12 图2

22

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 cm ,点 P 是弦 AB 的中点,

B C A O P D

CP 1 OP ? 3 cm ,弦 CD 过点 P ,且 ? ,则 CD 的长为 cm . CD 3 15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的
参数方程分别为 l : ?

? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, ( s 为参数)和 C : ? ( t 为参数) , 2 ?y ? t ? y ? 1? s

图3

若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ? .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ?. 4?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9? ? ? 3? ? ? ,若 2 ? ?? ?? ?? ? f ? ? ? ? 2 ,求 cos ? ? ? ? 的值. 4? ? 3 4? ?

(2)设 ? ? ? ?,

17. (本小题满分12分) 如图 4 所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中 甲组 乙组 的数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示. 9 7 8 7 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同. (1)求 a 的值; 6 6 9 a 3 (2)求乙组四名同学数学成绩的方差; 图4 (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,记这两名同学数学 成绩之差的绝对值为 X ,求随机变量 X 的分布列和均值(数学期望) . (温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明. )

5

3

18. (本小题满分14分) 如图 5 所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,

PD ? AC 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
(1)证明△ PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

A

D B
图5

C

19. (本小题满分 14 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且 a3 ? 2a2 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

20. (本小题满分14分) 已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1 的左,右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶 4

点,离心率为 5 的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交 于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 P 、 T 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,证明: x1 ? x2 ? 1; 21. (本小题满分14分)

g 设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数), n ( x) ? 1 ? x ?
x

x 2 x3 xn ? ? L ? ( n ? N* ) . 2! 3! n!

(1)证明: f ( x ) ≥g1 ( x) ; (2)当 x ? 0 时,比较 f ( x ) 与 gn ( x) 的大小,并说明理由;

4

(3)证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ?

?2? ?2?

1

?2? ?3?

2

?2? ?4?

3

? 2 ? * . ? ≤gn ?1? ? e ( n ? N ) ? n ?1 ?

n

5

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题仅填对 1 个,则给 3 分. 9.

4 3 ?2 ? 10. ? , 2 ? 11.312. ?1, 2? 13.35,10 3 ?3 ?

14. 6 2 15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等 知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解: f ?

?? ?? ??? ? ? tan ? ? ? ………………………………………………1 分 ?3 4? ?9?

? ? ? tan 3 4 ………………………………………………3 分 ? ? ? 1 ? tan tan 3 4 tan

?

3 ?1 ? ?2 ? 3 .…………………………………………………4 分 1? 3

(2)解:因为 f ?

3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? …………………………………………5 分 4 4? ? 3 4? ?

? tan ?? ? ?? ……………………………………………………6 分
6

? tan ? ? 2 .…………………………………………………7 分
所以

sin ? ? 2 ,即 sin ? ? 2cos ? .① cos ?

因为 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,②
2 由①、②解得 cos ? ?

1 .……………………………………………………9 分 5

因为 ? ? ? ?,

? ?

5 2 5 3? ? , sin ? ? ? .………………………10 分 ? ,所以 cos ? ? ? 5 5 2 ?
? ? ?? ? ? cos ? cos 4 ? sin ? sin 4 ……………………………………11 分 4?

所以 cos ? ? ?

? ?

??

5 2 ? 2 5? 2 3 10 ? ??? ?? ? ? 2 ? ? 10 .…………………12 分 5 2 ? 5 ?

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值(数学期望)等知识,考查或然 与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意,得 分 解得 a ? 3 .……………………………………………………………………2 分 (2)解:根据已知条件,可以求得两组同学数学成绩的平均分都为

1 1 ? (87 ? 89 ? 96 ? 96) ? ? (87 ? 90 ? a ? 93 ? 95) ,………………1 4 4

x ? 92 .……………………………3 分
所以乙组四名同学数学成绩的方差为

s2 ?

1? 2 2 2 2 87 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 95 ? 92 ? ? ? 9 . ?? ? 4

…………5 分 (3)解:分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,共有 4 ? 4 ? 16 种可能的结 果.……………6 分 这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有情况如下表:
X 87甲 乙

89 2 4 4 6

96 9 3 3 1

96 9 3 3 1

87 93 93 95

0 6 6 8

所 以 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9.…………………………………………………8 分

7

1 2 1 4 , P ( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P ( X ? 3) ? , 16 16 16 16 2 3 1 2 P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? , P ( X ? 8) ? , P( X ? 9) ? . 16 16 16 16 所以随机变量 X 的分布列为:
由表可得 P( X ? 0) ?

X
P

0

1

2

3

4

6

8

9

1 16

2 16

1 16

4 16

2 16

3 16

1 16

2 16

……………………10 分

随机变量 X 的数学期望为

EX ? 0 ?

1 2 1 4 2 3 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ?8 ? ? 9 ? ………11 分 16 16 16 16 16 16 16 16 68 17 ? ? .……………………………………………………………12 分 16 4

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识,考查 数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能 力) (1)证明 1:因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PD ? 平面

PAC , PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC .…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中, AB ? BC ,所以 BE ? AC .
因 为

AB ? BC ? 6



AC ? 4







BE ? BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .………………3 分
P

因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 3 , CD ? 3 , 所以 PC ?

PD 2 ? CD 2 ?

? 3? ? 2?

2

? 32 ? 2 3 .………4 分
A
E D B

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 BE ? 2 , DE ? 1 , 所以 BD ?

C

BE 2 ? DE 2 ?

2

? 12 ? 3 .…………5 分

因为 PD ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 PD ? 3 , BD ? 3 , 所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ?

? 3? ? ? 3?
2

2

? 6 .………………………………6 分

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ?
2 2 2 所以 BC ? PB ? PC .

6 , PC ? 2 3 ,

8

所以 ?PBC 为直角三角形.……………………………………………………7 分 证明 2:因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC I 平面 ABC ? AC , PD ? 平面

PAC , PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC .……………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC ,所以 BE ? AC .
因 为

AB ? BC ? 6



AC ? 4







BE ? BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .………………3 分

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90o , BE ? 2 , DE ? 1 , 所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .………………………………4分

在△ BCD 中,因为 CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 ,
2 2 2 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD .………………………………………5分

因为 PD ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD .…………………………………………………………6分 因为 BD ? PD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所以 ?PBC 为直角三角形.……………………………………………………7分 (2)解法1:过点 A 作平面 PBC 的垂线,垂足为 H ,连 PH , 则 ?APH 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角.…………………………………8 分 由(1)知,△ ABC 的面积 S ?ABC ? 因 为

PD ? 3

1 ? AC ? BE ? 2 2 .…………………9 分 2 1 VP ? ABC ? ? S?ABC ? PD , 所 以 3

1 2 6 .…………………………10 分 ? ?2 2? 3 ? 3 3
由(1)知 ?PBC 为直角三角形, BC ? 6 , PB ? 所以△ PBC 的面积 S ?PBC ?

6,

1 1 ? BC ? PB ? ? 6 ? 6 ? 3 .…………………11 分 2 2

因为三棱锥 A ? PBC 与三棱锥 P ? ABC 的体积相等,即 VA? PBC ? VP? ABC , 即 ? 3 ? AH ?

1 3

2 6 2 6 ,所以 AH ? .……………………………………12 分 3 3

在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 ,

9

所以 AP ?

PD 2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .………………………………13 分

AH ? 因为 sin ?APH ? AP

2 6 3 ? 6. 2 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .…………………………………………………14 分 3
解法 2:过点 D 作 DM ∥AP ,设 DM ? PC ? M , 则 DM 与平面 PBC 所成的角等于 AP 与平面 PBC 所成的 角.……………………………………8 分 由(1)知 BC ? PD , BC ? PB ,且 PD ? PB ? P , 所以 BC ? 平面 PBD . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PBD . A 过点 D 作 DN ? PB 于点 N ,连接 MN , 则 DN ? 平面 PBC . 所以 ?DMN 为直线 DM 与平面 PBC 所成的角.……10 分 在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 , 所以 AP ?

P

M

D

N
B

C

PD 2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .……………………………………11 分因

为 DM ∥AP ,所以

DM CD DM 3 ? ? ,所以 ,即 AP CA 2 4

DM ?

3 .………………………………12 分 2

由(1)知 BD ? 3 , PB ? 所以 DN ?

6 ,且 PD ? 3 ,

PD ? BD 3? 3 6 .……………………………………13 分 ? ? PB 2 6

6 DN 6 因为 sin ?DMN ? , ? 2 ? 3 DE 3 2 所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为
6 .…………………………………………………14 分 3
解法 3:延长 CB 至点 G ,使得 BG ? BC ,连接 AG 、 PG ,……………………………………8 分 在△ PCG 中, PB ? BG ? BC ? 6 ,
10

P

K A

E D

C

所以 ?CPG ? 90o ,即 CP ? PG . 在△ PAC 中,因为 PC ? 2 3 , PA ? 2 , AC ? 4 , 所以 PA2 ? PC 2 ? AC 2 , 所以 CP ? PA . 因为 PA I PG ? P , 所以 CP ? 平面 PAG .…………………………………………………………………………………9 分 过点 A 作 AK ? PG 于点 K , 因为 AK ? 平面 PAG , 所以 CP ? AK . 因为 PG I CP ? P , 所以 AK ? 平面 PCG . 所以 ? APK 为直线 AP 与平面 PBC 所成的 角.……………………………………………………11 分 由(1)知, BC ? PB , 所以 PG ? PC ? 2 3 . 在△ CAG 中,点 E 、 B 分别为边 CA 、 CG 的中点, 所以 AG ? 2BE ? 2 2 .………………………………………………………12 分 在△ PAG 中, PA ? 2 , AG ? 2 2 , PG ? 2 3 ,
2 2 2 所以 PA ? AG ? PG ,即

PA ? AG .……………………………………………………………13 分
因为 sin ?APK ?

AG 2 2 6 . ? ? PG 2 3 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .…………………………………………………14 分 3
解法 4:以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为

x 轴, y 轴建立如图的

空间直角坐标系 E ? xyz , …………………………………………………………………… 8分 则 A? 0, ?2,0? , B

?

2, 0, 0 , C ? 0,2,0? , P 0, ?1, 3 .

?

于是 AP ? 0,1, 3 , PB ?

??? ?

?

?

??? ?

?

2,1, ?

? ??? ? 3 ? , PC ? ? 0,3, ? 3 ? .
A

?

P

z

11

E D

C

y

x

B

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 则 ? ??? ? ?n ? PC ? 0. ?
即?

? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ?3 y ? 3z ? 0. ?

取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ?

2.

所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?

?

2,1, 3 .………………………………12分

?

设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? . ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .………………………………14 分 3

若第(1)(2)问都用向量法求解,给分如下: 、 (1)以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 间直角坐标系

x 轴, y 轴建立如图的空

E ? xyz ,……………………………………………………………………………1 分 z P
则B

?

2, 0, 0 , C ? 0,2,0? , P 0, ?1, 3 . ??? ?

?

?

?

于是 BP ? ? 2, ?1, 3 , BC ? ? 2, 2, 0 .

?

?

??? ?

?

?

??? ??? ? ? 因为 BP?BC ? ? 2, ?1, 3 ? ? 2, 2, 0 ? 0 ,

?

??

?

A

E D

C

y

所以 BP ? BC .

??? ?

??? ?

x

B

所以 BP ? BC . 所以 ?PBC 为直角三角形.…………………………………………………………7分 (2)由(1)可得, A? 0, ?2,0? . 于是 AP ? 0,1, 3 , PB ?

??? ?

?

?

??? ?

?

??? ? 2,1, ? 3 , PC ? 0,3, ? 3 .

?

?

?

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

12

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ? 则 ? ??? 即? ? ?n ? PC ? 0. ?3 y ? 3z ? 0. ? ?
取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ?

2.

所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?

?

2,1, 3 .…………………………………12分

?

设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? . ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .……………………………14 分 3

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法, 以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,依题意,有

2a4 ? 4a5 ? , ?a3 ? a4 ? 2a5 , ? ?a3 ? 即? ……………………………………………2 分 2 ? 2 ?a3 ? 2a2 . ? ? a ? 2a 2 . 2 ? 3
?a1q 2 ? a1q 3 ? 2a1q 4 , ? 所以 ? 2 …………………………………………………………3 分 2 2 ?a1q ? 2a1 q . ?

1 ? ? a1 ? 2 , ? a1 ? 1 , ? ? 由于 a1 ? 0 , q ? 0 ,解之得 ? 或? 2 ………………………………5 分 1 ? q ? . ? q ? ?1. ? ? ? 2
又 a1 ? 0, q ? 0 ,所以 a1 ?

1 1 , q ? ,…………………………………………6 分 2 2
n

?1? * 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ( n ? N ) .………………………………7 分 2? ?
( 2 ) 解 : 由 ( 1 ) , 得

bn ?

2n ? 5 ?a ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

?

2n ? 5 1 ? n .………………………………8 分 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2

13

所以 bn ? ?

1 ? 1 ? 2 ? ?? n ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? 2

?

1 1 .………………………………………………10 分 ? n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n

所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ?? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5? 2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2

1 1 ? ? . 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

1 1 ? .…………………………………14 分 3 ? 2n ? 3 ? 2 n

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解 能力) (1)解:依题意可得 A(?1, 0) , B(1, 0) .……………………………………………1 分 设双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ?b ? 0? , b2

因为双曲线的离心率为 5 ,所以

1 ? b2 ? 5 ,即 b ? 2 . 1

2 所以双曲线 C 的方程为 x ?

y2 ? 1.……………………………………………3 分 4

(2)证法 1:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) ,直线 AP 的斜率为

k(k ?0) ,
则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,………………………………………………4 分

? y ? k ? x ? 1? , ? 联立方程组 ? …………………………………………………5 分 y2 x2 ? ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 整理,得 4 ? k x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 ,

?

?

14

解得 x ? ?1 或 x ?

4 ? k2 4 ? k2 .所以 x2 ? .……………………………………6 分 4 ? k2 4 ? k2

同理可得, x1 ?

4 ? k2 .……………………………………………………………7 分 4 ? k2

所以 x1 ? x2 ? 1.……………………………………………………………………8 分

证法 2:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则

k AP ?

y1 x1 ? 1



k AT ?

y2 .…………………………………………………………………………4 分 x2 ? 1
y12 y2 2 y1 y ? .………………5 分 ? 2 ,即 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1?

因为 k AP ? k AT ,所以

2 因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ?

y12 y2 ? 1 , x2 2 ? 2 ? 1 . 4 4

2 2 2 2 即 y1 ? 4 x1 ? 1 , y2 ? 4 1 ? x2 .…………………………………………6 分

?

?

?

?

所以

4 ? x12 ? 1?

? x1 ? 1?

2

?

4 ?1 ? x2 2 ?

? x2 ? 1?

2

,即

x1 ? 1 1 ? x2 .…………………………………7 分 ? x1 ? 1 x2 ? 1

所以 x1 ? x2 ? 1.………………………………………………………………………8 分 证法 3:设点 P( x1 , y1 ) ,直线 AP 的方程为 y ?

y1 ( x ? 1) ,……………………4 分 x1 ? 1

y ? y ? 1 ? x ? 1? , ? x1 ? 1 ? 联立方程组 ? ………………………………………………5 分 2 ? x 2 ? y ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 2 2 整理,得 ? 4( x1 ? 1) ? y1 ? x ? 2 y1 x ? y1 ? 4( x1 ? 1) ? 0 , ? ?





x ? ?1



x?

4( x1 ? 1)2 ? y12 .…………………………………………………………………6 分 4( x1 ? 1)2 ? y12
15

将 y12 ? 4x12 ? 4 代入 x ?

4( x1 ? 1)2 ? y12 1 1 ,得 x ? ,即 x2 ? . 2 2 x1 x1 4( x1 ? 1) ? y1

所以 x1 ? x2 ? 1.……………………………………………………………………8 分 (3)解:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? . 因为 PA ? PB ? 15 ,所以 ? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y1 ? 15 ,即 x12 ? y12 ? 16 .…………9
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?


2 因为点 P 在双曲线上,则 x1 ?

y12 ? 1 ,所以 x12 ? 4x12 ? 4 ? 16 ,即 x12 ? 4 . 4

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x1 ? 2 .………………………10 分

1 1 1 | AB || y2 |?| y2 | , S 2 ? | OB || y1 |? | y1 | , 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 S1 ? S 2 ? y2 ? y1 ? ? 4 ? 4 x2 ? ? ? x1 ? 1? ? 5 ? x1 ? 4 x2 . …………………11 4
因为 S1 ? 分 由(2)知, x1 ? x2 ? 1,即 x2 ? 设 t ? x12 ,则 1 ? t ? 4 ,

1 . x1

S12 ? S 2 2 ? 5 ? t ?
设 f ?t ? ? 5 ? t ?

4 . t

4 ? 2 ? t ?? 2 ? t ? 4 ,则 f ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? , t t t2

当 1 ? t ? 2 时, f ? ?t ? ? 0 ,当 2 ? t ? 4 时, f ? ?t ? ? 0 , 所以函数 f ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增,在 ? 2, 4? 上单调递减. 因为 f ? 2? ? 1 , f ?1? ? f ? 4? ? 0 , 所以当 t ? 4 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2
2

?

2

?

min

? f ? 4 ? ? 0 .………………………12 分

当 t ? 2 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2
2

?

2

?

max

? f ? 2 ? ? 1 .……………………………13 分

所以 S12 ? S22 的取值范围为 ?0,1? .…………………………………………14 分
16

2 2 2 2 说明:由 S1 ? S 2 ? 5 ? x1 ? 4 x2 ? 5 ? 4 x1 x2 ? 1 ,得 S1 ? S2

?

?

?

2

2

?

max

? 1 ,给 1 分.

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识,考查数形结合、 化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)证明:设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? ex ? x ?1 ,
x 所以 ?1? ( x ) ? e ? 1 .…………………………………………………………1 分

当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 . 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,在 x ? 0 处取得唯一极小 值,………2 分 因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 , 所以 f ( x ) ≥g1 ( x) .……………………………………………………………3 分 (2)解:当 x ? 0 时, f ( x) ? gn ( x) .……………………………………………4 分 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x ) ? g1 ( x) .
* ②假设当 n ? k ( k ? N )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? gk ( x) ,……………5 分

x 均有 ?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 .

令 ?k ( x) ? f ( x) ? gk ( x) , ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) , 因为对任意的正实数

? x , ?k ?1? ( x) ? f ? ? x ? ? g k ?1 ? x ? ? f ( x) ? g k ( x) ,

由归纳假设知, ? k ?1? ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ? 0 .……………………………6 分 即 ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ?k ?1 ( x) ? ?k ?1 (0) , 因为 ?k ?1 (0) ? 0 ,所以 ?k ?1 ( x) ? 0 . 从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? gk ?1 ( x) ? 0 . 即对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? gk ?1 ( x) . 这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有 f ( x) ? g k ?1 ( x) .
17

由①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? gn ( x) .……………………8 分 (3)证明 1:先证对任意正整数 n , gn ?1? ? e . 由(2)知,当 x ? 0 时,对任意正整数 n ,都有 f ( x) ? gn ( x) . 令 x ? 1 ,得 gn ?1? ? f ?1? = e . 所以 gn ?1? ? e .……………………………………………………………………9 分 再 证 对 任 意 正 整 数

? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? n , 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? gn ?1? 2 3 4 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?

1

2

3

n

? 1?1?

1 1 1 ? ??? . 2! 3! n!
n

1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? ? ? 成立. ? n ? 1 ? n! ? n ?1 ? 即 要 证 明 对 任 意 正 整 数 n , 不 等 式 n! ? ? ? ? 2 ?
立.……………………………………10 分 以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*) : 方法 1(数学归纳法) :
n

( * ) 成

? 1?1 ? ①当 n ? 1 时, 1! ? ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
1
* ②假设当 n ? k ( k ? N )时,不等式(*)成立,

? k ?1 ? 即 k!? ? ? .……………………………………………………………………11 分 ? 2 ?
k

则 ? k ? 1?! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ? 因
k ?1

? k ?1 ? ? k ?1 ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k

k ?1

. 为

?k ?2? k ?1 k ?1 k ?1 ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? k ? 2 ? ? ?1 ? 1 ? ? C0 ? C1 ? ? ? Ck ?1 ? k ?1 k ?1 k ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ,… k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1? ? k ?1 ? ? k ?1 ? ? ? ? 2 ?
12 分 所以 ? k ? 1?! ? 2 ?

? k ?1 ? ? ? 2 ?

k ?1

? k ?2? ?? ? ? 2 ?

k ?1

.………………………………………13 分
18

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立. 由①、②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成立. 综 上 可 知 , 对 任 意 正 整 数

n









?2? ?2? ?2? ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? gn ?1? ? e 成立. ?2? ?3? ?4? ? n ?1 ?
………………14 分 方法 2(基本不等式法) : 因为 n ?1 ?

1

2

3

n

n ?1 ,……………………………………………………11 分 2 n ?1 , ? n ? 1? ? 2 ? 2
……,

1? n ?

n ?1 , 2
n

? n ?1 ? 将以上 n 个不等式相乘,得 n ! ? ? ? .…………………………………13 分 ? 2 ?
所以对任意正整数 n ,不等式(*)都成立. 综 上 可 知 , 对 任 意 正
1 2 3 n





n









?2? ?2? ?2? ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? gn ?1? ? e 成立. ?2? ?3? ?4? ? n ?1 ?
……………14 分

19


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