系统响应的复频域分析
t域微分方程 L (拉氏变换) (拉氏反变换) y(t) L-1
解代数方程 s域代数方程
2013-8-5 信号与系统
Y(s)
对一般二阶系统
d2y dy d2 f df ? a1 ? a2 y (t ) ? b0 ? b1 ? b2 f (t ) 2 2 dt dt dt dt
已知f(t)，y(0-)，y’ (0-) ， 求解步骤： 求y(t)。
(1)经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程
(2)求解s域代数方程，求出Yx(s), Yf (s)
(3)拉氏反变换，求出响应的时域表示式
2013-8-5 信号与系统
[s 2Y (s) ? sy(0? ) ? y' (0? )] ? a1[sY (s) ? y(0? )] ? a2Y (s)
? b0 s 2 F (s) ? b1sF (s) ? b2 F (s)
(s 2 ? a1s ? a2 )Y (s) ? [sy(0? ) ? y' (0? ) ? a1 y(0? )]
? [b0 s ? b1s ? b2 ]F (s)
2
sy (0 ) ? y' (0 ) ? a1 y(0 ) b0 s ? b1s ? b2 Y ( s) ? ? 2 F ( s) 2 s ? a1s ? a2 s ? a1s ? a2
2
?
?
?
? Yx( s) ? Yf ( s)
L {Yx y(t2013-8-5 y f (t ) ? yx (t ) ? 信号与系统(s) ? Yf (s)} ) ?
?1
例1：
系统的微分方程为 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f’(t)+8f(t) 激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-)=3， y’(0-)=2， 求响应y(t)。
2013-8-5
信号与系统
解 ：对微分方程取拉氏变换可得
s 2Y (s) ? sy(0? ) ? 5[sY (s) ? y(0? )] ? 6Y (s) ? 2sF (s) ? 8F (s)
2s ? 8 (s ? 5) y(0? ) ? y' (0? ) Y ( s) ? 2 F ( s) ? s ? 5s ? 6 (s 2 ? 5s ? 6)
? Yf (s) ? Yx (s)
3s ? 17 11 8 Yx ( s) ? 2 ? ? s ? 5s ? 6 s?2 s?3
yx (t ) ? L?1{Yx (s)} ? (11e?2t ? 8e?3t )u(t )
2013-8-5 信号与系统
2s ? 8 1 2s ? 8 1 Y f ( s) ? 2 ? ? ? s ? 5s ? 6 s ? 1 (s ? 2)(s ? 3) s ? 1 3 4 1 ? ? ? s ? 1 s ? 2 (s ? 3)
y f (t ) ? L?1{Yf (s)} ? (3e?t ? 4e?2t ? e?3t ) ? u(t )
y(t ) ? y f (t ) ? yx (t ) ? (3e?t ? 7e?2t ? 7e?3t )u(t )
2013-8-5
信号与系统
电路的s域模型
时域
? R (t ) ? RiR (t )
diL (t ) ? L (t ) ? L dt 1 ? c (t ) ? c
2013-8-5
复频域
VR (s) ? RIR (s) VL (s) ? sLI L (s) ? LiL (0)
?
t
??
ic (? )d?
1 1 Vc ( s) ? I c ( s) ? Vc (0 ? ) sc c
信号与系统
R、L、C串联形式的s域模型
IR(s) ?
R
IL(s)
sL
LiL (0? ) ? ?
VR(s)
?
?
VL(s)
?
IC(s) ?
2013-8-5
1 sC
1 vc (0? ) s ? ?
VC(s)
信号与系统
?
[例]图示电路初始状态为vc(0-)=-E, 求电容两端电压 vc(t). R R
? Eu(t) ? i(t) C ? vC(t) ?
E s
? 1/sC
I (s )
? ? ? E /s ? VC(s) ?
?
解：利用所示R、C元件的s域模型可得电路的s域模型。 1 E E 由s域模型写出回路方程为 (R ? ) I (s) ? ? sC s s 求出回路电流 2E I ( s) ? 1 s( R ? ) sC 电容两端的电压为 I (s) E 1 2 VC ( s ) ? ? ? E( ? ) 1 sC s s s? 1 2013-8-5 信号与系统 ? t RC RC vc (t ) ? E(1 ? 2e ),t ? 0