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4.2.3直线与圆的方程的应用_图文

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4.2.3直线与圆的方程的应用

1

问题提出

通过直线与圆的方程,可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系,对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题,我们可以 建立直角坐标系,通过直线与圆的 方程,将其转化为代数问题来解决. 对此,我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
2

知识探究:直线与圆的方程在实际生活中的应用

问题Ⅰ:一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛的中心为圆心, 半径为30km的圆形区域。已知小岛 中心位于轮船正西70km处,港口位 于小岛中心正北40km处。如果轮船 沿直线返航,那么它是否会有触礁 危险?
3

港口

暗礁

轮船

思考1:解决这个问题的本质是什么?

思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过暗礁圆域?

4

思考3:如图所示建立直角坐标系, 取10km为长度单位,那么轮船航线 所在直线和暗礁圆域边界所在圆的 方程分别是什么?
y 港 口 x 暗 o 礁

轮 船
5

思考4:直线4x+7y-28=0与圆x2+ y2=9的位置关系如何?对问题Ⅰ应 作怎样的回答?
港口

暗礁

轮船

6

问题2、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图, 该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度(精确到0.01) y

x

思考:(用坐标法)

7

思考1:如图所示建立直角坐标系, 那么求支柱A2P2的高度,化归为求一 个什么问题?
y

P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B

8

思考2:取1m为长度单位,如何求圆 y 拱所在圆的方程?圆心 P2 P 和半径能直接求出吗?
x2+(y+10.5)2=14.52
A A1 A2 O A3 A4 B x

思考3:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少?问题Ⅱ的答案如 何?
y ? 14.5 ? 4 ? 10.5 ? 3.86(m)
2
9

解:建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是(0,b),
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得, b= -10.5 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)

答:支柱A2P2的长度约为3.86m.
10

知识探究:直线与圆的方程在平面几何中的应用

问题3:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直,求证:圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.

11

思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决,首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系,在本 题中应如何选取坐标系?
y

o

X

12

思考2:如图所示建立直角坐标系, 设四边形的四个顶点分别为点 A(a,0),B(0,b),C(c,0), D(0,d),那么BC边的长为多少?
B
C o y A M N D
13

x

思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 y 坐标如何? B
C A o M N x

D

思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|?
14

思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|,从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗? B
C M A

E
D

N

15

第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表 示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为 代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
16

练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得 的弦长. 2、某圆拱桥的水面跨度20 m,拱高4 m. 现有 一船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否 从桥下通过?
P

M

5

O

N
17

练习
3、点M在圆心为C1的方程: x2+y2+6x-2y+1=0,点N在圆心为C2的方程 x2+y2+2x+4y+1=0,求|MN|的最大值.

18

作业:
P133习题4.2B组:1,2,3.

19


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