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2014—2015学年江西省八所重点中学(九江一中等)高三下学期联考数学(理科)试卷


2014—2015 学年江西省八所重点中学(九江一中等)高三下 学期联考数学(理科)试卷
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的).
2 1. 已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0? , B ? x y ? ln(1 ? x)?,则 A ? B ? (

?

?



, 2) A. (1
2. 如果 z ? A.0

, 2] B. (1

, 1) C. [?1


, 1) D. (?1

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 等于( 1? i
B. -1 或 1 C. -1

D. 1 )

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3. 在△ ABC 中, “AB ? AC ? BA ? BC” 是 “ AC ? BC ” 的(
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4. 数 列 { an } 的 前 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

n 项 和 Sn ? 2n2 ? 3n(n ? N ? ) , 若 p-q=5, 则

a p ? aq = (
A. 10

) B. 15 C. -5 D.20

5. 对 任 意 非 零 实 数 a 、 b , 若 a ? b 的 运 算 原 理 如 图 所 示 , 则 1 l og2 4 ? ( ) ?1 的值为( ) 3 1 4 A. B. 1 C. D. 2 3 3 6. 在 某 次 联 考 数 学 测 试 中 , 学 生 成 绩 ? 服 从 正 态 分 布

0 ? 在 ?80,120? 内的概率为 0.8 ,则落在 ? 0,80? 内的概率为( ?1 0 0?, ? ??, ? ? ,若
2



A. 0.05

B. 0.1

C. 0.15

D. 0.2

7.函数 f ( x) ? A sin ? x( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, 则 f (1`) + f ( 2) + f (3) ? ?+ f (2015 ) ) 的值为( A.0 B.3 2 C.6 2 D.- 2

8. 若 (1 ? x ) (1 ? 2x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a8 x 8 , 则

a1 ? a2 ? ? ? a7 的值是(
A.-2
2

) C.125
2 2 2

B.-3

D.-131

9.已知圆 C1 : x ? 2cx ? y ? 0 ,圆 C2 : x ? 2cx ? y ? 0 ,椭圆 C : 椭圆内,则椭圆离心率的范围是( )

x2 y 2 ? ? 1 ,若圆 C1 , C2 都在 a 2 b2

A. [ ,1)

1 2

B. (0, ]

1 2

C. [

2 ,1) 2

D. (0,

2 ] 2

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象 x1 ? x2
t ? 2s 的取值 s?t

关于 (1, 0) 成中心对称,若 s ,t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) .则当 1 ? s ? 4 时, 范围是( A. [ ?3,? ) )

1 2

B. [ ?3,? ]

1 2

C. [ ?5,? )

1 2

D. [ ?5,? ]

1 2

11.正三角形 ABC 的边长为 2 , 将它沿高 AD 翻折, 使点 B 与点 C 间的距离为 3 , 此时四面体 ABCD 外 接球表面积为( A. 7? ) B. 19? C.

7 7? 6

D.

19 19? 6

12.在平面直角坐标系中,点 P 是直线 l : x ? ?

1 ?1 ? 上一动点,定点 F ? , 0 ? , 点 Q 为 PF 的中点,动点 M 2 ?2 ?

满足 MQ ? PF ? 0 , MP ? ?OF (? ? R ) , 过点 M 作圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 2 的切线,切点分别为 S , T , 则

MS ? MT 的最小值是(
A.



3 5
3

B.

35 9

C.

10 3

D. ?

1 3

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.计算:

?

?3

( x 3 cos x)dx =

. . y C A x B

x y 14.已知点 P( x, y)到A(0,4)和B(?2,0) 的距离相等,则 2 ? 4 的最小值为

15.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 C 、 B 在圆 O 上, 且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为( 若 BC ? 1 ,则 3 cos 2

12 5 ,? ) , ?A O C 13 13

?? .
.

O

?

?
2

? sin

?
2

cos

?
2

?

3 的值为 2

16.用 g (n) 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9 的因数有 1,3,9, g (9) ? 9 ,10 的因数有 1,2,5,10, g (10) ? 5 ,那么 g (1) ? g (2) ? g (3) ? ? ? g (2
2015

? 1) =

.

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(本小题 12 分)已知 f ( x ) ? 2 sin

?
2
?

x ,集合 M = x f ? x ? ? 2, x ? 0 ,把 M 中的元素从小到大依

?

?

次排成一列,得到数列 ?a n ?, n ? N .

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)记 bn ?

1 1 ,设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证 Tn ? . 2 4 an ?1

18. (本题 12 分)如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, ?DAB ? 90? ,AD / / BC ,AD ? 侧面 PAB ,△ PAB 是等边三角形, DA ? AB ? 2 , BC ? 线段 AB 的中点. (1)求证: PE ? CD ; (2)求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值.
B E A

1 AD , E 是 2

P

C D

19. (本题 12 分)已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , 函数 f ( x ) 的定义域、 值域都是 A , 且对于任意 i ? A , f (i) ? i .

? a 设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,3,4 的任意一个排列,定义数表 ? 1 ? f (a1 )
对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表. (1)求满足条件的不同的数表的张数;

a2 f (a2 )

a3 f (a3 )

a4 ? ? ,若两个数表的 f (a4 ) ?

(2)若 ai ? i ( i ? 1,2,3,4 ),从所有数表中任意抽取一张,记 ? 为表中 ai ? f (i) 的个数,求 ? 的分布列及 期望.

20.(本题 12 分)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e = ,且过点 M(1, ) 2 2 2 a b

(2)椭圆 C 长轴两端点分别为 A、B,点 P 为椭圆上异于 A、B 的动点,定直线 x ? 4 与直线 PA、PB 分别交 于 M、N 两点,又 E(7,0),过 E、M、N 三点的圆是否过 x 轴上不同于点 E 的定点?若经过,求出定 点坐标;若不经过,请说明理由.

2 21. (本题 12 分)已知 f ( x) ? x ? ax ? sin

?
2

x

x ? (0,1)

(1)若 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a =-2 时,记 f ( x) 得极小值为 f ( x0 ) 。若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x 2 ? 2 x0 .

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题记分 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图,直线 PQ 与⊙O 相切于点 A,AB 是⊙O 的弦, ?PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点, (1)求证: QC ? BC ? QC ? QA ;
2 2

P A O B Q C

.

(2)若 AQ=6,AC=5.求弦 AB 的长.

(第 22 题图)

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). 在以原点 O 为极点, ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值.

?

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3| ,求 x 的取值范围,使 f ( x ) 为常函数; (2)若 x, y, z ? R, x ? y ? z ? 1, 求 m ? 2x ? 2 y ? 5z 的最大值。
2 2 2

江西省八所重点中学 2015 届高三联考数学(理科)试卷参考答案
题号 答案 13 . 0 1 C 14. 2 D 3 C 4 D 15. 5 B 6 B 7
[

8 C

9 B

10 D

11 A

12 A

A

4 2

5 13

4 2015 ? 1 16 . 3

17.解: (1)? f ( x) ? 2 又? x ? 0 (2)? bn ?

?

?
2

x ? k? ?

?
2

x ? 2k ? 1

k?Z

……(3 分)

? an ? 2n ? 1 (n ? N ? ) ……(6 分)
……(7 分)

1 1 ? (n ? N ? ) 2 2 an ?1 ( 2n ? 1)

bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( ? ) 2 4 n ? 4 n ? 1 4n ? 4n 4 n n ? 1 (2n ? 1)

……(10 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 )? ? ? ? Tn ? b1 ? ? ? ? ? bn ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 2 3 n n ?1 4 4(n ? 1) 4

? Tn ?

1 4

得证 ……(12 分)

18.解: (1)证明:因为 AD ? 侧面 PAB , PE ? 平面 PAB , 所以 AD ? PE .…………2 分 又因为△ PAB 是等边三角形, E 是线段 AB 的中点, 所以 PE ? AB . 因为 AD ? AB ? A ,
[

所以 PE ? 平面 ABCD .……4 分 而 CD ? 平面 ABCD , 所以 PE ? CD .………5 分 (2)以 E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 E ? xyz . 则 E (0,0,0) , C (1, ?1, 0) , D(2,1, 0) , P(0,0, 3) .
E

z P

??? ? ??? ? ??? ? ED ? (2,1,0) , EP ? (0,0, 3) , PC ? (1, ?1, ? 3) .
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 PDE 的法向量.

B

A

y

C x D

??? ? ? ?n ? ED ? 0, 由 ? ??? ? ? ?n ? EP ? 0.

即?

? ? 2 x ? y ? 0, ? ? 3 z ? 0.

令 x ? 1 ,可得 n ? (1, ?2,0) .……9 分 设 PC 与平面 PDE 所成的角为 ? .

??? ? ??? ? | PC ? n | 3 ? sin ? ? cos ? PC, n ? ? ??? ? . | PC || n | 5
所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为
4 19.解: (1)9 A4 = 216

3 . ……12 分 5

……5 分

(2) p( ? =1) =

因此, ? 的分布列如下:

1 , 9 7 p( ? =2) = 9 1 p( ? =3) = ……9 分 9
1 2 3

?
P

? E ? =2 ……12 分
20.解: (1)

1 9

7 9

1 9

? 过点M( 1,), ? 4b2 ? 9a 2 ? 4a 2b 2 1 又?e ? 2
x2 y2 ? ? 1 ………5 分 4 3
(2)设 PA,PB 的斜率分别为 k1 , k 2 , p( x0 , y0 ) ,则 k1 k 2 ? ? 则 PA: y ? k1 ( x ? 2) ,则 M (4,6k1 ) PB: y ? k 2 ( x ? 2) ,则 N (4,2k 2 ) 又 k EM ? ?

3 ………7 分 4

2k 6k1 ? ?2k1 , k EN ? ? 2 3 3

k EM k EN ? ?1 ………10 分
设圆过定点 F(m,o),则

6 k1 2 k 2 ? ?1 ,则 m=1 或 m=7(舍) 4?m 4?m

故过点 E、M、N 三点的圆是以 MN 为直径的圆过点 F(1,0)………12 分 21.解: (1) f ?( x ) ? 2 x ? a ? 依题意 f ?( x) ? 0 恒成立,

?
2

cos

?
2

x x ? (0,1)

2x ?

?
2

cos

?
2

x ? ?a

令 g ( x) ? 2 x ?

?
2

cos

?
2

x x ? (0,1)

g ?( x ) ? 2 ?

?2
4

sin

?
2

x ? g ?( x ) 在 x ? (0,1) 单调递减,且 g ?(0) ? 0 , g ?(1) ? 0

? g ?( x ) 在区间 x ? (0,1) 上存在唯一零点 x0 ………3 分 ? g ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减。
由?

? g (0) ? ?a ? 得a ? ? 2 ? g (1) ? ?a

………5 分

2 (2)当 a ? ?2 时, f ( x ) ? x ? 2 x ? sin

?
2

x x ? (0,1)

f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

?
2

cos

?
2

x,

令 ? ( x) ? f ?( x) x ? (0,1)

? ?( x ) ? 2 ?

?2
4

sin

?
2

x ,显然 ? ?( x ) 在区间 (0,1) 单调递减,

又 ? ?(0) ? 2 ? 0 , ? ?(1) ? 2 ?

?2
4

?0

故存在唯一实数 ? ,使得 ? ?(? ) ? 0

? ? ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减。
即 f ?( x) 在 ( 0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减。 又 f ?(0) ? ?2 ?

?
2

? 0 , f ?(1) ? 0

? f ?(? ) ? 0 ,
由 f ?( x0 ) ? 0 知 0 ? x0 ? ? ? 1 ,

? f ( x ) 在( 0, x0 )上单调递减,在( x0 ,0 )上单调递增.
不妨设 x1 ? x2 , 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 0 ? x1 ? x0 ? x2 ? 1 令 F ( x) ? f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) ,

则 F ?( x) ? f ?( x0 ? x) ? f ?( x0 ? x) = 4 x0 ? 4 ? = 4 x 0 ? 4 ? ? cos

?
2

[cos

?
2

( x0 ? x) ? cos

?
2

( x0 ? x)]

?
2

x0 cos

?
2

x ………8 分

又 F ?( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减,所以 F ?( x) < F ?(0) = 4 x0 ? 4 ? ? cos

?
2

x0 = 2 f ?( x0 ) =0
[

? F ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减,? F ( x) < F (0) =0,即: f ( x0 ? x) ?

f ( x0 ? x)

又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = f [ x0 ? ( x0 ? x2 )] < f [ x0 ? ( x0 ? x2 )]= f (2 x0 ? x2 ) ……9 分

0 ? x1 ? x0

0 ? 2 x0 ? x2 ? x0

又? f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减

? x1 ? 2x0 ? x2

? x1 ? x 2 ? 2 x0 ………12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 1 证明: (1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴ ?BAC ? ?CBA

∴AC=BC=5
由切割线定理得:

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC?QC
∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 (2) 由 AC=BC=5,AQ=6 及(1) , 知 由 ?QAB ? ?ACQ ∴ QC=9 ------------5 分

知 ?QAB ∽ ?QCA ∴

AB QA ? AC QC

AB ?

10 . 3

----------10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 ? ? x ? 3? 2 t 2 (1)由 ? y? 5? t ? ? 2

解:

得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 --------2 分

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 5 y ? 0
2 2



x2 ? y ? 5

?

?

2

?5

.

---------5 分

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? 得 ?3? t? ?? t? ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
由于 ? ? 3 2 所以 ? 1

2

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实数根,

?t ? t2 ? 3 2 ? 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 ? ? t1 ? t2 ? 4

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 24.解:

------10 分

??2 x ? 2, x ? ?3 ? (1) f ( x) ? x ? 1 ? | x ? 3 |? ?4, ?3 ? x ? 1 ?2 x ? 2, x ? 1 ? 则当 x ?[?3,1] 时, f ( x) 为常函数.
(2)由柯西不等式得: x2 ? y 2 ? z 2 所以 2x ? 2 y ? 5z ? 3 因此 M 的最大值为 3.

………..4 分

?

??

2 ? 2 ? 5

2

2

2

?

………..5 分

?

?

2 x ? 2 y ? 5z

?

2


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