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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第8讲函数的奇偶性与周期性


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第八讲

函数的奇偶性与周期性

回归课本
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(1)如果对于定义域内每一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数;都有 f(-x)=f(x),函数f(x)叫偶函数;奇偶函数的定义域关于原点对称(大前提).

(2)函数可分为(按奇偶性):奇函数、偶函数、既奇且偶函数、 非奇非偶函数. 任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇 f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? 函数与一个偶函数的和,即 f(x)= + ,其中 2 2 f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? 是偶函数, 是奇函数. 2 2

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(3)基本性质:在公共定义域上,两函数有:奇±奇=奇,偶± 偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇÷奇=偶,偶÷偶=偶 (分母不为零). 奇函数的反函数是奇函数,奇函数的定义域包含0,则F(0)=0. (4)图象特征:奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于Y轴 对称;反之亦然. (5)判定方法:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若对称, 再看:

f?-x? f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0? =- f?x? 1(f(x)≠0)?图象关于原点对称. f?-x? f(x) 是 偶 函 数 ? f( - x) = f(x) ? f( - x) - f(x) = 0 ? = f?x? 1(f(x)≠0)?f(x)=f(|x|)=f(-x)?图象关于 y 轴对称.

(6)推广:y=f(a+x)是偶函数?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a- a+b x)?f(x)关于 x=a 对称; 类似地, f(a+x)=f(b-x)?f(x)关于 x= 2 对称. y=f(b+x)是奇函数?f(b-x)=-f(b+x)?f(x)关于(b,0)成中 ?a+b ? 心对称图形;类似地,f(a+x)=-f(b-x)?f(x)关于? ,0?中心 ? 2 ? 对称.

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2.(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)叫做周期 函数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期. (2) 周 期 函 数不 一 定有 最 小 正 周 期, 若 T≠0是f(x) 的周期 ,则 kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上、下 界.

(3)设 a 为非零常数,若对 f(x)定义域内的任意 x,恒有下列条件 1 1 之一成立:①f(x+a)=-f(x);②f(x+a)= ;③f(x+a)=- ;④ f?x? f?x? f?x?+1 1-f?x? f(x+a)= ;⑤f(x+a)= ;⑥f(x+a)=f(x-a),则 f(x)是周 f?x?-1 1+f?x? 期函数,2a 是它的一个周期.(上述式子分母不为零) 若 f(x)同时关于 x=a 与 x=b 对称(a<b), f(x)是周期函数, 则 2(b -a)是它的一个周期;若 f(x)关于 x=a 对称同时关于点(b,0)对称 (b≠a),则 f(x)的一个周期 T=4(b-a);若 f(x)关于(a,0)对称同时关于 (b,0)对称,则 f(x)是一个周期函数,周期 T=4(b-a).

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考点陪练 1.对任意实数x,下列函数中的奇函数是( ) A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln5x D.y=-|x|cosx 解析:若f(x)=ln5x, 则f(-x)=ln5-x=ln(5x)-1 =-ln5x=-f(x). ∴函数y=ln5x为奇函数. 答案:C

2.已知 f(x)=ax 2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 A.- 3 1 C. 2 ) 1 B. 3 1 D.- 2

解析:∵函数 f(x)=ax2+bx 在 x∈[a-1,2a]上为偶函数, 1 ∴b=0,且 a-1+2a=0,即 b=0,a= . 3 1 ∴a+b= . 3
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答案:B

4-x 2 3.函数 y= ( |x+5|-5 A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数

)

C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数

解析:∵函数定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 ∴|x+5|-5=x.∴y= . x 4-x2 4-x2 ∴f(-x)= =- =-f(x). x -x 故函数为奇函数. 答案:A

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4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4) =f(x)+f(2),若f(1)=2,则f(2007)+f(2009)等于( ) A.2009 B.2 C.2008 D.4 解析:令x=-1,有f(-1+4)=f(-1)+f(2),即f(3)=2+f(2), 再令x=-3,有f(-3+4)=f(-3)+f(2),即f(3)+f(2)=2,这样 可得f(3)=2,f(2)=0,这样f(x+4)=f(x)周期为4,从而f(2007) +f(2009)=f(3)+f(1)=2+2=4,故选D. 答案:D

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5.定义在R上的函数y=f(x)具有下列性质: ①f(-x)-f(x)=0;②f(x+1)·f(x)=1;③y=f(x)在[0,1]上为增 函数,则对于下述命题: ①y=f(x)为周期函数且最小正周期为4; ②y=f(x)的图象关于y轴对称且对称轴只有1条; ③y=f(x)在[3,4]上为减函数. 正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

1 解析:由 f(-x)=f(x)得 y=f(x)为偶函数,用 f(x+1)= ,∴f(x f?x? 1 +2)= =f(x), f?x+1? 即 f(x)为周期函数,且 T=2,故①错. 因是周期函数,故对称轴有包括 y 轴在内的无数多条对称轴,即 ②错,结合周期性、奇偶性可知 y=f(x)在[3,4]上的增减性与[-1,0] 上的增减性相同,为减函数.
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答案:B

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类型一 判断函数的奇偶性 解题准备:1.定义法: (1)求定义域,看定义域是否关于原点对称. (2)判断f(-x)与f(x)的关系. (3)依据定义下结论:若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若 f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x), 则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

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2.定义等价形式判断: (1)若f(-x)+f(x)=0,则f(x)为奇函数. (2)若f(-x)-f(x)=0,则f(x)为偶函数. 此种解法适合对数形式函数的判断.

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3.图象法:如图所示,如果一个函数是 奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形;反之,如果 一个函数的图象是以坐标原点为对称中心 的中心对称图形,则这个函数是奇函数.

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如图,如果一个函数是偶函数,则它的图 象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之, 如果一个函数的图象关于y轴对称,则这 个函数是偶函数.

【典例 1】

判断下列函数的奇偶性. 1+x lg?1-x2? ;(2)f(x)= ; 1-x |x-2|-2

(1)f(x)=(x-1)

?x2+x?x<0?, ? (3)f(x)=? 2 ?x -x?x>0?; ?

(4)f(x)= 3-x 2 + x2-3.

[解析]

本题主要考查对函数奇偶性定义的理解.

1+x (1)由 ≥0,得定义域为[-1,1),关于原点不对称,故 f(x)为 1-x 非奇非偶函数.
?1-x2>0, ? (2)由 ? ?|x-2|-2≠0 ?

得定义域为(-1,0)∪(0,1),

lg?1-x2? lg?1-x2? 这时 f(x)= =- . x -?x-2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- = =-f(x), x -x ∴f(x)为奇函数.

(3)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x). ∴对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有 f(-x)=f(x),故 f(x)为偶 函数.
?3-x2≥0, ? (4)由 ? 2 ?x -3≥0, ?

得 x=- 3或 x= 3,

∴f(x)函数的定义域为{- 3, 3}. 又∵对任意的 x∈{- 3, 3},f(x)=0, ∴f(-x)=f(x)=-f(x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

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类型二 函数的周期 解题准备:1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个常数 T≠0,使得当x取定义域内的每一值时,都有f(x+T)=f(x)成立, 那么函数y=f(x)叫周期函数,非零常数T叫做f(x)的周期. 2.最小正周期:周期函数的周期可以不止一个,如果在所有的 周期中存在着一个最小正数,则称这个最小正数为该函数的最 小正周期. 3.设m是非零常数,若对于函数f(x)定义域中的任意x,恒有下 列条件之一成立: (1)f(x+m)=-f(x);

1 (2)f(x+m)= ; f?x? 1 (3)f(x+m)=- ; f?x? f?x?+1 (4)f(x+m)= ; f?x?-1 1-f?x? (5)f(x+m)= ; 1+f?x? (6)f(x+m)=f(x-m). 则 f(x)是周期函数,2m 是它的一个周期.

【典例 2】 (2009· 全国大联考五)已知 f(x)的定义域为 R,对任
? 1 1? ?k- ,k+ ? 时,有 f(x)=|x-k|. 意整数 k,当 x∈ 2 2? ?

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)用偶函数的定义证明函数 f(x)是偶函数(x∈R). 1 1 [证明] 对任意 x∈R,存在 k∈Z 且满足 k- ≤x≤k+ 时,f(x) 2 2

=|x-k|. 1 1 (1)k+1- ≤x+1≤k+1+ , 2 2 ∴f(x+1)=|x+1-(k+1)|=|x-k|=f(x), ∴f(x)为周期函数,周期为 1.

1 1 (2)由 k- ≤x≤k+ 可以得出 2 2 1 1 -k- ≤-x≤-k+ (k∈Z), 2 2 1 1 即-x∈[-k- ,-k+ ](-k∈Z), 2 2 则 f(-x)=|-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),即 f(x)是偶函数.
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[点评] 应注意应用奇偶性和周期性的定义.

探究:已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=-f(x), 1 1 当 0≤x≤1 时,f(x)= x,试求 f(x)=- 的一切 x 值. 2 2

解析:∵f(x+2)=-f(x) ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 ∵0≤x≤1 时 f(x)=2x, 1 ∴f(1)=2,又∵函数是奇函数, 1 ∴f(-1)=- . 2 1 ∴满足 f(x)=-2在[-1,0]上的 x 值为-1. 1 ∴f(x)=-2的一切 x 值为 4n-1,n∈Z.

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类型三 抽象函数的奇偶性与周期性的综合 解题准备:1.f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|; 2.f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|.

【典例 3】

定义在实数集上的函数 f(x),对任意 x、y∈R,有

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y),且 f(0)≠0. (1)求证:f(0)=1; (2)求证:y=f(x)是偶函数; (3)若存在常数 c,使
?c ? f? ?=0. ?2?

①求证对任意 x∈R,有 f(x+c)=-f(x)成立. ②试问函数 f(x)是不是周期函数,如果是,找出它的一个周期, 如果不是,请说明理由.

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[证明] (1)令x=y=0,则有 2f(0)=2[f(0)]2, ∵f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)令x=0,则有 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y), ∴f(-y)=f(y),这说明f(x)为偶函数.

c c (3)①分别用 x+ 、 (c>0)替换 x、y, 2 2 有
? c? ?c ? f(x+c)+f(x)=2f?x+ ?· ?. f? 2? ?2? ?

?c ? ∵f? ?=0,∴f(x+c)=-f(x). ?2?

②由①知 f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是周期函数,2c 就是它的一个周期.

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类型四 抽象函数的奇偶性与单调性的综合 解题准备:1.讨论函数的单调性和奇偶性时,应先确定函数的 定义域. 2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函 数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. 3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题 型.

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【典例4】 函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意 的x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是 增函数,求x的取值范围.

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[解析] (1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0. (2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f[(-1)×(-1)] =f(-1)+f(-1). 解得f(-1)=0.令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)是偶函数, ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数.

∴ (*) 等 价 于 不 等 式 组
??3x+1??2x-6?<0, ? ? ?-?3x+1??2x-6?≤64, ?

??3x+1??2x-6?>0, ? ? ??3x+1??2x-6?≤64, ?



?x>3或x<-1 , ? 3 所以? 7 ?- ≤x≤5, ? 3

?-1<x<3, ? 或? 3 ?x∈R. ?

7 1 1 ∴3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3

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快速解题 技法 设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x=2对 称,已知x∈[-2,2]时,f(x)=-x2+1,则x∈[-6,-2]时,f(x) 的解析式是________. 快解:当x∈[-2,2]时,f(x)=-x2+1,如图所示.

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由f(x)的图象关于直线x=2对称,得f(x)=f(4-x),又由f(x)是R 上的偶函数,得f(-x)=f(4+x)=f(x),知其周期为4,故知 x∈[-6,-2]时,只需将f(x)=-x2+1的图象左移4个单位,即 得f(x)=-(x+4)2+1.


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