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高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第2课时含参数的一元二次不等式的解法练习新人教A版5讲解


3.2

第 2 课时

含参数的一元二次不等式的解法

A 级 基础巩固 一、选择题 1.不等式

x2

x+1

<0 的解集为(

) B.(-∞.-1)∪(0,1) D.(-∞,-1)

A.(-1,0)∪(0,+∞) C.(-1,0) 解析:因为 即 x<-1. 答案:D

x <0,所以 x+1<0, x+1

2

2.设 m+n>0,则关于 x 的不等式(m-x)(n+x)>0 的解是( A.x<-n 或 x>m C.x<-m 或 x>n B.-n<x<m D.-m<x<n

)

解析:方程(m-x)(n+x)=0 的两根为 m,-n, 因为 m+n>0,所以 m>-n,结合函数 y=(m-x)(n+x)的图象,得原不等式的解是-

n<x<m,故选 B.
答案:B 3.若函数 f(x)= x +ax+1的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围为( A.(-2,2) C.(-∞,-2)∪[2,+∞)
2 2

)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.[-2,2]
2

解析:由题意知,x +ax+1≥0 的解集为 R,所以 Δ ≤0,即 a -4≤0,所以-2≤a≤ 2. 答案:D 4.二次函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x-1)>0 的解集为( )

A.(-2,1) B.(0,3) C.(1,2] D.(-∞,0)∪(3,+∞) 解析:由题图,知 f(x)>0 的解集为(-1,2).把 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度
1

即得 f(x-1)的图象,所以 f(x-1)>0 解集为(0,3). 答案:B 5.若关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集为(1,+∞),则关于 x 的不等式 为( ) A.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(1,2) D.(-1,2)

ax+b >0 的解集 x-2

解析:x=1 为 ax-b=0 的根, 所以 a-b=0, 即 a=b, 因为 ax-b>0 的解集为(1,+∞), 所以 a>0, 故

ax+b a(x+1) = >0, x-2 x-2

转化为(x+1)(x-2)>0. 所以 x>2 或 x<-1. 答案:C 二、填空题 6.不等式(m -2m-3)x -(m-3)x-1<0 的解集为 R,则 m 的取值范围为________. 解析:①若 m -2m-3=0,即 m=3 或-1,
2 2 2

m=3 时,原式化为-1<0,显然成立, m=-1 时,原式不恒成立,故 m≠-1.
②若 m -2m-3≠0,则
?m -2m-3<0, ? ? 2 2 ?Δ =(m-3) +4(m -2m-3)<0, ?
2 2

1 ? 1 ? 解得- <m<3,所以 m∈?- ,3?. 5 ? 5 ?

? 1 ? 答案:?- ,3? ? 5 ?
7 .若函数 y= kx -6kx+(k+8) (k 为常数) 的定义域为 R ,则 k 的取值范围是 ________. 解析: 函数 y= kx -6kx+(k+8)的定义域为 R, 即 kx -6kx+(k+8)≥0 对一切 x∈R
? ?k>0, 恒成立,当 k=0 时,显然 8>0 恒成立;当 k≠0 时,则 k 满足? ? ?Δ ≤0,
2 2 2

2

即?

? ?k>0, ? ?36k -4k(k+8)≤0.
2

解之得 0<k≤1,所以 k 的取值范围是[0,1]. 答案:[0,1] 8.二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
2

x y
2

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax +bx+c>0 的解集是______________. 解析:从表中取三组数据 ( - 1 ,- 4) 、 (0 ,- 6) 、 (1 ,- 6) 分别代入函数表达式得

a-b+c=-4, a=1, ? ? ? ? 解得?b=-1, ?c=-6, ? ? ?a+b+c=-6, ?c=-6.
所以二次函数表达式为 y=x -x-6. 由 x -x-6>0 得(x-3)(x+2)>0, 所以 x<-2 或 x>3. 答案:{x|x<-2 或 x>3} 三、解答题 9.已知实数 a 满足不等式-3<a<3,解关于 x 的不等式:(x-a)(x+1)>0. 解:方程(x-a)(x+1)=0 的两根为-1,a. ①当 a<-1 即-3<a<-1 时,原不等式的解集为 {x|x<a 或 x>-1}; ②当 a=-1 时,原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠1}; ③当 a>-1 即-1<a<3 时,原不等式的解集为 {x|x<-1 或 x>a}. 10.解关于 x 的不等式 x -(3a-1)x+(2a -2)>0. 解:原不等式可化为 [x-(a+1)][x-2(a-1)]>0, 讨论 a+1 与 2(a-1)的大小: (1)当 a+1>2(a-1),即 a<3 时,
2 2 2 2

x>a+1 或 x<2(a-1).
(2)当 a+1=2(a-1),即 a=3 时,

x≠a+1.
(3)当 a+1<2(a-1),即 a>3 时,

x>2(a-1)或 x<a+1,

3

综上:当 a<3 时,解集为{x|x>a+1 或 x<2(a-1)}, 当 a=3 时,解集为{x|x≠a+1}, 当 a>3 时,解集为{x|x>2(a-1)或 x<a+1}. B 级 能力提升 1.若不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-2,2] C.(2,+∞) B.[-2,2] D.(-∞,2]
2

解析:当 a-2=0,即 a=2 时,符合题意;当 a-2≠0 时,需满足 a-2<0 且 Δ =4(a -2) +4(a-2)·4<0,即-2<a<2,故选 A. 答案:A 2.若关于 x 的不等式
2

x-a >0 的解集为 x+1

(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数 a=________. 解析:注意到 答案:4 3.当 a 为何值时,不等式(a -1)x -(a-1)x-1<0 的解集是全体实数? 解:①当 a -1=0,即 a=±1 时, 若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立; 若 a=-1,则原不等式为 2x-1<0, 1 即 x< ,不符合题目要求,舍去; 2 ② 当 a - 1≠0 , 即 a≠±1 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为 R 的 条 件 是
? ?a -1<0, ? 2 2 ?Δ =(a-1) +4(a -1)<0, ?
2 2 2 2 2

x-a 等价于(x-a)(x+1)>0,而解集为 x<-1 或 x>4,从而 a=4. x+1

3 解得- <a<1. 5 3 综上所述,当- <a≤1 时,原不等式的解集为全体实数. 5

4


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