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高二数学期末复习(14)


高二数学备课组

常熟市浒浦高级中学 高二数学期末复习 (14)
2013.6 期末试卷 期末考试倒计时:4 天
姓名:____________ 1. 命题“ ?x ? R , sin x≤1 ”的否定是“ 2. 抛物线 y2 = 4x 的准线方程为 3. 设复数 z ? . . ” .

2?i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 (1 ? i) 2

4. “ x ? 1 ”是 “ log 2 x ? 0 ”的

条件.(在“充分必要” 、 “充分不必要” 、

“必要不充分” 、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 5. ( x ?

1 6 ) 的二项展开式中的常数项是 2x

(用数字作答) .

6. 若定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? 2 x ? 4 ,则函数 f ( x ? 1) 的单调递减区间 是 .

7. 口袋中有形状、大小都相同的 2 只白球和 1 只黑球,先摸出 1 只球,记下颜色后放回口 袋,然后再摸出 1 只球,则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是 .

8. 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 AC1 的长为 6 , 且 AC1 与底面所成角的余弦值 为
3 ,则该正四棱柱的体积为 3



9. 某医院有内科医生 5 名,外科医生 6 名,现要派 4 名医生参加赈灾医疗队,如果要求内 科医生和外科医生中都有人参加,则有 种选法(用数字作答) .

10.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n ;② 若 ? ∥ ? ,m ? ? ,n∥ ? ,则 m ? n ; ③ 若 ? ? ? ,m ? ? ,n ? ? ,则 m ? n; ④ 若 ? ? ? ,m ? ? ,n∥ ? ,则 m ∥ n. 上面命题中,所有真命题 的序号为 . ... 11.过椭圆
x2 y 2 a ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A, B 两点, 若 AB = , a 2 b2 2 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 a 2 b2

则双曲线



12.已知圆 C1 : ( x ? a)2 ? ( y ? a ? 1)2 ? 1 和圆 C2 : ( x ? 1)2 ? y2 ? 2a2 有两个不同的公共点,则实 数 a 的取值范围是 .

? f ( x), f ( x) ? K , 5 13.定义函数 f K ( x) ? ? (K 为给定常数) ,已知函数 f ( x) ? x2 ? 3x2 ln x ,若 f ( x) ≤ K 2 ?K , 对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f K ( x) ? K ,则实数 K 的取值范围为 .

-1-

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14.在下图中,从第 2 行起,除首末两个位置外,每个位置上的数都等于它肩上的两个数的 和,最初几行是: 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 ? 1 1 1 1 1 5 4 3 2 3 6 1 1

1 4 1 10 10 5 1 ?

则第 行中有三个连续位置上的数之比是 3︰4︰5. 15. 如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形,AD = DE = 2AB = 2,且 F 是 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (3)求四面体 BCEF 的体积.

E B

A F D

C

16.已知点 M 到双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点的距离之比为 2︰3. 16 9

(1)求点 M 的轨迹方程; (2)若点 M 的轨迹上有且仅有三个点到直线 y = x + m 的距离为 4,求实数 m 的值.

-2-

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17.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB = 4,AD = 2,A1A = 2,点 F 是棱 BC 的中点,点 E 在棱 C1D1 上,且 D1E = λ EC1(λ 为实数) . (1)求二面角 D1 ? AC ? D 的余弦值;

1 (2)当 λ = 时,求直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值的大小; 3 (3)求证:直线 EF 与直线 EA 不可能垂直.
A1

D1

E

C1

B1 D F C

A

B

18 .有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币,其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为

2 .小华先抛掷这三枚硬币,然后小红再抛掷这三枚硬币. 3
(1)求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率; (2)若用 ? 表示小华抛得正面的个数,求 ? 的分布列和数学期望; (3)求小华和小红抛得正面个数相同(包括 0 个)的概率.

-3-

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19.已知函数 f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x2 ? x ? . 3 2 3

(1) 若函数 f ( x) 的图象在点 ( 2, f (2) ) 处的切线方程为 9 x ? y ? b ? 0 , 求实数 a ,b 的值; (2)若 a ≤ 0 ,求 f ( x) 的单调减区间; (3)对一切实数 a?(0,1),求 f(x)的极小值的最大值.

20.如图,点 A(? a,0) ,B( 轴交于点 C(0,1) . (1)求椭圆的方程;

x2 y 2 2 4 , )是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的两点,直线 AB 与 y a b 3 3

(2)过点 C 任意作一条直线 PQ 与椭圆相交于 P,Q,求 PQ 的取值范围.

y

P B C

A Q

O

x

-4-

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15.命题“ ?x ? R , sin x≤1 ”的否定是“ ▲ ” .

16.抛物线 y2 = 4x 的准线方程为 ▲ . 解:∵2p=4,∴p=2,开口向右,∴准线方程是 x=-1.故答案为 x=-1. 17.设复数 z ?
2?i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 (1 ? i) 2

▲ .

18.“ x ? 1 ”是 “ log 2 x ? 0 ”的



条件.(在“充分必要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充

分” 、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 解:由 log2x<0,解得 0<x<1,所以“x<1”是“log2x<0”的必要不充分条件.故答案为:必 要不充分. 19. ( x ?

1 6 . ) 的二项展开式中的常数项是 ▲ (用数字作答) 2x

20.若定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? 2 x ? 4 ,则函数 f ( x ? 1) 的单调递减区间是 ▲ .

21.口袋中有形状、大小都相同的 2 只白球和 1 只黑球,先摸出 1 只球,记下颜色后放回口 袋,然后再摸出 1 只球,则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是 ▲ .

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22.已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 AC1 的长为 6 , 且 AC1 与底面所成角的余弦值 为
3 ,则该正四棱柱的体积为 3

▲ .

23.某医院有内科医生 5 名,外科医生 6 名,现要派 4 名医生参加赈灾医疗队,如果要求内 科医生和外科医生中都有人参加,则有 ▲ 种选法(用数字作答) .

24.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n ;② 若 ? ∥ ? ,m ? ? ,n∥ ? ,则 m ? n ; ③ 若 ? ? ? ,m ? ? ,n ? ? ,则 m ? n; ④ 若 ? ? ? ,m ? ? ,n∥ ? ,则 m ∥ n. 上面命题中,所有真命题 的序号为 ▲ . ...

25.过椭圆

x2 y 2 a ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A, B 两点, 若 AB = , 2 a b 2 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 a 2 b2

则双曲线

▲ .

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26.已知圆 C1 : ( x ? a)2 ? ( y ? a ? 1)2 ? 1 和圆 C2 : ( x ? 1)2 ? y2 ? 2a2 有两个不同的公共点,则实 数 a 的取值范围是 ▲ .

? f ( x), f ( x) ? K , 5 27.定义函数 f K ( x) ? ? (K 为给定常数) ,已知函数 f ( x) ? x2 ? 3x2 ln x ,若 K , f ( x ) ≤ K 2 ? 对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f K ( x) ? K ,则实数 K 的取值范围为 ▲ .

28.在下图中,从第 2 行起,除首末两个位置外,每个位置上的数都等于它肩上的两个数的 和,最初几行是:

-7-

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第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 ?

1 1 1 1 1 5 4 3 2

1 1 3

1 4 1 10 10 5 1 ? 6

则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是 3︰4︰5.

2012~2013 学年苏州市高二期末调研测试

数学Ⅰ(理科)参考答案
一、填空题 1. ?x ? R , sin x ? 1 6. (?∞,3) 11.
5 2

2013.6

2.x = ?1 7.

3.?1 8.2
2 2 或a ? 4 4

4.必要不充分 9.310
3 13. [ e 3 , ?? ) 2
2

5. ?

5 2

4 9

10.②③ 14.62

12. a ? ?

二、解答题 15.证明: (1)取 EC 中点 G,连 BG,GF. 1 ∵F 是 CD 的中点,∴FG∥DE,且 FG = DE. 2 1 又∵AB∥DE,且 AB = DE. 2 ∴四边形 ABGF 为平行四边形.??? 3 分 ∴AF∥BG.又 BG ? 平面 BCE,AF ? 平面 BCE. (条件每少一个扣 1 分,最多扣 2 分) ∴AF∥平面 BCE. ????5 分 (2)∵AB ? 平面 ACD,AF ? 平面 ACD,

E B G A F D

C

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∴AB ? AF.∵AB∥DE,∴AF ? DE. 又∵ △ ACD 为正三角形,∴ AF ? CD. ∵BG∥AF,∴BG ? DE,BG ? CD. ∵CD ∩ DE = D,∴BG ?平面 CDE.

???? 6 分 ???? 7 分 ???? 8 分 ???? 9 分

(直接用 AF∥BG,AF?平面 CDE,而得到 BG ?平面 CDE.扣 1 分) ∵BG ? 平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE; ?????11 分

1 (3)四面体 BCEF 的体积 V ? S?CFE ? BG 3
1 1 1 1 3 ? ? CF ? DE ? AF ? ? ? 1 ? 2 ? 3 ? . 3 2 3 2 3

?????14 分

16.解: (1)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) .???1 分 16 9

设点 M ( x, y ) ,则

( x ? 5) 2 ? y 2 2 MF1 2 ? , 即 ? . MF2 3 ( x ? 5) 2 ? y 2 3

?????3 分 ?????7 分

化简得点 M 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 26x ? 25 ? 0 . (2)点 M 的轨迹方程即为 ( x ? 13)2 ? y 2 ? 144 , 它表示以 (?13, 0) 为圆心,12 为半径的圆.

?????9 分

因为圆上有且仅有三点到直线 y = x + m 的距离为 4, | ?13 ? m | 所以圆心到直线 y = x + m 的距离为 8,即 ? 8 . ?????12 分 1?1 解得 m ? 13 ? 8 2 . ?????14 分

17.解: (1)如图所示,建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(2,0,0) , C (0, 4,0) , D1 (0,0, 2),
z

D1 A ? (2,0, ?2) , D1C ? (0,4, ?2) . ???? 2 分
设平面 D1 AC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则 n ? D1 A ? 0, n ? D1C ? 0 . 即 x ? z, z ? 2 y .令 y ? 1 ,则 x ? z ? 2 . A1

D1

E

C1

B1 D F B (第 17 题) C
y

∴平面 D1 AC 的一个法向量 n ? (2,1, 2) .?? 4 分 又平面 DAC 的一个法向量为 m ? (0,0,1) . x A m ?n 2 2 ? ? , 故 cos? m , n? ? | m | ? | n | 1? 3 3 2 即二面角 D1 ? AC ? D 的余弦值为 . ??? 6 分 3 1 (2)当 λ = 时,E(0,1,2) ,F(1,4,0) , EF ? , 3 ,1 2 ) ( 3

? .

-9-

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所以 cos ? EF , n? ?

EF ? n 1 14 . ? ? 42 | EF | ? | n | 14 ? 3
14 . 42

?????9 分

因为 cos? EF , n? ? 0 ,所以 ? EF , n? 为锐角, 从而直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小为 ?????10 分

(3)假设 EF ? EA ,则 EF ? EA ? 0 . 4? ∵ E(0, ,2), F (1,4,0) , 1? ? 4? 4? ∴ EA ? (2, ? ?????12 分 , ?2) , EF ? (1, 4 ? , ?2) . 1? ? 1? ? 4? 4? ∴2? (4 ? ) ? 4 ? 0 .化简得 3? 2 ? 2? ? 3 ? 0 . 1? ? 1? ? 该方程无解,所以假设不成立,即直线 EF 不可能与直线 EA 不可能垂直.??14 分

18.解: (1)设 A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面” , B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面” ,

1 1 1 1 1 2 1 则 P(A)= ( ? ? ) ? 2 ? ? ? ? , 2 2 3 2 2 3 3

????2 分

1 1 2 1 1 1 5 P(B)= ( ? ? ) ? 2 ? ? ? ? , ????4 分 2 2 3 2 2 3 12 则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为 1 5 5 P(AB)= P(A)P(B)= ? ? . 3 12 36
(2)由题意 ? 的取值为 0,1,2,3,且 ????6 分

1 1 1 1 1 5 1 1 2 1 P(? ? 0) ? ? ? ? ; P(? ? 1) ? ; P(? ? 2) ? ; P(? ? 3) ? ? ? ? . 2 2 3 12 3 12 2 2 3 6
所求随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12

1 3

5 12

1 6
????10 分

数学期望 E(? ) ? 0 ?

1 1 5 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 3 12 6 3

????12 分

(3)设 C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同” , 则所求概率为 P(C) ? P(? ? 0)2 ? P(? ? 1)2 ? P(? ? 2)2 ? P(? ? 3)2

1 1 5 1 23 ? ( )2 ? ( )2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? . 12 3 12 6 72
所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为

23 . 72

???? 16 分

- 10 -

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19.解: (1) f ?( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1(a ? R) , 由 f ?(2) ? 9 ,得 a = 5. 5 1 ∴ f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? .则 f (2) ? 3 . 3 3 则(2,3)在直线 9 x ? y ? b ? 0 上.∴b = ?15.

???? 1 分 ???? 2 分

???? 4 分

1 1 1 1 (2)① 若 a ? 0 , f ( x) ? ? x2 ? x ? ? ? ( x ? 1)2 ? , 2 3 2 6 ∴ f ( x) 的单调减区间为(1,?∞) .

???? 6 分

1 ② 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? a( x ? )( x ? 1), x ? R, a 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ( x ? )( x ? 1) ? 0 .∴ x ? ,或 x ? 1. ???? 9 分 a a 1 ∴ f ( x) 的单调减区间为 (??, ) , (1,?∞) . ???? 10 分 a 1 (3) f ?( x) ? a( x ? 1)( x ? ) ,0 ? a? 1, a 列表: 1 1 1 x (1, ) ( , ?∞) 1 (?∞,1) a a a f ?( x) + 0 0 ? ? f ( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ???? 12 分 1 a 1 1 1 1 1 ∴f(x) 的极小值为 f ( ) ? ? 3 ? (a ? 1) 2 ? ? a 3 a 2 a 3 a 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ( ? )2 ? . 6 a 2 a 3 6 a 2 24
当a ? ???? 14 分 ???? 16 分

2 1 1 时,函数 f(x) 的极小值 f( )取得最大值为 . a 3 24

20.解: (1)由 B(

2 4 1 , ) ,C(0,1) ,得直线 BC 方程为 y ? x ? 1 .???? 2 分 3 3 2 令 y = 0,得 x = ?2,∴a = 2. ???? 3 分
4 16 2 4 ? 1 .∴b2 = 2. 将 B( , )代入椭圆方程,得 9 ? 9 4 b2 3 3

椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

???? 5 分 ???? 6 分

(2)① 当 PQ 与 x 轴垂直时,PQ = 2 2 ; ② 当 PQ 与 x 轴不垂直时,不妨设直线 PQ:y = kx ? 1(k≥0) , 2 2 2 2 代入椭圆方程 x ? 2y ? 4 = 0,得 x ? 2(kx ? 1) ? 4 = 0. 即 (2k2 ? 1) x2 ? 4kx ? 2 = 0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,2 ?
?2k ? 8k 2 ? 2 . 2k 2 ? 1

???? 8 分

- 11 -

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则 | x1 ? x2 | =

2 8k 2 ? 2 .PQ = 2k 2 ? 1

1? k2 ?

2 8k 2 ? 2 . 2k 2 ? 1

???? 10 分

PQ 2 ?

8(1 ? k 2 )(4k 2 ? 1) 4k 4 ? 5k 2 ? 1 k2 ? 8 ? ? 8 ? (1 ? ) (2k 2 ? 1)2 4k 4 ? 4k 2 ? 1 4k 4 ? 4k 2 ? 1

= 8 ? (1 ?

1 ). 1 4k 2 ? 2 ? 4 k
2 1 1 ≥ 2 4k 2 ? 2 ? 4 ,在 k = 时取等号, 2 2 k k

???? 12 分

∵ 4k 2 ?

???? 14 分 ???? 15 分

∴PQ2 = 8 ? (1 ?

1 ) ?(8,9].则 PQ? (2 2,3] . 1 4k ? 2 ? 4 k
2

由①,②得 PQ 的取值范围是 [2 2,3] .

???? 16 分

数学Ⅱ(理科附加题)参考答案
A1 证明:如图,连结 BP , ∵AB = AC,AD 是 BC 边的中线, ∴ AD 是此等腰三角形的一条对称轴. ∴ ?ABP ? ?ACP . ???? 2 分 ∵BF∥AC,?F = ?ACP. ∴?F = ?ABP. ???? 5 分 又 ?BPF ? ?EPB , ∴ ?BPF ∽ ?EPB . ???? 8 分 A

F E P

BP PF ,即 BP 2 ? PE ? PF . ? PE BP ∵BP = CP,∴CP2 = PE·PF. ??? 10 分
所以 A2 证明: (1)连结 ED . ∵ AF 为切线,∴?FAB = ?ACB.???? 2 分 ∵ BD ? AC , CE ? AB , ∴ ?AEF ? ?BDC ? 90 . ∴ ?F ? ?DBC . ???? 5 分 (2)∵ BD ? AC , CE ? AB , ∴ D, E , B, C 四点共圆.则 ?DEC ? ?DBC . 又 ?F ? ?DBC ,∴ ?DEC ? ?F . 则 DE∥AF. ∴ ?????8 分

B

D

C

F A E D

C B

AD FE ,即 AD ? EC ? DC ? FE . ??? 10 分 ? DC EC

- 12 -

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?0 1 ? ?0 ?1? ?1 0 ? B1 解:由题设得 MN ? ? ???? 2 分 ?? ??? ?. ?1 0? ?1 0 ? ?0 ?1? 设直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 ( x, y ) 在矩阵 MN 对应的变换作用下变为 ( x?, y?) , ?1 0 ? ? x ? ? x? ? 则 ? ?? ? ? ? ? . ?0 ?1? ? y ? ? y?? ? x ? x?, ? x ? ? x? ? 即 ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ?? y ? ? y ? ? y ? ? y ?.

???? 5 分 ???? 8 分

∵点 ( x, y ) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,∴ 2 x? ? (? y?) ? 1 ? 0 ,即 2 x? ? y? ? 1 ? 0 . ∴曲线 F 的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . ???? 10 分

? a 1 ? ?1? ?1? ? 2? ? . B2 解: (1)由题意得 ? ? ? ? ? 0 b ? ?1? ?1? ? a ? 1 ? 2, ? a ? 1? ? 2? ? ? ? ,∴ ? 即? ? ? b ? ? 2? ?b ? 2.

???? 2 分

则 a ? 1, b ? 2 .

???? 5 分

?1 1 ? (2)由(1)得矩阵 M ? ? ?, ?0 2? ? ? 1 ?1 ? ? ? ? 1?? ? ? 2 ? , 矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ? 0 ? ?2

矩阵 M 的另一个特征值是 1.

? ? ? ? ? 1? x ? y ? 0 代入二元一次方程组 ? ,解得 y ? 0 , ? ?0 ? x ? ? ? ? 2 ? y ? 0 ?1 ? 于是 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ? ? . ???? 8 分 ?0 ?
?1? ?1 ? ∴α = ? ? ? 2 ? ? . ?1? ?0? ? ?1? ?1? ? 10 ?1? ?1026 ? 10 ?1 ? ∴M 10α = M 10 ? ?1? ? 2 ?0? ? ? 2 ?1? ? 2 ?1 ?0 ? ? ?1024 ? .???? 10 分 ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?

C1 解:圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . ???? 2 分 圆心 C (1,0) ,直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 所以过点 C 与直线 l 垂直的直线的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . ???? 5 分 ???? 8 分

? 2 化为极坐标方程得 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 ,即 ? cos(? ? ) ? .???? 10 分 4 2
C2 解: (1)直线 l 的普通方程 x ? y ? m ? 0 , 椭圆 C 的普通方程为
x2 ? y2 ? 1 ; 3

???????? 2 分

(2)设椭圆 C 上一点 P 的坐标为 ( 3cos? ,sin ? ) ?? ??0,2? ?? ,
- 13 -

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∵m ? 2,∴点 P 到直线 l 的距离

d?

3 cos ? ? sin ? ? m 2

?? ?? ? 2cos ? ? ? ? ? m m ? 2cos ? ?? ? ? 6 6? ? ? ? ? ? 2. ? 2 2

?? ? ∴ m ? 2cos ? ? ? ? ? 2 2 . ???????? 5 分 6? ? ∵椭圆 C 上有且只有 1 个点到直线 l 的距离为 2, ?? ? ∴关于 ? 的方程 m ? 2cos ? ? ? ? ? 2 2 在 ?0, 2? ? 上有且只有一个解. 6? ?
∴ m ? 2 ? 2 2 或 m ? ?2 ? 2 2 . 若 m ? 2 ? 2 2 ,满足 m ? 2 ,此时 ? ? 若 m ? ?2 ? 2 2 ? 2 ,不合题意.
?3 1? 综上,实数 m 的值为 2 ? 2 2 ,该点的坐标为 ? , ? ? .?????10 分 ?2 2?

???????? 8 分

11? ?3 1? ,点 P 的坐标是 ? , ? ? ; 6 ?2 2?

D1 证明: (1)当 n ? 2 时,因为 x ? 0 , ?1 ? x ? ? 1 ? 2x ? x2 ? 1 ? 2x ,
2

即 n = 2 时不等式成立;
k

??? 2 分

(2)假设 n = k( k ≥2, k ? N * )时不等式成立,即有 ?1 ? x ? ? 1 ? kx , 则当 n ? k ? 1 时, ?1 ? x ?
k ?1

? ?1 ? x ??1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? kx ?
k

??? 5 分 ??? 8 分

? 1 ? x ? kx ? kx2 ? 1 ? ? k ? 1? x .
即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合(1) (2)可知,原不等式成立.

??? 10 分

D2(1)证明:由柯西不等式得

?

?? 1 ?2 ? 2 ?2 ? 3 ?2 ? 4 9? ? 1 a2 ? b2 ? c2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? a2 ? b2 ? c2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? 2 分 b c ? ?a ?? a ? ? b ? ? c ? ? ? ?

?

?

?

2 3? ? 1 ≥? a ? ? b ? ? c ? ? ? 36 . b c? ? a 1 4 9 ∵ a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ,∴ 2 ? 2 ? 2 ≥36 . ???????? 5 分 a b c

2

(2)解:由(1)得 m ? m ? 2 ≤36 . 当 m≥2 时,m ? m ? 2≤36,∴m≤19; 当 0 ? m ? 2 时,m ? 2 ? m≤36,恒成立; 当 m≤0 时,? m ? 2 ? m≤36,∴m≥?17. 综上,实数 m 的取值范围是[?17,19].

???????? 8 分 ???????? 10 分
- 14 -


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