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周期现象及角的概念_图文

§1.1 周期现象

钱塘江潮

众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮 水会涨落两次,这种现象就是我们今天要学到的 周期现象。

某港口在某一天水深与时间的对应关系表
时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 水深/m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 水深/m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 水深/m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5

6:00
7:00 8:00

5.3
4.1 3.1

14:00
15:00 16:00

6.2
7.5 7.3

22:00
23:00 24:00

2.7
3.5 4.4

根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H 与时间t关系的散点图

从散点图可以看出,每经过相同的时间T(12h),水深度 就重复出现相同的数值,因此,水深是周期变化的.

周期现象 每隔一段时间 就会______ 重复 出现,这 (1)定义:某种动作或现象_____________ 种现象被称为周期现象.该相同的间隔时间称为周期. (2)判断一个现象是否为周期现象,关键是抓住这 重复性 一现象是否具有_______.

例1.地球围绕着太阳转,地球到太阳的距离y随时间的 变化是周期性的吗?

在任何确定的时间,地球与太阳距离y是唯一确定的,每经 过一年地球围绕着太阳转一周。 无论从哪个时间t算起,经过一年时间(T=365天),地球又回到 原来的位置,所以地球与太阳的距离是周期变化的。

例2.如图是钟摆的示意图,摆心A到铅垂线MN的距离记为y, 钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ ,根据物理知识,y与θ 都随时间的 变化而周期性变化.

θ
y N

例3. 如图是水车的示意图,
水车上A点到水面的距离为y.假设

水车5min转一圈,那么y的值每经
5min就会重复出现,因此,该距离 y随时间的变化也具有周期性.

由上面的例子,我们可以看到在现实生活中存在着 大量的周期现象.

1、地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗? 2、钟表的分针每小时转一圈,它的运行是周期现象吗? 3、连续抛一枚硬币,面值朝上我们记为0,面值朝下我们记为1, 数字0和1是否会周期性地重复出现?

4、今天是星期四,156天后的那一天是星期几?

想一想

§1.2 角的概念的推广

问题提出
问题1:初中角是如何定义的?角的范围是什么? 定义:有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围:0°~360°

问题2:射线OA按顺时针方向、逆时针方向都能转到OB 吗?

问题3:两种情况所得到的角相同吗?

引入新知
1.角的概念

B
终边
顶点

?
始边

o

A

角可以看成平面内一条射线 绕着 顶点从一个位置旋转到另 一个位置所形成的 图形 .

2.角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类:
类型 定 义 图示

正角 按 逆时针方向旋转形成的角

负角 按 顺时针方向旋转形成的角
一条射线 没有作任何旋转 ,称它形

零角

成了一个零角

课堂练习1
- 9 0° ; 1.时钟从12时到15时,时针所走的角度为_______ 分针所走的角度为_______ 。 -1080°

3.象限角定义
为了研究方便,我们常在直角坐标系内讨论角
为此我们规定角的顶点与原点重合,角的始边与 x轴的非负半轴 重合,那么只要角的终边(除端点外)在第几象限,我们就称 这个角是 第几象限角 .如果角的终边在坐标轴上,就认为这 个角不属于象限角,或称这个角为轴线角(象限界角).

课堂练习2

2.下列各角-50°,405°,-255°, 分别是第几 象限的角?
y y
-255°

y

o

x
-50°

o

405°

x

o

x

思考:在直角坐标系中,135°角的终边在第几 象限?终边在该位置的角一定是135°吗?
y

135°

O

x

495°
-225°

4.终边相同的角
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在 内所构成的集合S 可以表示为: S={β|β=α+k×360°,k∈Z} 即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角 α与 周角整数倍 的和.

课堂练习3
3.下列结论: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角;

③第二象限角是钝角;
④小于180°的角是钝角或直角或锐角. 其中正确的序号为: ①

例题讲解
例1. 判断下列各角是第几象限角.

(1) -60? ;(2) 606? ;(3) -950? 12′. 解: ⑴ ∵ -60? 角的终边在第四象限角,所以它是第四象限角 ⑵ ∵606? =246? +1 × 360? , ∴ 640? 角与 246? 角的终边相同,它是第三象限角. ⑶ ∵-950?12’= - 230?12’ +(-2 )×360? ,

∴ -950?12’角与 -230?12’角的终边相同,
它是第二象限角.

例2.在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合 分析:终边落在坐标轴上的情形

900 +k y 1800 +k × 3600

×3600

o

00 +k× 3600 x 或3600+k × 3600

0 0 + k × 360 270

解:终边落在y轴正半轴上的角的集合为
S1={β|β=900+K × 3600,K∈Z} ={β| β=900+2K × 1800,K∈Z} 终边落在y轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K × 3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K × 1800, K∈Z} ={β| β=900+(2K+1) × 1800 ,K∈Z} S=S1∪S2 ={β| β=900+K × 1800 , K∈Z}

例3. 写出与60? 角终边相同的角的集合S,并把S中在 -360? ~720? 间的角写出来:

解:(1) S={β| β=60? +k×360? ,k∈Z },
S中在-360? ~720? 间的角是 60? + 0×360? =60? ;

60? -1×360? =-300? ;
60? + 1×360? =420? .

练习. 写出与下列各角终边相同的角的集合S,
并把S中在-360? ~720? 间的角写出来:

(1) 解:

120? ;(2) -21? ;(3) 363? .

(1) S={β| β=120? +k ×360? ,k∈Z }, S中在-360? ~720? 间的角是 0×360? +120? =120? ;-1×360? +120? =-240? ; 1×360? +120? =480? . (2) S={β| β= -21? +k × 360? , k∈ Z } S中在-360? ~720? 间的角是 0×360? -21? =-21? ; 1×360? -21? =339? ;2×360? -21? =699? . (3) S={β| β= 363? +k × 360? , k∈ Z } S中在-360? ~720? 间的角是 0×360? +363? =363? ;-1×360? +363? =3? ;-2×360? +363? =-357? .

小结
1.周期现象:某种动作或现象每隔一段时间就会重复出现
正角:按逆时针方向旋转形成的角

2.角的概念

负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:没有作任何旋转 1)顶点为坐标原点

2.象限角

2)始边为x轴的非负半轴 3)终边落在第几象限就是第几象限角

S={β|β=α+k× 3.与? 终边相同的角的集合为:

360°,k∈Z }

作 业

课本第8页 习题1-2 第2,3题


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