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桃山区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

桃山区高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 在 ?ABC 中, tan A sin2 B ? tan B sin2 A,那么 ?ABC 一定是( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

2. 如图,已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,|F1F2|=4,P 是双曲线右支上一点,

直线 PF2 交 y 轴于点 A,△ AF1P 的内切圆切边 PF1 于点 Q,若|PQ|=1,则双曲线的渐近线方程为(



A.y=± x B.y=±3x C.y=± x D.y=± x

3. 经过点 M ?1,1? 且在两轴上截距相等的直线是( )

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ?1 ? 0

C. x ?1或 y ? 1

D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0

4. 若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 ﹣ =1 的右焦点重合,则 p 的值为(



A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4

5. 复数 Z= (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) A.(1,3) B.(﹣1,3) C.(3,﹣1) D.(2,4)

6. 设函数 f (x) ? loga | x ?1|在 (??,1) 上单调递增,则 f (a ? 2) 与 f (3) 的大小关系是( )

A. f (a ? 2) ? f (3)

B. f (a ? 2) ? f (3)

C. f (a ? 2) ? f (3)

D.不能确定

7. 阅读右图所示的程序框图,若 m ? 8, n ? 10 ,则输出的 S 的值等于( )

A.28

B.36

C.45

D.120

8. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( )

A.4

B.2

C.

D.2

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9. 与函数 y=x 有相同的图象的函数是( )

A.

B.

C.

D.

2+2z 10.复数满足 =iz,则 z 等于( )
1-i

A.1+i

B.-1+i

C.1-i

D.-1-i

11.已知三个数 a ?1, a ?1 , a ? 5 成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列{an} 的前三

项,则能使不等式 a1 ? a2 ?

?

an

?

1 a1

?

1 a2

?

? 1 成立的自然数的最大值为( an



A.9

B.8

C.7

D.5

12.在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱 AA1= ,M 为 A1B1 的中点,则 AM 与平面 AA1C1C 所成

角的正切值为( )

A.

B.

C.

D.

13.抛物线 y=﹣x2 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是(

A.

B.

C.

) D.3

14.如图是七位评委为甲,乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图(其中 m,n 为数字 0~9 中的一个),则甲 歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为 a 和 b,则一定有( )

A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b 的大小与 m,n 的值有关 15.已知向量 =(1,2), =(m,1),如果向量 与 平行,则 m 的值为( )

A. B. C.2 D.﹣2

二、填空题

16.已知 M、N 为抛物线 y2 ? 4x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2,

| MF | ? | NF |?10 ,则直线 MN 的方程为_________.

17.若命题“?x∈R,|x﹣2|>kx+1”为真,则 k 的取值范围是



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18.若直线: 2x ? ay ?1 ? 0 与直线 l2 : x ? 2 y ? 0 垂直,则 a ?

.

19.设 α 为锐角, =(cosα,sinα), =(1,﹣1)且 ? = ,则 sin(α+ )=



三、解答题
20.己知函数 f(x)=lnx﹣ax+1(a>0). (1)试探究函数 f(x)的零点个数; (2)若 f(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0)B(x2,0)(x1<x2)两点,AB 中点为 C(x0,0),设函数 f (x)的导函数为 f′(x),求证:f′(x0)<0.

21.(本小题满分 12 分)
数列{bn}满足: bn?1 ? 2bn ? 2 , bn ? an?1 ? an ,且 a1 ? 2, a2 ? 4 . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列{an}的前项和 Sn .
22.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, 3 (sin x ? cos x)) , b ? (cosx,sin x ? cosx) , x ? R ,记函数 2
f (x) ? a ?b . (1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 且满足 2b ? c ? 2a cosC ,求 f (B) 的取值范围.
【命题意图】本题考查了向量的内积运算,三角函数的化简及性质的探讨,并与解三角形知识相互交汇,对基
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本运算能力、逻辑推理能力有一定要求,但突出了基础知识的考查,仍属于容易题.
23.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】已知函数 f ? x? ? ?x2 ? ax ? lnx?a ?R? . (1)若函数 f ? x? 是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ? x? 在区间 ?0,3? 上既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围.
24.解关于 x 的不等式 12x2﹣ax>a2(a∈R).
? ? 25.设集合 A ? x | x2 ?8x ?15 ? 0 , B ? ?x | ax ?1 ? 0? .
(1)若 a ? 1 ,判断集合 A 与 B 的关系; 5
(2)若 A B ? B ,求实数组成的集合 C .
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桃山区高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案)

一、选择题

1. 【答案】D

【解析】

试题分析:在 ?ABC 中, tan A sin2 B ? tan B sin2 A,化简得 sin A sin2 B ? sin B sin2 A,解得

cos A

cos B

sin B ? sin A ? sin Acos A ? sin B cos B ,即 sni2 Asni?2 cos A cos B

B ,所以 2A ? 2B 或 2A ? ? ? 2B ,即 A ? B 或

A ? B ? ? ,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故选 D. 2

考点:三角形形状的判定.

【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定,其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角

三角函数基本关系的运用,其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答
问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中得出 sin 2A ? sin 2B ,从而得到 A ? B 或 A ? B ? ? 是试 2
题的一个难点,属于中档试题.

2. 【答案】D

【解析】解:设内切圆与 AP 切于点 M,与 AF1 切于点 N, |PF1|=m,|QF1|=n, 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,即有 m﹣(n﹣1)=2a,① 由切线的性质可得|AM|=|AN|,|NF1|=|QF1|=n,|MP|=|PQ|=1, |MF2|=|NF1|=n, 即有 m﹣1=n,②

由①②解得 a=1,

由|F1F2|=4,则 c=2,

b=

=,

由双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y=± x,

即有渐近线方程为 y=

x.

故选 D.

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【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查切线的性质,运用对称性和双曲线的定义是解题的关键.
3. 【答案】D 【解析】

考 点:直线的方程. 4. 【答案】D
【解析】解:双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(2,0),
即抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0), ∴ =2,
∴p=4. 故选 D. 【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质,考查学生的计算能力,属于基础题.

5. 【答案】A 【解析】解:复数 Z= =

=(1+2i)(1﹣i)=3+i 在复平面内对应点的坐标是(3,1).

故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题.

6. 【答案】A

【解析】

试题分析:由

f

?x?

?

??loga ? ??loga

?1? x?, ? x ?1?,

x ????,1? x ??1, ???



f

? x? 在 ???,1?上单调递增,易得

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0 ? a ?1,?1? a ?1? 2 .? f ? x? 在 ?1, ???上单调递减,? f ?a ? 2? ? f ?3? ,故选 A.

考点:1、分段函数的解析式;2、对数函数的单调性.

7. 【答案】C

【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.S ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? 12 3
Cnm ? C180 ? C120 ? 45 ,选 C.

?

n

?m m

?1

?

Cnm

,当 m

?

8,

n

?10

时,

8. 【答案】A

【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),

∴AB 是正方体的体对角线,AB=



设正方体的棱长为 x,



,解得 x=4.

∴正方体的棱长为 4,

故选:A.

【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题.

9. 【答案】D

【解析】解:A:y=

的定义域[0,+∞),与 y=x 的定义域 R 不同,故 A 错误

B:

与 y=x 的对应法则不一样,故 B 错误

C:

=x,(x≠0)与 y=x 的定义域 R 不同,故 C 错误

D:

,与 y=x 是同一个函数,则函数的图象相同,故 D 正确

故选 D

【点评】本题主要考查了函数的三要素:函数的定义域,函数的值域及函数的对应法则的判断,属于基础试题

10.【答案】

2+2z 【解析】解析:选 D.法一:由 =iz 得
1-i

2+2z=iz+z,

即(1-i)z=-2,

-2 -2(1+i)

∴z=1-i=

2

=-1-i.

法二:设 z=a+bi(a,b∈R),

∴2+2(a+bi)=(1-i)i(a+bi),

即 2+2a+2bi=a-b+(a+b)i,

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??2+2a=a-b

∴?



??2b=a+b

∴a=b=-1,故 z=-1-i.

11.【答案】C

【解析】

试题分析:因为三个数 a ?1, a ?1, a ? 5等比数列,所以 ?a ?1?2 ? ?a ?1??a ? 5?,?a ? 3 ,倒数重新排列后恰

好为递增的等比数列 {an }

的前三项,为

1 8

,

1 4

,

1 2

,公比为,数列

? ? ?

1 an

? ? ?

是以为首项,

1 2

为公比的等比数列,则

不等式 a1 ? a2 ?

?

an

?

1 a1

?

1 a2

?

? ? ?

1

1 等价为 8

1? 2n

?

8 ???1 ?

1 2n

? ??

,整理,得

an

1? 2

1? 1

2

2n ? 27 ,?1 ? n ? 7, ? n ? N? ,故选 C. 1

考点:1、等比数列的性质;2、等比数列前项和公式.

12.【答案】D

【解析】解:双曲线

(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x

联立方程组

,解得 A( , ),B( ,﹣ ),

设直线 x= 与 x 轴交于点 D
∵F 为双曲线的右焦点,∴F(C,0) ∵△ABF 为钝角三角形,且 AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即 DF<DA ∴c﹣ < ,b<a,c2﹣a2<a2∴c2<2a2,e2<2,e< 又∵e>1
∴离心率的取值范围是 1<e< 故选 D 【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法,关键是找到含 a,c 的齐次式,再解不等式.

13.【答案】A 【解析】解:由

,得 3x2﹣4x+8=0.

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△=(﹣4)2﹣4×3×8=﹣80<0. 所以直线 4x+3y﹣8=0 与抛物线 y=﹣x2 无交点. 设与直线 4x+3y﹣8=0 平行的直线为 4x+3y+m=0

联立

,得 3x2﹣4x﹣m=0.

由△=(﹣4)2﹣4×3(﹣m)=16+12m=0, 得 m=﹣ .

所以与直线 4x+3y﹣8=0 平行且与抛物线 y=﹣x2 相切的直线方程为 4x+3y﹣ =0.

所以抛物线 y=﹣x2 上的一点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值是

=.

故选:A. 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了两条平行线间的距离公式,是 中档题.

14.【答案】C 【解析】解:根据茎叶图中的数据,得; 甲得分的众数为 a=85, 乙得分的中位数是 b=85; 所以 a=b. 故选:C.

15.【答案】B 【解析】解:向量 可得 2m=﹣1. 解得 m=﹣ . 故选:B.

,向量 与 平行,

二、填空题

16.【答案】 x ? y ? 2 ? 0

【解析】解析: 设 M (x1, y1)、N (x2 , y2 ) ,那么| MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 ,x1 ? x2 ? 8 ,∴线段 MN 的

中点坐标为 (4, 2) .由

y12

?

4x1 ,

y22

?

4x2 两式相减得 ( y1

?

y2 )( y1

?

y2 )

?

4( x1

? x2 ) ,而

y1 ? 2

y2

?

2 ,∴

第 10 页,共 17 页

y1 ? y2 ? 1,∴直线 MN 的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . x1 ? x2
17.【答案】 [﹣1,﹣ ) .
【解析】解:作出 y=|x﹣2|,y=kx+1 的图象,如图所示,直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),结合图象可知 k∈[﹣ 1,﹣ ). 故答案为:[﹣1,﹣ ).

【点评】本题考查全称命题,考查数形结合的数学思想,比较基础.

18.【答案】1

【解析】
试题分析:两直线垂直满足 2 ?1? ?- a?? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ,故填:1.

考点:直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系,属于基础题型,当直线是一般式直线方程时,

l1 : a1x ? b1 y ? c1 ? 0 ,l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 ,当两直线垂直时,需满足 a1a2 ? b1b2 ? 0 ,当两直线平行时,

需满足 a1b2 ? a2b1

? 0 且 b1c2

?

b2 c1

,或是

a1 a2

?

b1 b2

?

c1 c2

,当直线是斜截式直线方程时,两直线垂直

k1k2 ? ?1 ,两直线平行时, k1 ? k2 , b1 ? b2 .1

19.【答案】:



【解析】解:∵ ? =cosα﹣sinα= , ∴1﹣sin2α= ,得 sin2α= ,

第 11 页,共 17 页

∵α 为锐角,cosα﹣sinα= ?α∈(0, ),从而 cos2α 取正值,

∴cos2α=

=,

∵α 为锐角,sin(α+ )>0,

∴sin(α+ )

=

=

=

=



故答案为:



三、解答题
20.【答案】

【解析】解:(1)



令 f'(x)>0,则

;令 f'(x)<0,则



∴f(x)在 x=a 时取得最大值,即

①当

,即 0<a<1 时,考虑到当 x 无限趋近于 0(从 0 的右边)时,f(x)→﹣∞;当 x→+∞时,f

(x)→﹣∞

∴f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点,分别位于(0, )及(



即 f(x)有 2 个零点;

②当

,即 a=1 时,f(x)有 1 个零点;

③当

,即 a>1 时 f(x)没有零点;

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(2)由



(0<x1<x2),

=

,令

,设 则

,t∈(0,1)且 h(1)=0 ,又 t∈(0,1),∴h′(t)<0,∴h(t)>h(1)=0



,又



∴f'(x0)=

<0.

【点评】本题在导数的综合应用中属于难题,题目中的两个小问都有需要注意之处,如(1)中,在对 0<a< 1 进行研究时,一定要注意到 f(x)的取值范围,才能确定零点的个数,否则不能确定.(2)中,代数运算

比较复杂,特别是计算过程中,令

的化简和换元,使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解,这对学

生的综合能力有比较高的要求.

21.【答案】(1) bn ? 2n?1 ? 2 ;(2) Sn ? 2n?2 ? (n2 ? n ? 4) .
【解析】

试题分析:(1)已知递推公式 bn?1 ? 2bn ? 2 ,求通项公式,一般把它进行变形构造出一个等比数列,由等比

数列的通项公式可得 bn ,变形形式为 bn?1 ? x ? 2(bn ? x) ;(2)由(1)可知 an ? an?1 ? bn ? 2n ? 2(n ? 2) ,

这是数列{an} 的后项与前项的差,要求通项公式可用累加法,即由 an ? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2 ) ?

?(a2 ? a1) ? a1 求得.

试题解析:(1) bn?1

?

2bn

?

2

?

bn?1

?

2

?

2(bn

?

2)

,∵

bn?1 ? 2 bn ? 2

?

2



又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 2 ? 4 ,

第 13 页,共 17 页

∴ an ? (2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ) ? 2n ? 2 ? 2(2n ?1) ? 2n ? 2 ? 2n?1 ? 2n . 2 ?1



Sn

?

4(1? 2n ) 1? 2

?

n(2

? 2

2n)

?

2n?2

?

(n2

?

n

?

4)

.

考点:数列的递推公式,等比数列的通项公式,等比数列的前项和.累加法求通项公式.

22.【答案】

【解析】(1)由题意知, f (x) ? a ?b ? sin x cos x ? 3 (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2

? 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? sin(2x ? ? ) ……………………………………3 分

2

2

3

令 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,则可得 k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? Z .

2

3

2

12

12

∴ f (x) 的单调递增区间为[k? ? ? , k? ? 5? ] ( k ? Z ).…………………………5 分

12

12

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23.【答案】(1) a ? 2 2 ;(2) 2 2 ? a ? 19 . 3
【解析】试题分析:
(1)原问题等价于 f ?? x? ? 0 对 ?0, ??? 恒成立,即 a ? 2x ? 1 对 ?0, ??? 恒成立,结合均值不等式的结论可
x 得a?2 2;
(2)由题意可知 f ?? x? ? ?2x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?0,3? 上有两个相异实根,结合二次函数根的分布可得实数 a 的
x 取值范围是 2 2 ? a ? 19 .
3
试题解析:
(2)∵函数 f ? x? 在 ?0,3? 上既有极大值又有极小值,
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∴ f ?? x? ? ?2x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?0,3? 上有两个相异实根,
x
即 2x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?0,3? 上有两个相异实根,

??0



g

?x?

?

2x2

?

ax

?1

0 ,则{

?

a 4

?

3

a ,得{

?2 2或a 2 0 ? a ? 12

2



g ?0? ? 0 g ?3? ? 0

a ? 19 3

即 2 2 ? a ? 19 . 3

24.【答案】

【解析】解:由 12x2﹣ax﹣a2>0?(4x+a)(3x﹣a)>0?(x+ )(x﹣ )>0,

①a>0 时,﹣ < ,解集为{x|x<﹣ 或 x> }; ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; ③a<0 时,﹣ > ,解集为{x|x< 或 x>﹣ }.

综上,当 a>0 时,﹣ < ,解集为{x|x<﹣ 或 x> }; 当 a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; 当 a<0 时,﹣ > ,解集为{x|x< 或 x>﹣ }.

25.【答案】(1) B ? A;(2) C ? ?0,3,5?.
【解析】


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点:1、集合的表示;2、子集的性质.
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