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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用教师用书理


第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.9 函数模型及其应用教师用书 理 苏教版

1.几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式

f(x)=ax+b(a,b 为常数且 a≠0) k f(x)= +b(k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c 为常数,a≠0)

二次函数模型

指数函数模型

f(x)=bax+c
(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1)

对数函数模型 幂函数模型

f(x)=blogax+c
(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1)

f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0)

2.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞)上的 增减性 增长速度

y=ax(a>1)

y=logax(a>1)

y=xn(n>0)

单调递增 越来越快 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行

单调递增 越来越慢 随 x 的增大逐渐 表现为与 x 轴平 行

单调递增 相对平稳

图象的变化

随 n 值变化而各有不同

值的比较

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<x <a

n

x

【知识拓展】
1

1.解函数应用题的步骤

2.“对勾”函数 形如 f(x)=x+ (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(-∞,- a]和[ a,+∞)上单调递增, 在[- a,0)和(0, a]上单调递减. (2)当 x>0 时,x= a时取最小值 2 a, 当 x<0 时,x=- a时取最大值-2 a. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,若按九折出售, 则每件还能获利.( √ ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × )
n (3)不存在 x0,使 a 0 < x0 <logax0.(
x

a x

× )
x a

(4)在(0,+∞)上,随着 x 的增大,y=a (a>1)的增长速度会超过并远远大于 y=x (a>0)的 增长速度.( √ ) (5)“指数爆炸”是指数型函数 y=a·b +c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比 喻.( × )
x

1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高 40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价 多赚 270 元,那么每台彩电原价是________元. 答案 2 250 解析 设每台原价是 a 元,则 a(1+40%)·80% =a+270,解得 a=2 250. 2.(教材改编)某汽车油箱中存油 22 千克,油从管道中匀速流出,200 分钟流尽,油箱中剩油 量 y(千克)与流出时间 x(分钟)之间的函数关系式为________. 11 答案 y=22- x(0≤x≤200) 100
2

22 11 11 解析 流速为 = ,x 分钟可流 x, 200 100 100 11 则 y=22- x(0≤x≤200). 100 3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两 年生产总值的年平均增长率为________________. 答案 ?p+1??q+1?-1
2

解析 设年平均增长率为 x,则(1+x) =(1+p)(1+q), ∴x= ?1+p??1+q?-1. 4.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度 为________. 答案 3 24-4x 2 解析 设隔墙的长度为 x(0<x<6),矩形面积为 y,则 y=x× =2x(6-x)=-2(x-3) 2 +18, ∴当 x=3 时,y 最大. 5.(教材改编)有两个相同的桶,由甲桶向乙桶输水,开始时,甲桶有 a L 水,t min 后,剩 余水 y L 满足函数关系 y=ae
-nt

,那么乙桶的水就是 y=a-ae

-nt

,假设经过 5 min,甲桶和

乙桶的水相等,则再过________ min,甲桶中的水只有 答案 10 解析 由题意可得,5 min 时,ae 那么 ae
t ? ln 2 5
-5n

a
8

L.

1 1 = a,n= ln 2, 2 5

1 a = a,∴t=15,即再过 10 min,甲桶中的水只有 L. 8 8

题型一 用函数图象刻画变化过程 例 1 某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图①所示;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②所示(单位:万 元).

3

分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式. 解 设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元. 由题意设 f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2 x(x≥0). 1 1 由图①知 f(1)= ,∴k1= . 4 4 5 5 由图②知 g(4)= ,∴k2= . 2 4 1 5 ∴f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0). 4 4 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点, 结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的 答案. 为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中 所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月 (30 天)的通话时间 x(min)与通话费

y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费 y1、y2 与通话时间 x 之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 1 1 解 (1)设 y1=k1x+29,y2=k2x,把点 B(300,35),C(300,15)分别代入得 k1= ,k2= . 50 20 1 1 ∴y1= x+29,y2= x. 50 20

4

1 1 2 (2)令 y1=y2,即 x+29= x,得 x=966 . 50 20 3 2 当 x=966 时,两种卡收费一致; 3 2 当 x<966 时,y1>y2,即“如意卡”便宜; 3 2 当 x>966 时,y1<y2,即“便民卡”便宜. 3 题型二 已知函数模型的实际问题 例 2 我们知道: 人们对声音有不同的感觉, 这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米 (W/m ) 表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用 L1 表示,它们满足以下公式:L1=10 lg (单 位为分贝,L1≥0,其中 I0=1×10 下列问题: (1)树叶沙沙声的强度是 1×10 强度是 1×10
-8 2 -12 -12 2 2

I I0

,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答

W/m ,耳语的强度是 1×10

2

-10

W/m ,恬静的无线电广播的

2

W/m ,试分别求出它们的强度水平;

(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50 分贝以下, 试求声音强度 I 的范围为多少? 解 (1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为

I2 L2=10 lg =10 lg 1=0(分贝); I0
耳语的强度水平为

L3=10 lg

I3 2 =10 lg10 =20(分贝); I0

恬静的无线电广播的强度水平为

L4=10 lg

I4 4 =10lg 10 =40(分贝). I0 I <50, I0
-7

(2)由题意知 0≤L1<50,即 0≤10lg 所以 1≤ <10 ,即 1×10

I I0

5

-12

≤I<1×10 .
-12

所以新建的安静小区的声音强度 I 大于等于 1×10

W/m ,同时小于 1×10

2

-7

W/m .

2

思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. (1)某航空公司规定, 乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次
5

函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.

(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税.已知某种酒每瓶 售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100 万瓶;若每销售 100 元国家要征附加税 x 元(叫做税率 x%),则每年销售量将减少 10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加 税额不少于 112 万元,则 x 的最小值为________. 答案 (1)19 (2)2 解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为 y=30x-570,令 30x-570=0,解得 x=19. (2) 由分析可知,每年此项经营中所收取的附加税额为 10 ·(100- 10x)·70· 10 ·(100-10x)·70· ≥112×10 ,解得 2≤x≤8.故 x 的最小值为 2. 100 题型三 构造函数模型的实际问题 命题点 1 构造二次函数模型 例 3 将出货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时, 能卖出 400 个, 已知这种商品每涨价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了赚得最大利润,每个售价应定________元. 答案 95 解析 设每个售价定为 x 元,则利润 y=(x-80)·[400-(x-90)·20]=-20[(x-95) - 225]. ∴当 x=95 时,y 最大. 命题点 2 构造指数函数、对数函数模型 例4 光线通过一块玻璃,强度要损失 10%.设光线原来的强度为 k,通过 x 块这样的玻璃以
2 4 4

x
100

,令

x

4

后强度为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数解析式; 1 (2)至少通过多少块这样的玻璃, 光线强度能减弱到原来的 以下?(参考数据: lg 2≈0.301 0, 4 lg 3≈0.477 1) 解 (1)光线通过 1 块玻璃后,强度 y=(1-10%)k=0.9k; 光线通过 2 块玻璃后,强度 y=(1-10%)·0.9k=0.9 k; 光线通过 3 块玻璃后,强度 y=(1-10%)·0.9 k=0.9 k; ?? 光线通过 x 块玻璃后,强度 y=0.9 k.
6
x
2 3 2

故 y 关于 x 的函数解析式为 y=0.9 k(x∈N ). (2)由题意,得 0.9 k< , 4 1 x 1 即 0.9 < ,两边取对数,得 xlg 0.9<lg . 4 4 1 lg 4 因为 lg 0.9<0,所以 x> . lg 0.9 1 lg 4 -2lg 2 -0.602 0 -0.602 0 又 = = = ≈13.14, lg 0.9 2lg 3-1 0.954 2-1 -0.045 8 且 x∈N ,所以 xmin=14. 1 故至少通过 14 块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的 以下. 4 命题点 3 构造分段函数模型 例 5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 .在一般
*

x

*

x

k

情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥 上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不 超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 解 (1)由题意可知当 0≤x<20 时, v(x)=60; 当 20≤x≤200 时, 设 v(x)=ax+b, 显然 v(x) 1 ? ?a=-3, 解得? 200 ? ?b= 3 ,

? ?200a+b=0, =ax+b 在[20,200]上是减函数,由已知得? ?20a+b=60, ?

故函数 v(x)的表达式为 60, 0≤x<20, ? ? v(x)=?1 ?200-x?, 20≤x≤200. ? ?3 (2)依题意并由(1)可得 60x, 0≤x<20, ? ? f(x)=?1 x?200-x?, 20≤x≤200, ? ?3

7

当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200;当 20≤x≤200 1 1 x+?200-x? 2 10 000 时,f(x)= x(200-x)≤ [ ]= ,当且仅当 x=200-x,即 x=100 时, 3 3 2 3 10 000 等号成立,所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333, 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约 3 333 辆/小时. 思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的 限制. (1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝 酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交 通安全法》 规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL, 那么, 此人至少经过________ 小时才能开车.(精确到 1 小时) (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为 20 000 元,每天 需要房租、水电等费用 100 元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 R 与门面经营天数 x 的关系是 R(x)=? ? ?80 000,x>400, 面经营的天数是________. 答案 (1)5 (2)300 解析 (1)设经过 x 小时才能开车. 由题意得 0.3(1-25%) ≤0.09, ∴0.75 ≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.∴x 最小为 5. (2)由题意,总利润 1 ? ?400x- x2-100x-20 000?0≤x≤400?, 2 y=? ? ?60 000-100x?x>400?, 1 2 当 0≤x≤400 时,y=- (x-300) +25 000, 2 所以 x=300 时,ymax=25 000, 当 x>400 时,y=60 000-100x<20 000, 综上,当该门面经营的天数为 300 时,总利润最大为 25 000 元.
x x

则总利润最大时,该门

8

2.函数应用问题

典例 (14 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万部还需另投入 16 万美元.设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完,每万部的销 400-6x,0<x≤40, ? ? 售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=?7 400 40 000 - ,x>40. ? x2 ? x (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 思维点拨 根据题意, 要利用分段函数求最大利润.列出解析式后, 比较二次函数和“对勾” 函数的最值的结论. 规范解答 解 (1)当 0<x≤40 时,W=xR(x)-(16x+40) =-6x +384x-40, 当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40) 40 000 =- -16x+7 360.
2

[3 分]

x

-6x +384x-40,0<x≤40, ? ? 所以 W=? 40 000 - -16x+7 360,x>40. ? x ? 分] (2)①当 0<x≤40 时,W=-6(x-32) +6 104, 所以 Wmax=W(32)=6 104; 40 000 ②当 x>40 时,W=- -16x+7 360,
2

2

[5

[8 分]

x

40 000 由于 +16x≥2

x

40 000 ×16x=1 600,

x

40 000 当且仅当 =16x,即 x=50∈(40,+∞)时,取等号,

x

所以 W 取最大值为 5 760. 综合①②知,当 x=32 时,W 取得最大值 6 104 万美元.

[12 分] [14 分]

解函数应用题的一般程序 第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
9

第二步:(建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步:(解模)求解数学模型,得到数学结论; 第四步:(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义; 第五步: (反思)对于数学模型得到的数学结果, 必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

1.某商品定价为每件 60 元,不加收附加税时年销售量约 80 万件,若征收附加税,税率为 p, 20 且年销售量将减少 p 万件.则每年征收的税金 y 关于税率 p 的函数关系为________. 3 20 答案 y=60(80- p)p 3 20 20 解析 征收附加税后年销售为(80- p)万件,故每年征收的税金 y=60(80- p)p. 3 3 2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年年产量 保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t( 年 ) 的函数关系图象正确的是 ________.

答案 ① 解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有①,③图象符合要求,而 后 3 年年产量保持不变. 3.(教材改编)某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起 步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超 过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 答案 9 解析 出租车行驶不超过 3 km,付费 9 元;出租车行驶 8 km,付费 9+2.15×(8-3)=19.75 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元, 故出租车行驶里程超过 8 km, 且 22.6-19.75=2.85, 所以此次出租车行驶了 8+1=9 km. 4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超

10

过 10 m 的,按每立方米 m 元收费;用水超过 10 m 的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水 费 16m 元,则该职工这个月实际用水为________ m . 答案 13 解析 设该职 工用水 x m 时,缴纳的水费 为 y 元,由题意 得 y =
3 3

3

3

? ?mx?0<x≤10?, ? ? ?10m+?x-10?·2m?x>10?,

则 10m+(x-10)·2m=16m, 解得 x=13. 5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每年 创造产值 t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流 x(0<x<100,x∈N )人去进行新开 发的产品 B 的生产.分流后, 继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础 上增长了 1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是________. 答案 16 解析 由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元), 分流 x 人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,
?0<x<100,x∈N , ? 则由? ??100-x??1+1.2x%?t≥100t, ?
* *

50 解得 0<x≤ . 3 因为 x∈N ,所以 x 的最大值为 16. 6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在 A, B 两地销售同一种品牌的汽车, 在 A 地的销售利润 (单位:万元)为 y1=4.1x-0.1x ,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售 量(单位: 辆), 若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车, 则能获得的最大利润是________ 万元. 答案 43 解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆, 则在 B 地销售该品牌的汽车(16-x)辆, 所以可 21 2 21 2 2 得利润 y=4.1x-0.1x +2(16-x)=-0.1x +2.1x+32=-0.1(x- ) +0.1× +32. 2 4 因为 x∈[0,16]且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得最大值 43 万元. 7.(2016·四川改编)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年 投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全 年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是________年.(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) 答案 2019
2 2 *

11

解析 设 x 年后该公司全年投入的研发资金为 200 万元,由题可知,130(1+12%) =200,解 200 lg 2-lg 1.3 得 x=log1.12 = ≈3.80,因资金需超过 200 万,则 x 取 4,即 2019 年. 130 lg 1.12 8.(2016·苏州模拟)某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍, 且知病毒的繁殖规律为 y=e (其 中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=__________,经过 5 小时, 1 个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln 2 1 024
1
kt

x

解析 当 t=0.5 时,y=2,∴2= e 2 , ∴k=2ln 2,∴y=e 当 t=5 时,y=e
2tln 2

k


10

10ln 2

=2 =1 024.

9.(2016·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为________m. 答案 20 解析 设内接矩形另一边长为 y,

x 40-y 则由相似三角形性质可得 = , 40 40
解得 y=40-x, 所以面积 S=x(40-x)=-x +40x =-(x-20) +400(0<x<40), 当 x=20 时,Smax=400. *10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a,最 高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a).这里, x 被称为乐观 系数.经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得, 最佳乐观系数 x 的值等于________. 答案 5-1 2
2 2

解析 依题意得 x=

c- a 2 ,(c-a) =(b-c)(b-a), b- a

∵b-c=(b-a)-(c-a), ∴(c-a) =(b-a) -(b-a)(c-a), 两边同除以(b-a) ,得 x +x-1=0, -1± 5 解得 x= . 2 ∵0<x<1,∴x= 5-1 . 2
12
2 2 2 2

11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙, 研究某种鸟类的专家发现, 该种鸟类的 飞行速度 v(单位:m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog3 (其中 a、b 是实数).据统 10 计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速度 为 1 m/s. (1)求出 a、b 的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为 30 个单位,故 30 有 a+blog3 =0, 10 90 即 a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1 m/s,故 a+blog3 =1,整理得 a+2b=1. 10 解方程组?
? ?a+b=0, ?a+2b=1, ?

Q

得?

? ?a=-1, ?b=1. ?

(2)由(1)知, v=-1+log3 .所以要使飞行速度不低于 2 m/s, 则有 v≥2, 即-1+log3 ≥2, 10 10 即 log3 ≥3,解得 Q≥270. 10 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要 270 个单位. 12.经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数,且销售 1 量近似地满足 f(t)=-2t+200(1≤t≤50,t∈N).前 30 天价格为 g(t)= t+30(1≤t≤30, 2

Q

Q

Q

t∈N),后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N).
(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值. 解 (1)依题意得 1 ? ? ??-2t+200?? ?2t+30??1≤t≤30,t∈N?, ? ? S=? ? ?45?-2t+200??31≤t≤50,t∈N?,
?-t +40t+6 000?1≤t≤30,t∈N?, ? 即 S=? ? ?-90t+9 000?31≤t≤50,t∈N?.
2

(2)①当 1≤t≤30,t∈N 时,S=-(t-20) +6 400, ∴当 t=20 时,S 取得最大值为 6 400. ②当 31≤t≤50,t∈N 时,

2

S=-90t+9 000 为递减函数,
∴当 t=31 时,S 取得最大值为 6 210.
13

综上知,当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6 400. *13. (2016·常州模拟)某旅游景点 2016 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位: 1 * 万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N , 且 x≤12).已知第 x 个月的人 2 35-2x?x∈N ,且1≤x≤6?, ? ? 均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)=?160 * ?x∈N ,且7≤x≤12?. ? ? x (1)写出 2016 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2016 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少万元? 解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N 时,
* *

f(x)=p(x)-p(x-1)
1 1 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x) 2 2 =-3x +40x, 验证 x=1 也满足此式, 所以 f(x)=-3x +40x(x∈N ,且 1≤x≤12). (2)第 x 个月旅游消费总额为 ?-3x +40x??35-2x??x∈N ,且1≤x≤6?, ? ? g(x)=? 160 2 * ?-3x +40x?· ?x∈N ,且7≤x≤12?, ? x ?
? ?6x -185x +1 400x?x∈N ,且1≤x≤6?, 即 g(x)=? * ?-480x+6 400?x∈N ,且7≤x≤12?. ?
3 2 * 2 * 2 * 2

①当 1≤x≤6,且 x∈N 时,

*

g′(x)=18x2-370x+1 400,令 g′(x)=0,
140 解得 x=5 或 x= (舍去). 9 当 1≤x<5 时,g′(x)>0, 当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). ②当 7≤x≤12,且 x∈N 时,g(x)=-480x+6 400 是减函数, ∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3 040(万元). 综上,2016 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为 3 125 万元. 14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 km(忽略内、外环线长度差异).
14
*

(1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 min,求内环线 列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 km/h, 外环线列车平均速度为 30 km/h.现内、 外环线共有 18 列列车投入运行,问:要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短,则内、 外环线应各投入几列列车运行? 30 解 (1)设内环线列车运行的平均速度为 v km/h,由题意可知 ×60≤10? v≥20.所以,要 9v 使内环线乘客最长候车时间为 10 min,列车的最小平均速度是 20 km/h. (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18-x)列列车运行,设内、外环线乘客最长 30 72 30 60 候车时间分别为 t1 min、t2 min,则 t1= ×60= ,t2= ×60= .设内、 25x x 30?18-x? 18-x 外环线乘客的候车时间之差为 t min, 60 ? ?72 于是有 t=|t1-t2|=? - ? ? x 18-x? 72 60 + ? ? x x-18,1≤x≤9,x∈N , =? 72 60 -? + ? ? x x-18?,10≤x≤17,x∈N ,
* *

该函数在(1,9)上递减,在(10,17)上递增. 又 t(9)>t(10),所以当内环线投入 10 列列车运行,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环 线乘客最长候车时间之差最短.

15


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